专题16 截长补短问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题16  截长补短问题

【规律总结】

“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“a＋b＝c”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。

截长法：

在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。

补短法：

①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。即延长a，得到b，证：a＋b＝c。

②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。即延长a，得到c，证：b＝c-a。

【典例分析】

例1．（2020·广州大学附属中学八年级月考）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ）

A．3 B．9 C．11 D．15

【答案】C

【分析】

在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可．

【详解】

在AC上截取AE=AB，连接DE，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE，

又∠B=2∠ADB
∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，
∴∠DEC =∠EDC，
∴CD=CE，

∵，，
∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．
故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．

例2．（2021·上海九年级专题练习）如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AB＝CD，BF＝，则AD的长为________．

【答案】

【分析】

在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题．

【详解】

在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．

∵EB=ET，

∴∠B=∠ETB，

∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，

∴∠AET=∠2，

∵AE=CD，ET=CK，

∴△AET≌△DCK(SAS)，

∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，

∴∠ETB=∠DKB，

∴∠B=∠DKB，

∴DB=DK，

∴BD=AT，

∴AD=BT，

∵BT=2BF=，

∴AD=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．

例3．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．

（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；

（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；

（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为                      ．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．

【分析】

（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；

（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；

（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．

【详解】

解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

∴∠BCD+∠ACE=120°，

∵∠AEC=60°，

∴∠ACE+∠EAC=120°，

∴∠BCD=∠EAC，

在△AEC和△CDB中

∵,

∴△AEC≌△CDB（AAS）；

（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，

由（1）知：△AEC≌△CDB，

∴BD=CE，

∵∠AEC=60°，

∴∠AEF =120°，

∵∠AFH ＝120°，

∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，

∴∠FAE=∠GFH，

∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，

∴△HGF≌△FEA（AAS），

∴GH=EF，

∴CF=EF+CE=HG+BD；

（3）解：HG=CF+BD，理由是：

如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，

∵∠BDC=60°，

∴△BDM是等边三角形，

∴∠BMD=60°，

∵∠AED=60°，

∴∠AEC=∠CMB=120°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，

∴∠CAE=∠BCE，

∵AC=BC，

∴△ACE≌△CBM（AAS），

∴CE=BM=BD，

由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），

∴GH=FE，

∵EF=CF+CE

∴HG=CF+BD．

故答案为：HG=CF+BD．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·济南高新区第一实验学校八年级期中）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

2．（2019·湖北黄冈市·八年级期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）

A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定

二、填空题

3．（2020·山西九年级期中）如图，是等边三角形，，，，则________．

4．（2020·无锡市羊尖中学八年级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________．

三、解答题

5．（2021·安徽合肥市·八年级期末）如图，在中，，平分．

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，若，求的度数；

（3）如图3，若，求证：．

6．（2020·全国九年级课时练习）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；

（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．

（3）求证：PA+PB=PC．