专题23 60°、90°旋转问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题23  60°、90°旋转问题

【规律总结】

遇60°，旋60°，造等边；

遇90°，旋90°，造垂直；

遇中点，旋180°，造中心对称；

遇等腰，旋顶角；

遇中点，旋180°，造中心对称；

【典例分析】

例1．（2020·武汉市卓刀泉中学八年级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（　　　）

A．5.5 B．6 C．7.5 D．8

【答案】C

【分析】

以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解．

【详解】

如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF，

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，

∴∠ABC=60°，BC=3，

∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，

∴CD=CE，∠DCE=60°，

∵△BCF是等边三角形，

∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°，

∴∠BCE=∠DCF，且BC=CF，DC=CE，

∴△BCE≌△FCD(SAS)，

∴ BE= DF，

∴DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，

如图，此时作，

∵=180°-60°-60°=60°，，

∴ ，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．

例2．（2021·上海九年级专题练习）平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为____．

【答案】

【分析】

如图，作轴于点，由旋转可知≌，推出，，可得到，令，，可知，即可知点在直线的图象上运动，设直线交轴于点，交轴于点，作于点，根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，构建方程组确定交点的坐标即可求解．

【详解】

解：如图，作轴于点，设点A的坐标为（0，m)；

，，

，，

，，

，，

，

在与中

，

≌，

，，

，

令，，

，

点在直线上运动，

设直线交轴于点，交轴于点，

作于点，

则直线的解析式为：，

由，

解得：，

，

根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，此时．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识点，正确找到点的运动轨迹是解题的关键．

例3．（2021·湖北武汉市·九年级月考）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，O为BC的中点，D为AC斜下方一点，，则AD的长为______．

【答案】10

【分析】

连结AO由等腰直角三角形的性质得AO=CO=OB，∠AOC=90º，利用旋转变换将三角形△DOC，逆时针旋转90º得到△EOA，由性质得AE=CD=6，∠EOD=90º，EO=DO=，EA⊥DC,，过A作AF∥CD，交ED于F，利用平行线的性质∠FED=∠ADC=30º,推出∠EAD=∠EAF+∠FAD=120º,过E作EG⊥DA交延长线于G，∠EAG=60º利用余角性质∠GEA=30º，在Rt△AGE中，解直接三角形，AE=6，AG=3，EG=，在Rt△EOD中由勾股定理求ED=，在Rt△EGD中用勾股定理，构造AD方程，解方程即可．

【详解】

连结AO

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，O为BC的中点，

∴AO=CO=OB，∠AOC=90º，

将三角形△DOC，逆时针旋转90º得到△EOA，

∴AE=CD=6，∠EOD=90º，EO=DO=，EA⊥DC,

过A作AF∥CD，交ED于F，

∴∠EAF=90º，∠FED=∠ADC=30º,

∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=90º+30º=120º,

过E作EG⊥DA交延长线于G，

∴∠EAG=180º-∠EAD=180º-120º=60º

∴∠GEA=90º-∠EAG=90º-60º=30º，

在Rt△AGE中，AE=6，

AG==3，

EG=，

在Rt△EOD中，

ED=，

在Rt△EGD中，

GD=GA+AD=3+AD，

∴，

∴，

∴，

∴AD=10或-16（舍去），

故答案为：10．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，三角形旋转，解直角三角形，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质创造旋转的条件，利用三角形旋转转移线段与角的相等关系，利用解直角三角形求出勾股定理应用的线段的长度，利用勾股定理构造方程是解题关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（　　）

A．2 B．4 C． D．

2．（2020·湖南长沙市·长郡中学八年级期中）如图，均为等边三角形，三点共线，且是的中点，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④⑤，其中正确的个数为（  　）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2020·北京海淀区·人大附中九年级月考）如图，是等边三角形，，点E在上，，点D在的延长线上，将线段绕点E逆时针旋转90°，得到线段，连接，若，则的长为______．

三、解答题

4．（2021·四川成都市·八年级期末）已知：等边三角形ABC，直线l过点C且与AB平行，点D是直线l上不与点C重合的一点，作射线DB，并将射线DB绕点D顺时针转动，与直线AC交于点E（即）．

（1）如图1，点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F，求证：；

（2）如图2，，，依题意补全图2，试求出DE的长；

（3）当点D在点C右侧时，直接写出线段CE、BC和CD之间的数量关系．

5．（2019·渠县第三中学八年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+6交坐标轴于A，B两点，过点C（-6，0）作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE ≌△BOA．

（1）求点B的坐标，线段OA的长；

（2）确定直线CD的解析式，求点D的坐标；

（3）如图2，点M是线段CE上一动点(不与点C，E重合)，ON⊥OM交AB于点N，连接MN，当△OMN的面积最小时，请求点M的坐标和△OMN的面积．

（4）如图3，点M是直线CD上一动点，过点M作x轴的垂线，交轴于点Q，连接EQ，若∠EQM=∠ACD，求点M的坐标．

6．（2020·辽宁沈阳市·九年级其他模拟）在中，，点在平面内，连接，并将线段绕顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．

（1）如图，如果点是边上任意一点．则线段和线段的数量关系是__________．

（2）如图，如果点为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；

（3）如图，在中，，，，是线段上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转60°，得到线段，连接．请直接写出线段长度的最小值．