人教版新课标A2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教案及反思

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

教学目的：

（1）理解平面向量共线的坐标表示；

（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

2．平面向量的坐标表示

分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

把叫做向量的（直角）坐标，记作

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，.

2．平面向量的坐标运算

（1）若，，

则，，

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

.   实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

（2）若，，则

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

3．练习：

1．若M(3， -2)  N(-5， -1) 且 ，  求P点的坐标

2．若A(0， 1)，  B(1， 2)，  C(3， 4) ， 则2=       .

3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)，  C(1， 3)，  D(5， -3) ，

如何求证：四边形ABCD是梯形.？

二、讲解新课：

1、思考：（1）两个向量共线的条件是什么？

     （2）如何用坐标表示两个共线向量？

设=(x1， y1) ，=(x2， y2)  其中.

由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2)      消去λ，x1y2-x2y1=0

∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0

探究：（1）消去λ时能不能两式相除？

（不能  ∵y1， y2有可能为0， ∵  ∴x2， y2中至少有一个不为0）

（2）能不能写成  ？   （不能。  ∵x1， x2有可能为0）

(3)向量共线有哪两种形式？        ∥ ()

三、讲解范例：

例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.

例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.

  思考：你还有其它方法吗？

例3若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x

解：∵=(-1，x)与=(-x， 2) 共线   ∴(-1)×2- x•(-x)=0

   ∴x=±    ∵与方向相同     ∴x=

  例4 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？

    解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4)  ， =(2-1，7-5)=(1，2)

       又 ∵2×2-4×1=0     ∴∥

       又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×60  ∴与不平行

       ∴A，B，C不共线     ∴AB与CD不重合       ∴AB∥CD

例5设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).

(1)  当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2)  当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

     思考：（1）中   P1P：PP2=？    （2）中P1P：PP2=？  若P1P：PP2=如何求点P的坐标？

四、课堂练习：P101面4、5、6、7题。

五、小结 ：（1）平面向量共线的坐标表示；

（2）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；

（3）向量共线的坐标表示.

六、课后作业：《习案》二十二。

思考：

 1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C   ）

A.6            B.5            C.7            D.8

2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（  B  ）

A.-3           B.-1           C.1            D.3

3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ B  ）

A.1，2        B.2，2         C.3，2         D.2，4

4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=   3        .

5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为

6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=  5