高中数学人教版新课标A必修52.1 数列的概念与简单表示法第2课时课后测评

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基础巩固
1在数列{an}中,a1=-1,an+1=an-3,则a3等于( ).
A.-7B.-4
C.-1D.2
解析:a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.
答案:A
2已知数列{an}满足an+1=an+12,则数列{an}是( ).
A.递增数列B.递减数列
C.摆动数列D.常数列
解析:由an+1=an+12,知an+1-an=12>0,
所以an+1>an,即从第2项起,每一项都大于它的前一项.
答案:A
3在数列{an}中,a1=13,an=2an-1(n≥2),则a5等于 ( ).
解析:a2=2a1=23,a3=2a2=43,a4=2a4=83,a5=2a4=163.
答案:C
4在数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( ).
A.0B.25
C.2D.5
解析:由题意得a2=ma3+1,则3=5m+1,故m=25.
答案:B
5在正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2an2=an+12+an-12(n≥2),则a6等于( ).
A.16
B.8
C.22
D.4
解析:∵2an2=an+12+an-12,∴an+12=2an2-an-12.
∴a32=2a22-a12=2×4-1=7,
a42=2a32-a22=14-4=10,
a52=2×10-7=13,
a62=2×13-10=16.
又a6>0,∴a6=4.
答案:D
6在数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于( )
解析:a1a2a3=32,a1a2=22,a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,
则a3=3222=94,a5=5242=2516,故a3+a5=6116.
答案:C
7已知数列{an}满足a1=2,a2=5,a3=23,且an+1=αan+β,则α,β的值分别为 .
解析:∵an+1=αan+β,
∴a2=αa1+β,a3=αa2+β,即2α+β=5,5α+β=23,解得α=6,β=-7.
答案:6,-7
8已知在数列{an}中,an+1=2anan+2对任意正自然数n都成立,且a7=12,则a5=__________.
解析:由已知a7=2a6a6+2=12,解得a6=23.
又因为a6=2a5a5+2=23,解得a5=1.
答案:1
9在数列{an}中,a1=1,an+1=2+1an,试写出a2,a3,a4,a5.
解a2=2+1a1=2+11=3,
a3=2+1a2=2+13=73,
a4=2+1a3=2+37=177,
a5=2+1a4=2+717=4117.
10在数列{an}中,a1=1,an+1=nn+1an.
(1)写出数列的前5项;
(2)猜想数列的一个通项公式.
解(1)a1=1,a2=11+1×1=12,a3=21+2×12=13,
a4=31+3×13=14,a5=41+4×14=15.
(2)猜想:an=1n.
能力提升
1数列12,14,18,116,…的递推公式可以是( ).
A.an=12n+1(n∈N*)
B.an=12n(n∈N*)
C.an+1=12an(n∈N*)
D.an+1=2an(n∈N*)
解析:数列从第二项起,后一项是前一项的12,故递推公式为an+1=12an(n∈N*).
答案:C
2由1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1=2,当n≥2时,bn=abn-1,则b6的值是( ).
A.9B.17
C.33D.65
解析:∵an=2n-1,∴bn=abn-1=2bn-1-1.
又b1=2,∴b2=3,b3=5,b4=9,b5=17,b6=33.
答案:C
3已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,则a10等于( ).
A.-165B.-33
C.-30D.-21
解析:(方法一)由已知得a4=a2+a2=-12,a8=a4+a4=-24,a10=a8+a2=-24-6=-30.
(方法二)∵a2=a1+a1=-6,
∴a1=-3,
a3=a1+a2=-9,a5=a2+a3=-15,
a10=a5+a5=-30.
答案:C
4在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,则an等于( ).
A.2+ln n
B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n
D.1+n+ln n
解析:(方法一)由a2=a1+ln 2=2+ln 2,排除C,D;
由a3=a2+ln1+12=2+ln 3,排除B.
(方法二)∵an+1-an=ln n+1n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1
=ln nn-1+ln n-1n-2+…+ln 32+ln 2+2
=lnnn-1·n-1n-2·…·32·2+2
=2+ln n.
答案:A
★5数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:若an为自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6= .
解析:∵a1=1是自然数,
∴a2=a1-2=1-2=-1.
∵a2=-1不是自然数,
∴a3=a2+3=-1+3=2.
∵a3=2是自然数,
∴a4=a3-2=2-2=0.
∵a4=0是自然数,
∴a5=a4-2=0-2=-2.
∵a5=-2不是自然数,
∴a6=a5+3=-2+3=1.
答案:1
6设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是 .
解析:∵(n+1)an+12-nan2+anan+1=0,
∴[(n+1)an+1-nan]·(an+1+an)=0.
∵an>0,∴an+an+1>0.
∴(n+1)an+1-nan=0.
方法一:∵an+1an=nn+1,
∴a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·anan-1=12·23·34·45·…·n-1n,∴ana1=1n.
又a1=1,∴an=1na1=1n.
方法二:(n+1)an+1-nan=0,
∴nan=(n-1)an-1=…=1×a1=1,
∴nan=1,an=1n.
答案:an=1n
7在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写出此数列的前6项.
解a1=2,a2=3,
a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5,
a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9,
a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17,
a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.
★8已知数列{an}满足an+1=2an,0≤an<12,2an-1,12≤an<1.若a1=67,试求a2015+a2016.
解∵a1=67∈12,1,
∴a2=2a1-1=57∈12,1,
∴a3=2a2-1=37∈0,12,
∴a4=2a3=67.
∴数列{an}是周期数列,且周期为3. ∴a2 015+a2 016=a671×3+2+a671×3+3=a2+a3=57+37=87.