专题38第7章圆之垂径切线图-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）(原卷+解析)

38第7章圆之垂径切线图

一、单选题

1．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（　　）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊角的三角函数值即可求出OD．

【详解】解：∵OD⊥弦BC，

∴∠BDO＝90°，

∵∠BOD＝∠BAC＝60°，

∴OD＝OB＝1，

故答案选：C．

【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数计算．

2．⊙O的直径为26cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB和CD之间的距离为（    ）cm

A．7 B．5 C．7，17 D．5，17

【答案】C

【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE= AB=12，CF=CD=5，接着根据勾股定理，在Rt中计算出OE=5，在Rt中计算出OF=12，然后分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE．从而可得答案．

【详解】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，

由⊙O的直径为26cm，则⊙O的半径为13cm，

如图， ∵AB∥CD，

 ∴OF⊥CD，

 ∴AE=BE= AB=12，

CF=DF=CD=5，

在Rt中，∵OA=13，AE=12，

∴OE=

在Rt中，∵OC=13，CF=5，

∴OF=

 当圆心O在AB与CD之间时，

EF=OF+OE=12+5=17；

当圆心O不在AB与CD之间时，

EF=OF-OE=12-5=7；

 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm．

故选：C．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键．

3．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，弦CD⊥AB于E，AB=10，CD=8，则OE的长为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】先根据垂径定理得出CE的长，再根据勾股定理求出OE即可．

【详解】连接OC．

∵直径AB=10，

∴OC=5．

∵CD⊥AB，AB为直径，

∴CD=2CE=8，∠OEC=90°，

∴CE=4，

由勾股定理得：OE3．

故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出CE的长是解题的关键．

4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则PD•CD的最大值是（　　）．

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】A

【分析】过点O向BC作垂线OH，垂足为H，由垂径定理得到H为PD的中点，设PC=x，根据CD=PC-PD，进而求出PD·CD，整理后得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值．

【详解】过点O向BC作垂线OH，垂足为H，

∵PD是⊙O的弦，OH⊥PD，

∴PH=HD.

∵∠CHO=∠HCA=∠OAC=90°，

∴四边形OACH为矩形，

∴CH=OA=2，

∵PC=x，

∴PH=HD=PC-CH=x-2，

∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，

∴PD·CD=2 (x-2)(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2，

∵2＜x＜4，

∴当x=3时，PD·CD的值最大，最大值是2，

故选：A．

【点评】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、二次函数的性质，作OH⊥BC，利用垂径定理求解是解答的关键．

5．如图，已知，为反比例函数的图象上一点，以为直径的圆的圆心在轴上，与轴正半轴交于，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】过B点作BH⊥x轴于H点，由AB为直径，推出H在圆上，再由垂径定理求出OH的长，再在△COH中由勾股定理求出圆的半径，进而求出CO，最后再求出BH，求得的值.

【详解】解：过B点作BH⊥x轴于H点，连接CH，如下图所示：

∵AB为圆的直径，且∠AHB=90°

由直径所对的圆周角为90°知：

H必在圆C上.

又AH⊥y轴，由垂径定理知：OA=OH=2.

设圆的半径CD=CH=r，则CO=DO-CD=4-r

在Rt△COH中，由勾股定理有：

∴，解得

∴CO ==

又O为AH的中点

∴CO为△ABH的中位线

∴BH=2CO=3

∴B点坐标为(2,3),故=6.

故答案为：C.

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及其推论、中位线定理、反比例函数解析式的求法，属于综合题，熟练掌握圆周角定理及推论是解决此题的关键.

6．如图，的直径垂直于弦，垂足是点，，，则弦的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据垂径定理得到CE=DE，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=45°，则△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=4，从而得到CD的长．

【详解】解：∵CD⊥AB，

∴CE=DE，

∵∠BOC=2∠A=2×22.5°=45°，

∴△OCE为等腰直角三角形，

∴CE=sin45°×OC=×8=4，

∴CD=2CE=8．

故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理，以及锐角三角函数的知识．

二、填空题

7．如图，两个同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB＝10，则图中阴影部分面积为_____．

【答案】

【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得，再根据垂径定理可得，然后利用勾股定理可得，最后根据阴影部分面积等于大圆面积减去小圆面积即可得．

【详解】如图，连接OA、OC，

由圆的切线的性质得：，

由垂径定理得：，

在中，，

则图中阴影部分面积为，

故答案为：．

【点评】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．

8．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为_________．

【答案】（5，3）

【分析】作轴，轴，，垂足分别为D、E、F，连接DF，求出CF=BD=1，，求出CE=x-2，再由点C在抛物线上，设C，可得方程，求解方程即可．

【详解】作轴，轴，，垂足分别为D、E、F，连接DF，则

中，，，

设点C的坐标为

对于，令y=0，则，

解得，，

∵MD⊥AB,

∴BD=1

，

，

，

解得，（舍去），，

故答案为（5，3）．

【点评】此题主要考查了圆的基本性质和抛物线上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答本题的关键．

9．如图，圆柱形水管的截面半径是，阴影部分为有水部分，水面宽，则水的最大深度是__________．

【答案】1.6

【分析】如图（见解析），先根据圆的性质得出水的最大深度为CD的长，再根据垂径定理、勾股定理求出OC的长，由此即可得．

【详解】如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA

由圆的性质可知，圆的半径为，水的最大深度为CD的长

由垂径定理得：

在中，

则

即水的最大深度是

故答案为：．

【点评】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，理解题意，正确找出水的最大深度为CD的长是解题关键．

10．如图所示，在中，AB为弦，交AB于点D，且为上任意一点，连接PA，PB，若的半径为1，则的最大值为___________．

【答案】

【分析】如图（见解析），先根据垂径定理求出AB的长，再根据圆的性质得出AB边上高的最大值，然后利用三角形的面积公式即可得．

【详解】如图，连接OA

的半径为1

，OC为圆的半径

在中，

要使取得最大值，则AB边上的高需最大，即点P到AB的距离需最大

由圆的性质可知，当点共线时，点P到AB的距离最大，最大值为

则

故答案为：．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识点，利用圆的性质得出AB边上的高的最大值是解题关键．

11．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F，BD=5，则OF=__________________________．

【答案】

【分析】利用垂径定理可得，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题．

【详解】∵直径AB⊥弦CD，
∴，

∴BD=BC=5，

∵OF⊥AC，
∴AF=FC，
∵OA=OB，

∴OF是三角形ABC的中位线 ,

∴2OF=，

故答案为：．

【点评】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

12．已知分别切于点，为上不同于的一点，，则的度数是_______．

【答案】或

【分析】连接OA、OB，先确定∠AOB，再分就点C在上和上分别求解即可．

【详解】解：如图，连接OA、OB，

∵PA、PB分别切于A、B两点，

∴∠PAO=∠PBO=90°

∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，

当点C1在上时，则∠AC1B=∠AOB=50°

当点C2在B上时，则∠AC2B+∠AC1B=180°，即.∠AC2B=130°．

故答案为或．

【点评】本题主要考查了圆的切线性质和圆周角定理，根据已知条件确定∠AOB和分类讨论思想是解答本题的关键．

三、解答题

13．如图，已知是的直径，C，D是上的点，，交于点E，连结．

（1）求证：；

（2）若，，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，于是得到结论；
（2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°，根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBD=30°，求得∠AOD=120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE=ED；
 

（2）解：连接CD，OD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30°，

∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，
∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD=30°，

∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵AB=6，
∴BD=3，AD=3，
∵OA=OB，AE=ED，
∴OE＝BD＝，
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD==．

【点评】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

14．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．

（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；

（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）先求出半径，然后利用勾股定理求出CE的长度，最后利用垂径定理即可求出CD的长度；

（2）延长ME与AC交于点N，先利用直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质得出∠CEN=∠DEM=∠D，然后利用∠B=∠C，得出，则∠CNE =90°，则结论可证．

【详解】解：（1）如图1，连接OC．

∵ AE=4，BE=2，

∴AB =6，

∴CO =AO=3，

∴OE =AE-AO=1，

∵CD⊥AB，

∴ CE=

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=DE，

∴ CD=2CE=．

（2）证明：如图2，延长ME与AC交于点N．

∵CD⊥AB，

∴∠BED=90°．

∵ M为BD中点，

∴EM =BD =DM，

∴∠DEM=∠D，  

∴∠CEN=∠DEM=∠D．        

∵∠B=∠C，

∴∠CNE =90°，

即ME⊥AB．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．

15．如图，是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8m， AB为⊙O的劣弧，截面有水部分的最大深度为2m，求水管半径．

【答案】5

【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据垂径定理得到AD=4cm，设OA=r，则OD=r－2，利用勾股定理得到，即，求值即可.

【详解】如图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，

∵OD⊥AB，

∴AD=AB=×8=4cm，
设OA=r，则OD=r－2，
在Rt△AOD中，，

即，

解得r=5cm.

【点评】此题考查圆的垂径定理，勾股定理，再圆中，通常求圆的半径，弦的一半及弦心距三者中的一个量，都是利用垂径定理及勾股定理解决.

16．如图已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，OC平分AB，求AC的长．

【答案】30

【分析】OC平分AB，根据圆的性质得OH⊥AB，通过勾股定理计算得OH，从而得到HC，再通过勾股定理计算即可得到AC．

【详解】连接OA

∵OC平分AB，即H为AB的中点

∴OH⊥AB

在Rt△OAH中，OA=25，AH=24

根据勾股定理得：

∴HC=OC-OH=25-7=18

在Rt△AHC中，根据勾股定理得：

．

【点评】本题考查了圆和直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的性质，从而完成求解．

17．如图，中，，以为直径作半圆交与点，点为的中点，连结.

（1）求证：是半圆的切线；

（2）若，，求的长.

【答案】（1）见解析；（2）6.

【分析】（1）连接OD，OE，BD，证△OBE≌△ODE（SSS），得∠ODE=∠ABC=90°；（2）证△DEC为等边三角形，得DC=DE=2.

【详解】（1）证明：连接OD，OE，BD，

∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC-DC=6．

【点评】考核知识点：切线的判定和性质.

18．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果为⊙的直径，弦于，寸，寸，那么直径的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出的长．

【答案】补图见解析；AB=26．

【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．

【详解】解：如图所示，连接OD．

∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD=10寸，
∴CE=DE=CD=5寸，
设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，
由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，
即（x-1）2+52=x2，
解得：x=13，
∴AB=26寸，
即直径AB的长为26寸．

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．

19．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．

（1）求证：△AED≌△CEB；

（2）求证：FG⊥AD；

（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析

【分析】（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；

（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A＋∠AEG＝90°，进而得出结论；

（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH＝AB＝2，则EH＝AH−AE＝1，由勾股定理求出OH＝1，OB＝，由一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，即可得出结论．

【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，

在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；

（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，

∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，

∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，

∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；

（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：

∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，

∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，

∴OH＝＝＝1，∴OB＝＝＝，

即⊙O的半径为，

∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．

【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．

20．如图，是的直径，点C，点D在上，，与相交于点E，与相切于点A，与延长线相交于点F．

（1）求证：．

（2）若，，求的半径．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据切线性质得到∠BAF=90°，由得出∠CAD=∠CDA，结合∠CDA=∠ABC，证明∠CAF=∠CAD，从而证明△ACF≌△ACE，即可得到结论；

（2）根据EF求出CE，结合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最后根据sin∠ABF=求出AB即可得到半径．

【详解】解：（1）∵AB为圆O直径，

∴∠ACB=90°，

∵AF与圆O相切，

∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB，

∴∠CBA+∠CAB=90°，

∵，

∴AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

又∵∠CDA=∠CBA，

∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°，

∴∠CAF=∠CAD，又AC=AC，∠ACF=∠ACE=90°，

∴△ACF≌△ACE（ASA），

∴AE=AF；

（2）∵∠ABF=∠ADC=∠CAD，

∴sin∠ABF=sin∠CAD==，

∵△ACF≌△ACE，EF=12，

∴CE=CF=6，

∴=，解得：AE=10，

∴AC==8，

∴sin∠ABF==，

∴AB=，

∴圆O的半径为．

【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正弦的定义，知识点较多，有一定难度，解题时要注意多个知识点相结合．

21．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．

（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；

（2）若OB＝4，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．

【答案】（1）见解析；（2）CF＝4+2．

【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE＝∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；

（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG＝∠OHB＝90°，由切线的性质得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG＝OH，由等边三角形的性质得出∠OBH＝30°，由直角三角形的性质得出OH＝OB＝1，OG＝，即可得出答案．

【详解】（1）证明：∵AE＝DC，

∴

∴∠ADE＝∠DBC．

在△ADE和△DBC中，

．

∴△ADE≌△DBC （AAS）．

∴DE＝BC；

（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示：则∠OHG＝∠OHB＝90°，

∵CF与⊙O相切于点C，

∴∠FCG＝90°．

∵∠F＝45°，

∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，

∴CF＝CG，OG＝OH．

∵AB＝BD＝DA，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ADB＝60°．

∴∠AOB＝2∠ADB＝120°

∴∠BOH＝∠BOA＝60°，

∴∠OBH＝30°

∴OH＝OB＝2．

∴OG＝2．

∴CF＝CG＝OC+OG＝4+2．

【点评】本题主要考查了圆的综合应用，准确计算是解题的关键．

22．如图，为⊙的直径，为弦的中点，连接并延长，交弧于点，过点作⊙的切线，交的延长线于点．

（1）求证：AC∥DE；

（2）连接、、．填空

①当的度数为___________时，四边形为菱形；

②当时，四边形的面积为___________．

【答案】（1）见解析；（2）①30°；②

【分析】（1）由垂径定理以及切线的性质可得FO⊥AC，OD⊥DE，可得AC∥DE；
（2）①当∠OAC=30°时，四边形AOCD是菱形，连接CD，AD，OC，由题意可证△ADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF=OF，AF=FC，且AC⊥OD，可得四边形AOCD为菱形；
②由题意易证△AFO∽△ODE，利用相似三角形的性质可得，即OD=2OF，DE=2AF=AC，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积．

【详解】（1）∵F为弦AC的中点，
∴AF=CF，且OF过圆心O，
∴FO⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴OD⊥DE，
∴DE∥AC；
（2）①当∠OAC=30°时，四边形AOCD是菱形，
理由如下：如图，连接CD，AD，OC，

∵∠OAC=30°，OF⊥AC，
∴∠AOF=60°，
∵AO=DO，∠AOF=60°，
∴△ADO是等边三角形，
又∵AF⊥DO，
∴DF=FO，且AF=CF，
∴四边形AOCD是平行四边形，
又∵AO=CO，
∴四边形AOCD是菱形；

故答案为：30°；
②如图，连接CD，

∵AC∥DE，
∴△AFO∽△ODE，

∴，

∴OD=2OF，DE=2AF，
∵AC=2AF，
∴DE=AC，且DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵OA=AE=OD=2，
∴OF=DF=1，OE=4，
∵在Rt△ODE中，DE=，

∴S四边形ACDE=DEDF=，

故答案为：．

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．

23．如图，中，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）的半径为，，求的长．

【答案】（1）见解析  （2）

【分析】（1）由垂径定理可知OD⊥AE，由于FC=BC，所以∠CFB=∠DFG=∠CBF，由于∠D+∠DFG=90°，所以∠OBD+∠CBF=90°，从而可知BC是⊙O的切线；

（2）连接AD，根据OA=5，，得出OG=3，AG=4，易证△DAG∽△FDG，所以DG2=AG•FG，从而可求出FG的长度，利用勾股定理即可求出FD的长度．

【详解】（1）点是的中点，

即

是的半径，

是的切线

（2）连接

，

，

是的直径

，

，

由勾股定理可知：

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，切线的判定与性质等知识，本题属于中等题型．

24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AE=AB；

（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）．

【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．

(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．

【详解】

（1）证明：连接OC

∵CD与⊙O相切于C点

∴OC⊥CD

又∵CD⊥AE

∴OC//AE

∴∠OCB＝∠E

∵OC=OB

∴∠ABE＝∠OCB

∴∠ABE＝∠E

∴AE=AB

（2）连接AC

∵AB为⊙O的直径

∴∠ACB＝90°

∴

∵AB=AE，AC⊥BE

∴EC=BC=6

∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA

∴△EDC∽△ECA

∴

∴．

【点评】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解．

25．如图，是的直径，点是弧的中点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若于点，交于点，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于，连接，交于、交于点，已知，，求的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6

【分析】

(1)连接OF,根据等弧对等角得出,再根据三线合一即可证明AH=FH．

(2)延长交于点，连接,由弧长等量代换和等弧对等角,得出∠FAC=∠MCA,即可得AE=CE．

(3) 连接,推出AT=AO, 再连接，作,由推出,再由(1)中的信息求出BC, 作于点，连接OR,证明,由矩形性质即可求出CR．

【详解】

解：（1）连接，∵点是弧的中点，

∴弧弧∴

∵∴；

（2）延长交于点，连接．

∵，是的直径∴弧弧

∵弧弧∴弧弧

∴∴；

（3）连接

∵是的直径∴

设∴

∵弧弧∴

∵∴

∴

∴

∴

连接，作于点

∵∴，

，∴

∵弧弧∴，

∵是的直径，∴

∴∴

∴，∴

由（1）知，，

∴，

∴∴

∵∴，

∴

，，

作于点，连接

∴∴

，

∴，

∴，

四边形是矩形，∴．

【点评】

本题考查圆的综合性质,关键在于合理作出辅助线对角度和线段进行转换．

26．如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点．弦平分，交直径于点，连接．

（1）求证：平分；

（2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明；

（3）若，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；

（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边即可证得；

（3）证明△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．

【详解】解：（1）连接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，

∴∠OCP=∠D=90°，

∴OC∥AD．

∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）PC=PF．

证明：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠PCB+∠ACD=90°

又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．

又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．

∴∠PFC=∠PCF．

∴PC=PF．

（3）连接AE．

∵∠ACE=∠BCE，

∴，

∴AE=BE．

又∵AB是直径，

∴∠AEB=90°．

AB= BE＝10，

∴OB=OC=5．

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAC．

∴．

∵tan∠PCB=tan∠CAB=．

∴．

设PB=3x，则PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，

解得x1=0，x2＝．

∵x＞0，∴x＝，

∴PF=PC=．

【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．