专题29 四点共圆问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题29  四点共圆问题

【规律总结】

1、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

2、判定定理：方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）

【典例分析】

例1．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值．

【详解】

解：∵在中，，，，

∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=

∵

∴

∴△ABC∽△PQC

∴， ，即

∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值

∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为

故选：B．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．

例2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________．

【答案】13

【分析】

先证明A、C、B、D四点共圆，得到∠DCB与∠BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB的度数，再证∠ECB=45°，得出结论．

【详解】

解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB中点，

∴AE=EB=EC=ED，

∴A、C、B、D在以E为圆心的圆上，

∵∠BAD=32°，

∴∠DCB=∠BAD=32°，

又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点，

∴∠ECB=45°，

∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．

故答案为：13．

【点睛】

本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．

例3．（2020·北京市三帆中学九年级期中）已知：过上一点作两条弦、，且，（、都不经过）过作的垂线，交于，直线，交于点，直线，交于点.

（1）请在图1中，按要求补全图形；

（2）在图2中探索线段和的数量关系，并证明你的结论；

（3）探索线段、、的数量关系，并直接写出你的结论________.

【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）

【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）连接，CD，取中点连接、，证明、、、四点共圆进而可证出结论；

（3）由（2）知，点A、B、E、F四点共圆，连接CD，交AB于点P，则CD过圆心O，由证得出△ACB∽△APD∽CPB，进而可证，由等量代换可得出结论．

【详解】

解：（1）补全图形

（2）

证明：连接，CD，CD过圆心O，CD为直径，取中点连接、

∵，∠DBF=90°，

∴

∵

∴

∴、、、在圆上，

∴∠1=∠2，

∵∠DAE=90°，∠BAD=45°，

∴∠2=∠BAD=45°，

又∵∠EBF=90°，

∴∠BEF=45°=∠1，

∴，

故答案为：；

（3）由（2）知，点A、B、E、F四点共圆，连接CD，交AB于点P，则CD过圆心O，

∴∠BEA=∠BFA，，∠EBC=∠DBF=∠DAE=90°，

∴△EBC≌△FBD，

∴BC=BD，CE=DF，

在△ACB和△APD中，

∠CAB=∠DAB=45°，∠ABC=∠ADC，∠BCD=45°，

∴△ACB∽△APD∽CPB，

∴，

∴，

CD为直径，，

∴

=

=

=

=2，

∴，

∴AE=CE+AC=DF+AC=AF+DA+AC=AF+，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了四点共圆的证明，圆的性质以及性质应用，勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·浙江杭州市·九年级专题练习）如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．

【详解】

弧、弧的长度分别为、

圆的周长为

（圆内接四边形的对角互补）

弧所对圆心角的度数为

则弧的长度为

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．

2．（2019·浙江绍兴市·九年级期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】

只要证明，得，求出、即可解决问题．

【详解】

解：，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，，

，

，即，

，，

，

、、、四点共圆，

，，

，

，

．

故选：．

【点睛】

本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题

3．（2020·黑龙江哈尔滨市·）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．

【答案】17

【分析】

用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，得到△AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．

【详解】

∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，

，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，
∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；

延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，

∵∠AFE=60°，

∴△AFG是等边三角形，

∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，

∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°，

∴∠BAF=∠CAG，

∵DT=CE，

∴∠DBT=∠BTD，

∵∠BAD=∠CBE，
∴∠BAD=∠BTD，

∴A、B、D、T四点共圆，

∴∠BAD=∠DAT，

∴∠FAT=∠GAE，

在△FAT和△GAE中，

，
∴△FAT≌△GAE（ASA），

∴FT= GE，

∵FG=50，TE=16，

∴FT=(FG- TE)=17．

故答案为：17．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT≌△GAE是解本题的关键．

4．（2020·西安市铁一中学九年级二模）如图，正方形中，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，过点作，交射线于点，连接，点为中点，连接，则的最小值为________．

【答案】

【分析】

由已知可得AE=3，DE=6，又AB=9，，由勾股定理得BE=，由，，M为PF中点，可知M为四边形BFEP外接圆的圆心，BE为圆M的弦，故圆心M在线段BE的垂直平分线上，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G，交CD于H，过点D作于M，此时的线段DM即为所求最小值，过点E作于N，则四边形EGMN为矩形，可得，GE=MN，可证，可得，代入数据得：DN=，又MN=EG=，可得DM的长度．

【详解】

∵，AD=AB=9，

∴AE=3，DE=6，

又∵AB=9，，

∴BE=，

∵，，

∴B、F、E、P四点共圆，且PF为直径，

∵M为PF中点，

∴M为四边形BFEP外接圆的圆心，

∵E、B为定点，

∴BE为圆M的弦，

∴圆心M在线段BE的垂直平分线上，

如下图，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G，交CD于H，过点D作于M，此时的线段DM即为所求最小值，

过点E作于N，则四边形EGMN为矩形，

∴，GE=MN,

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

即，

解得：DN=，

∵BE=，

∴EG= ，

∴MN=，

∴DM=DN+MN=+=．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定四点共圆是解题的关键．

三、解答题

5．（2020·沭阳县修远中学九年级期中）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：

(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm?

(2)如图2，在点E、F运动过程中，

①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；

②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．

【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm．

【分析】

（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；

（2）①由题意易证△ADE≌△DCF，则有∠CDF=∠DAE，然后根据平行线的性质可得∠APF=90°，进而可得∠B+∠APF=180°，则问题得证；

②由题意可知当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相切时，一是当圆与边DC相切时；

③由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可．

【详解】

解：（1）由题意易得：DE=CF=t，

四边形ABCD是正方形，

AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，

EC=12-t，

EF的长等于cm，

在Rt△CEF中，，即

解得；

（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，

△ADE≌△DCF，

∠CDF=∠DAE，

∠CDF+∠PDA=90°，

∠DAE+∠PDA=90°，

∠ADP=∠APF=90°，

∠APF+∠B=180°，

由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，

点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；

②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；

a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：

由题意可得AB为⊙O的直径，

t=12；

b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：

OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，

四边形OMBH、GOHC是矩形，

OH=BM=GC，OG=HC，

AB=BC=12cm，

OH=6，

CF=t，BF=12-t，

，

在Rt△FOH中，，即，

解得：；

综上所述：当或t=12时，⊙O与正方形ABCD的边相切；

③由（1）（2）可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：

OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm．

故答案为6cm．

【点睛】

本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．

6．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）已知为锐角的高，为中点，于点，延长至，使得．

（1）证明：；

（2）证明：；

（3）若，求四边形的面积．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）通过得A，D，F，C四点共圆，得到，结合，证得；

（2）通过，证得；

（3）利用勾股定理求得AD，BD，CD，在中，求出DE，AE，得出，借助，求得，再用，得到，最后．

【详解】

解：（1）∵

∴四点共圆

∴

又∵

∴

（2）由（1）

∴

又∵

∴

∴

即

（3）∵

∴

∵中，

∴

而

∴

同理利用得到

∴．

【点睛】

本题考查了四点共圆的判断，圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的证明，不规则图形的面积的求法，熟练掌握其中的联系，是解题的关键．