专题28 角平分线和高线的夹角模型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题28  角平分线和高线的夹角模型问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）中，边上的高相交于点F，的角平分线交于点G，若，则______．

【答案】110°

【分析】

根据三角形的内角和定理求出∠GBC＋∠GCB，根据角平分线的定义求出∠ABC＋∠ACB，从而求出∠A，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．

【详解】

解：∵

∴∠GBC＋∠GCB=180°－∠CGB=55°

∵的角平分线交于点G，

∴∠ABC=2∠GBC，∠ACB=2∠GCB

∴∠ABC＋∠ACB

=2∠GBC＋2∠GCB

=2（∠GBC＋∠GCB）

=110°

∴∠A=180°－（∠ABC＋∠ACB）=70°

∵边上的高相交于点F，

∴∠AEC=∠FDC=90°，

∴∠ACE=180°－∠AEC－∠A=20°

∴∠FDC＋∠ACE=110°

故答案为：110°．

【点睛】

此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键．

例2．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期中）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，．求和的度数．

【答案】，

【分析】

根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE是角平分线，求出∠EAC=∠BAC=30°，由AD是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根据角平分线的性质，得∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=（180°-∠C）=×（180°-70°）=55°．

【详解】

解：∠BAC=60°，∠C=70°

∴∠ABC=180°−∠ABC−∠C=180°−60°-70°=50°，

∵AE是角平分线，

∴∠EAC=∠BAC=×60°=30°，

∵AD是高，

∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=90°−∠C=90°−70°=20°，

∴∠DAE=∠EAC−∠CAD=30°−20°=10°；

∵AE，BF是角平分线，

∴∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC，

∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC)=(180°−∠C)=12×(180°−70°) =55°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

例3．（2020·山东淄博市·七年级期中）中，是的角平分线，是的高．

（1）如图1，若，请说明的度数；

（2）如图2（），试说明的数量关系；

（3）如图3，延长到点，和的角平分线交于点，请求出的度数．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，最后根据角的和差解答即可；

（2）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，然后根据角的和差表示出来即可；

（3）先根据角平分线的定义得到，再结合三角形外角的性质得到，然后根据题意得到，最后算出∠G即可．

【详解】

解：（1）

是的高，

是的角平分线，

，

．

（2）

是的高，

是的角平分线，

，

即；

（3）和的角平分线交于点，

，即，

是的高，

，

．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．

【好题演练】

一、填空题

1．（2020·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度．

2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.

二、解答题

3．（2020·山西晋城市·七年级期末）（1）如图1，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，请探究与的关系，并说明理由

（2）如图②③，四边形ABCD中，设为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成 锐角，请利用（1）中的结论完成下列问题：

①如图②，若，求的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图）

②如图③，若，请在图③中画出，并直接写出=______（用的代数式表示）

4．（2018·山西晋城市·七年级期末）在△ABC中，已知∠A＝α．

（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．

①当α＝70°时，∠BDC度数＝　   　度（直接写出结果）；

②∠BDC的度数为　   　（用含α的代数式表示）；

（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．

（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．