专题19 等腰旋转问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题19  等腰旋转问题

【规律总结】

 等腰直角三角形在旋转变换下的探究性问题，是近几年中考数学命题的热点，其探究过程常与三角形的全等和相似、勾股定理、正方形的性质以及函数方程等知识有关，是一类对能力要求较高的问题。具体归纳为以下几种类型进行分析.

    一、90°角绕直角顶点旋转

    二、90°角绕斜边中点旋转

三、45°角绕直角顶点旋转

四、45°角绕斜边中点旋转

【典例分析】

例1．（2021·上海九年级专题练习）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30 ，DM=10．

（1）在旋转过程中，当A，D，M为同一直角三角形的顶点时，AM的长为____；

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，BD2的长为_____．

【答案】或．       

【分析】

（1）由题意不是最长边，所以∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据，计算即可，当∠ADM=90°时，根据，计算即可．

（2）连接．首先利用勾股定理求出，再利用全等三角形的性质证明即可．

【详解】

解：（1）由题意不是最长边，所以∠MAD不能为直角．

当∠AMD为直角时，，

∴或（舍弃）．

当∠ADM=90°时，，

∴AM= 或（舍弃）．

综上所述，满足条件的AM的值为或 ．

（2）如图2中，连接，

由题意：，

∴，

∵

∴，

∴

∵∠BAC=，

∴，

∴，

∵AB=AC，，

∴（SAS），

∴．

故答案为：（1）或 ，（2）

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

例2．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．

（1）如图1，若，求的长；

（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；

（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或

【分析】

（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AB=4，BD=AB=1，即可得出的长；

（2）在BD上截取DF=EN，可证出，由全等三角形的性质得AN=AF，，可得出，则，可得，即F是BC的中点，可得出AN=AF=FC=DF+CD=EN+CD；

（3）由题意可得AD=AE，，，分三种情况：①AM=MD，②AM=AD，③AD=MD，根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．

【详解】

解：（1）∵，，

∴BC=2AB=4，，

∵

∴，

∴BD=AB=1，

∴=BC-BD=4-1=3；

（2）证明：如图2，在BD上截取DF=EN，

∵把绕点A逆时针旋转90°，得到，

∴AD=AE，，，

∵，

∴，

∴，

∴AN=AF，，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵AN=AF，

∴，

∴，即F是BC的中点，

∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，

∵AN=AF，

∴；

（3）解：由题意可得AD=AE，，

∴，

分三种情况：

①AM=MD时，

∵AM=MD，

∴，

∴，

∵，

∴；

②AM=AD时，

∵AM=AD，

∴，

∵，

∴；

③AD=MD时，

∵AD=MD，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

∴当为等腰三角形时，的度数为或或．

【点睛】

本题主要考查了几何变换综合题，需要熟练掌握旋转的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．

【好题演练】

一、单选题

1．（2021·上海九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．

二、填空题

2．（2020·江苏苏州市·九年级一模）如图，折线中，，，将折线绕点按逆时针方向旋转，得到折线，点的对应点落在线段上的点处，点的对应点落在点处，连接，若，则_____°．

3．（2019·江苏南京市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．

三、解答题

4．（2020·湖北孝感市·九年级期中）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．

（1）如图1，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE．

①求证：ADF≌ABE；

②求证：DE﹣BE＝AE．

（2）如图2，若点E在上，直接写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．

5．（2021·上海九年级专题练习）如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．

（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

5．（2020·湖北武汉市·九年级期中）（问题背景）（1）如图1，是正三角形外一点，，则？小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转请帮助小明完成他的作图；

（迁移应用）（2）如图2，在等腰中，，点在外部，使得，若，求；

（拓展创新）（3）如图3，在四边形中，点在四边形内部．且，直接写出的长．