专题27 三角形角平分线交角模型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题27  三角形角平分线交角模型问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·孝感市孝南区教学研究室八年级期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：

①和都是等腰三角形

②；

③；

④若，则．

其中正确的有（  ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．

【详解】

解：①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，
∴①选项正确，符合题意；
②∵DE=DF+FE，
∴DB=DF，EF=EC，
∴DE=DB+CE，
∴②选项正确，符合题意；
③根据题意不能得出BF＞CF，
∴④选项不正确，不符合题意；
④∵若∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，

∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，
∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，
∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，
∴④选项正确，符合题意；
故①②④正确．

故选C

【点睛】

等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案．

例2．（2021·全国八年级）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得；；和的平分线交于点，则__．（用表示）

【答案】

【分析】

利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推可知∠A2020即可求得．

【详解】

∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，

∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，

∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，

即∠ACD=∠A1+∠ABC，

∴∠A1=（∠ACD-∠ABC），

∵∠A+∠ABC=∠ACD，

∴∠A=∠ACD-∠ABC，

∴∠A1=∠A，

以此类推

∠A2=∠A1=•∠A=∠A,

∠A3=∠A2=∠A=∠A，……，

所以∠An=，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠An=.

例3．（2020·利辛县启明中学八年级月考）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．

（1）求证：；

（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）240°

【分析】

（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证，，运用角的等量转换即可证明．

（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证，，和是对顶角，可推出的度数等于2倍的度数，计算得出答案．

【详解】

（1）证明：延长CD交AB于点E，如图：

∵是的外角，

∴．

∵是的外角，

∴，

∴．

（2）解：∵和是对顶角，

∴．

由（1）的结论可知，

，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·河北邢台市·八年级月考）在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由的度数可以求出与的和，由角平分线的性质可以得出，，即可得出与的和，即可得出的度数．

【详解】

∵，

∴+=110°，

∵为与的平分线，

∴，，

∴+=110÷2=55°，

∴=180°－55°=125°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键．

二、填空题

2．（2020·四川成都市·成都实外七年级期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________．

【答案】36

【分析】

首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果；

【详解】

由图知：，

∵是的角平分线，

∴，

∴，

∵是的角平分线，

∴，

∴，

即，

∴，

∴，

∴，

∵的两条高、交于点，

∴，，

∴，

∴在四边形中有：，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．

3．（2020·湖北十堰市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．

【答案】15°

【分析】

先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．

【详解】

解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，

∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，

∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，

∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，

∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，

∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，

∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，

∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，

∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，

即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，

∴2∠F=∠E，

∴∠F=∠E=×30°=15°．

故答案为：15°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．

三、解答题

4．（2020·安陆市涢东学校八年级月考）平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．

（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．

（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．

【答案】（1）33°；（2）123°

【分析】

（1）AM与BC交于E，AD与MC交于F，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数．

（2）AN与BC交于点G，AD与BC交于点F，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数．

【详解】

解：（1）AM与BC相交于E，AD与MC相较于F，如图：

∵MA和MC是∠BAD和∠BCD的角平分线，

∴设∠BAM=∠MAD=a，∠BCM=∠MCD=b，

∵∠BEM是△ABE和△MCE的外角，

∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，

即：∠M+b=24°+a①，

又∵∠MFD是△MAF和△CDF的外角，

可得∠M+a=42°+b②，

①式＋②式得2∠M=24°+42°，

解得：∠M=33°，

∴．

（2）AN与BC相交于G，AD与BC相较于F，如图:

∵NA和NC是∠EAD和∠BCD的角平分线，

∴设∠EAN=∠NAD=m，∠BCN=∠NCD=n，

∵∠BFD是△ABF和△FCD的外角，

∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，

即：24°+(180°-2m）=42°+2n，

可得m+n=81°①，

又∵∠AGC是△NGC和△ABG的外角，

可得∠N+n=24°+(180°-m），

得∠N=204°-（m+n）②，

①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，

∴．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．

5．（2020·辽宁葫芦岛市·八年级期中）如图1，点A、B分别在射线、上运动（不与点O重台），、分别是和的角平分线，延长线交于点G．

（1）若，则________；（直接写出答案）

（2）若，求出的度数；（用含n的代数式表示）

（3）如图2．若，过点C作交于点F，求与数量关系．

【答案】（1）60°；（2）； （3）

【分析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）仿照（1）的解法解答；
（3）根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据（2）的结论解答．

【详解】

解：（1）∵∠MON=60°，
∴∠BAO+∠ABO=120°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=60°，
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，
故答案为：60°；                   

（2）∵，

∴，             

∵、分别是和的角平分线，

∴，，

∴，            

∴；          

（3）∵，

∴，              

∴．

∴

【点睛】

本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．