专题33 垂径切线图问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题33  垂径切线图问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·宁波市曙光中学九年级月考）如图，在菱形中，的延长线交以为圆心，的长为半径的于点．于点．若，则的长为（    ）．

A． B．4 C． D．

【答案】B

【分析】

过点作于，根据菱形的性质得到，即可得出DH，根据垂定定理即可得出答案．

【详解】

过点作于，

∵，

∴，，，

∵四边形是菱形，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选B．

【点睛】

本题考查了圆的性质，垂径定理以及菱形的性质，得出和全等，正确作出辅助线是解题的关键．

2．（2019·金昌市第五中学九年级一模）如图，两个同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB＝10，则图中阴影部分面积为_____．

【答案】

【分析】

如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得，再根据垂径定理可得，然后利用勾股定理可得，最后根据阴影部分面积等于大圆面积减去小圆面积即可得．

【详解】

如图，连接OA、OC，

由圆的切线的性质得：，

由垂径定理得：，

在中，，

则图中阴影部分面积为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．

例3．（2020·湖北黄石市·九年级期末）如图，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交、于点、，连接．

（1）求证：；

（2）求证：是线段的中点；

（3）连接，若，，求的半径和的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）,

【分析】

（1）连接OD，根据是半圆的直径，点是半圆上一点，推导得；结合DG是圆的过点的切线，得；根据，推导得，从而得到，即可完成证明；

（2）连接OC，OC交AD于点Q；根据点是的中点，得；通过证明得，从而得；结合，推导得，即可完成证明；

（3）连接，点是的中点得AC，根据是半圆的直径，结合勾股定理计算的AB；再通过直角三角形面积计算公式，即可得CE．

【详解】

（1）连接OD

∵是半圆的直径，点是半圆上一点，

∴

∴

∵DG是圆的过点的切线

∴

∴

∴

∵

∴

∴ ，即

∵

∴

∴

∴；

（2）连接OC，OC交AD于点Q

∵点是的中点

∴

∴

∵

∴

∵

∴

即

∴

∴，即

∴

又∵点是的中点

∴，即

∵

∴，

∴

∴

∴，即是线段的中点；

（3）连接

∵点是的中点，

∴

∵是半圆的直径

∴

∴

∴，即的半径为

又∵

∴

∴．

【点睛】

本题考查了圆、等腰三角形、直角三角形、全等三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆的切线、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·山东菏泽市·九年级二模）如图，是圆的直径，，是圆上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：①；②平分；③；④≌，其中一定成立的是（    ）

A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④

2．（2020·合肥市第四十六中学九年级三模）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则PD•CD的最大值是（　　）．

A．2 B．3 C．4 D．6

二、填空题

3．（2020·广东深圳市·九年级月考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为_________．

4．（2015·山西九年级专题练习）如图，已知为的直径，，和是圆的两条切线，、为切点，过圆上一点作的切线，分别交、于点、，连结、，若，则=______.

三、解答题

5．（2020·安徽芜湖市·九年级月考）如图，是的直径，是的中点，过点作交于点，，交的延长线于点．

（1）______．

（2）求证：是的切线．

（3）点在上，，交于点．若，求的长．

6．（2020·云南昆明市·）如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点．弦平分，交直径于点，连接．

（1）求证：平分；

（2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明；

（3）若，，求的长．