高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示课后作业题

双基达标　限时20分钟

1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是(　　)．

 A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0

B．对空间任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1、λ2∈R

C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1、λ2∈R

D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对

解析　A正确，B错，这样的a只能与e1、e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有无数对．

答案　A

2．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是

(　　)．

A．e1－e2，e2－e1   B．2e1－e2，e1－e2

C．2e2－3e1,6e1－4e2   D．e1＋e2，e1－e2

解析　选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底．

答案　D

3．(2012·厦门高一检测)若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于(　　)．

A．a＋λb  B．λa＋(1－λ)b

C．λa＋b  D.a＋b

解析　∵＝＋＝＋λ

＝＋λ(－)＝＋λ－λ，

∴(1＋λ)＝＋λ，

∴＝＋＝a＋b.

答案　D

4．如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边

BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，

用a，b表示＝________.

解析　＝－＝＋－

＝a＋b－

＝a＋b－×

＝a＋b－(a－b)＝a＋b.

答案　a＋b

5．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

解析　设＝a，＝b，

则＝a＋b，

＝a＋b，

又∵＝a＋b，

∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.

答案　

6．判断下列命题的正误，并说明理由．

(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d.

(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．

解　(1)错误，当e1与e2共线时，结论不一定成立．

(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.

因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．

所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．

综合提高　限时25分钟

7．已知AD为△ABC的中线，则等于(　　)．

A. ＋   B.－

C.－   D.＋

解析　延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，BE，则四边形ABEC是平行四边形，则

＝＝(＋)＝＋.

答案　D

8．(2010·全国Ⅱ高考)在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)．

A. a＋b   B.a＋b

C.a＋b   D.a＋b

解析　如图，∠1＝∠2，

∴＝＝，

∴＝＝

＝(b－a)，

∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.

答案　B

9．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

解析　设＝a，＝b，

则＝(＋)＝a＋b，

又＝＋

＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ＝a＋b.

根据平面向量基本定理消去λ整理得m＋n＝2.

答案　2

10．(2012·荆门高一检测)如图，平面内有三个

向量、、.其中与的夹角为120°，

与的夹角为30°，且||＝||＝1，

||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

解析　如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.

在Rt△OCD中，∵||＝2，∠COD＝30°，

∠OCD＝90°，

∴||＝4，||＝2，故＝4，

＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
答案　6

11．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，

且＝，＝，＝，若＝a，＝b，

试用a，b将、，表示出来．

解　＝－＝－＝a－b，

＝－＝－－＝－b－(a－b)

＝－a＋b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)．

12．(创新拓展)已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM，证明：P、A、Q三点共线．

证明　设＝a、＝b.由题意可知，

＝＋＝a＋2＝a＋2(－)

＝a＋2(－a)＝a＋b－2a＝b－a；

＝＋＝b＋2＝b＋2(－)

＝b＋2(－b)＝b＋a－2b＝a－b.

显然，＝－，说明，共线．

故P、A、Q三点共线．