专题38 母子型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题38  母子型问题

【规律总结】

   如图,在Rt△ABC中,,则有Rt△ACD∽Rt△ABC, Rt△CBD∽Rt△ABC, Rt△ACD∽Rt△CBD.其中,Rt△ACD∽Rt△CBD为姊妹型相似,Rt△ACD∽Rt△ABC, Rt△CBD∽Rt△ABC为母子型相似.

   如图所示,若（或）,则△ACD∽△ABC,为母子型相似.

【典例分析】

例1．（2020·桂林市国龙外国语学校九年级月考）如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【答案】C

【分析】

根据正方形性质和旋转性质得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF与△DEA相似，得到对应边成比例即可得到结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠ADB=45°，

∵把△ABC绕点A逆时针旋转到，

∴∠EAF=∠BAC=45°，

∴∠EAF=∠ADB=45°，

∵∠AEF=∠DEA，

∴△AEF∽△DEA，

∴，

∴EF·ED=AE2，

∵AE=4，

∴EF·ED=16，

故选：C．

【点睛】

本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．

例2．（2020·四川师范大学附属中学九年级月考）如图，在边长为4正方形中，以为腰向正方形内部作等腰，点在上，且．连接并延长，与交于点，与延长线交于点．连接交于点．若，则____．

【答案】

【分析】

作于，交于，根据勾股定理可得BG，再由相似三角形的性质可得BH，继而判定，并求得BF的长，由全等三角形的性质可得ME，利用线段的和差求得EN，进而由三角形面积公式即可求解．

【详解】

作于，交于，如图，则，

∵，

∴，，

在中，，

∵，

∴．

∴即解得

∵，而，

∴，即，

而，

∴．

∴，

∴BF⊥AE．

∴，

∵∠BME＝EFB，∠MBE＝∠FEB，BE＝EB，

∴△BME≌△EFB（AAS），

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线求得关键线段的长解决问题．

例3．（2020·四川成都市·川大附中九年级月考）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．

（1）如图，当点与点重合时，求的长．

（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域．

（3）连接，当与相似时，求线段的长．

【答案】（1）3；（2）；（3）或1

【分析】

（1）由，得，又，得，得即可；

（2）过点作，垂足为点，四边形是矩形，，可证，得，设，，利用线段和差即可得到；

（3）， ，推出，当与相似时，分类讨论①若，推出，，，求得， ②若，设与交于点，由，，知，可证△AEO∽△ABC，利用性质可求，，综上所述，线段的长为或1时与相似．

【详解】

（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴．

（2）过点作，垂足为点，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，，

∴2x-y=4,

当点在线段上时，

∴．

（3）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

当与相似时，

①若，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵设，，，

∴．

②若，设与交于点，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵AB=4，BC=3，则AC=5，

设，

由EO∥BC

∴△AEO∽△ABC

∴即

则，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

综上所述，线段的长为或1时与相似．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式，相似三角形的性质，三角函数等知识，掌握等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式的求法，相似三角形的性质，三角函数是解题关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·河南驻马店市·九年级期中）如图，四边形ABCD中，对角线，且，，各边中点分别为、、、，顺次连接得到四边形，再取各边中点、、、，顺次连接得到四边形，……，依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．不确定

2．（2020·湖北武汉市·九年级其他模拟）古希腊数学家发现“黄金三角形”很美．顶角为的等腰三角形，称为“黄金三角形”．如图所示，中，，，其中，又称为黄金比率，是著名的数学常数．作的平分线，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形．若的长为1，那么的长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·九年级二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，四边形ECGF为菱形，点G在AD上，点B在EF上，若菱形的一条对角线CF=，则菱形ECGF的另一条对角线EG的长度是_____．

4．（2020·福建省泉州第一中学九年级其他模拟）如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°，点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数(k0)的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为______．

三、解答题

5．（2020·江苏盐城市·景山中学九年级月考）问题背景

在中，，，，点、分别是边、上的动点，设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为．

初步思考

（1）如图1，过点作的垂线，垂足为，连结、．当时，________；

深入探究

（2）如图2，若于，以，为邻边作平行四边形，当时，是否存在，使得平行四边形的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

拓展延伸

（3）如图3，连接、交于点，若，且满足，判断是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．

6．（2020·常熟市第一中学九年级二模）如图，已知反比例函数（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．

（1）若BD＝3OC，求△BDE的面积；

（2）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．