专题34 三角形的内切圆问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题34  三角形的内切圆问题

【规律总结】

1、“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.” 又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”

2、“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.”

【典例分析】

例1．（2020·湖北武汉市·九年级月考）如图，在中，其周长为20，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为（ ）

A．7 B． C． D．

【答案】D

【分析】

过C作CD⊥AB于D，由结合面积求出BC的长，由内心可以求出，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，求出圆心角，最后由垂径定理求出半径OB

【详解】

过C作CD⊥AB于D，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设，

∵，

∴，

∵在周长为20，内切圆半径为，

∴，

∴

∴

中，

∴

∵在周长为20，

∴

∴

解得

∵是的内心

∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB

∴

∵

∴

∴

∵°

∴

∴

∵OE⊥BC

∴,

∴

故选D

【点睛】

本题综合考察三角形的内心和外心，熟记内心和外心的性质是解题的关键

例2．（2019·广东广州市·九年级一模）如图，在中，，，，⊙为的内切圆，，与⊙分别交于点，．则劣弧的长是_______．

【答案】

【分析】

先利用勾股定理计算出，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到，接着三角形角平分线的性质得到，然后根据弧长公式计算劣弧的长．

【详解】

解：，，，

，

为的内切圆，

，平分，平分，

，

劣弧的长．

故答案为．

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．

例3．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）如图1，设是一个锐角三角形，且，为其外接圆，分别为其外心和垂心，为圆直径，为线段上一动点且满足．

（1）证明：为中点；

（2）过作的平行线交于点，若为的中点，证明： ；

（3）直线与圆的另一交点为（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为．证明：若三线共点，则；反之也成立．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）连接AD，BD，得，结合H为垂心，，得出四边形为平行四边形，得到，结合平行，O为CD中点，可得M为BC中点；

（2）过作，由， 为平行四边形，证明H为的垂心，从而得到；

（3）设与交点为，得到，证明H是的垂心，证明三线共点得三点共线，得到．

【详解】

解：（1）连接，则，

又为垂心

∴，

∴

∴四边形为平行四边形

∴，又为中点

∴为中点

（2）过作

连接，由（1）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形

∵

∴

∴为垂心

∴

∴

（3）设与交点为

由（1）可知四边形为平行四边形

∴为直径中点

而圆与圆相交弦为

∴

∴

设

则为垂心

∴

三线共点三点共线

【点睛】

本题考查了圆内的综合问题，熟知圆的性质，平行四边形的判定和性质，垂心的作用是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·浙江金华市·九年级学业考试）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（  ）

A．65° B．60° C．58° D．50°

【答案】B

【分析】

连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．

【详解】

解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．

【点睛】

本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

2．（2020·浙江温州市·九年级二模）如图，已知矩形的周长为，和分别为和的内切圆，连接，，，，，若，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，由矩形的对称性知，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式，再由推导出x、y、r的关系，从而分别求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.

【详解】

如图，设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，则AC=

∵矩形的周长为，

∴x+y=8①

∵和分别为和的内切圆，

∴②

由矩形的对称性知，

∵，

∴，

∴，

即③

由①、②、③联立方程组，解得：

r=1，xy=14，，

作EH⊥FH于H，由勾股定理得：

=36-32+8

=12，

∴EF=，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.

二、填空题

3．（2019·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，是四边形的内切圆，连接、、、．若，则的度数是____________．

【答案】

【分析】

如图，设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到，，，，根据这8个角和为360°，∠1+∠8=，即可求出=∠5+∠4=72°．

【详解】

解：设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，

则，，，且，

在与中

∴，

∴，

同理可得：，，，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了切线的性质，添加辅助线构造全等等知识点，一般情况下，已知直线为圆的切线，构造过切点的半径是常见辅助线做法．

4．（2019·湖南广益实验中学九年级月考）如图，将边长为8的正方形纸片沿着折叠，使点落在边的中点处。点落在点处，与交于点，则的内切圆半径的长为___________．

【答案】

【分析】

由勾股定理可求ME＝5，BE＝3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG＝，GM＝，即可求解．

【详解】

解：∵将边长为8的正方形纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，

∴ME＝CE，MB＝AB＝4＝AM，＝90°，

在Rt△MBE中，ME2＝MB2 ＋BE2，

∴ME2＝16＋（8－ME）2，

∴ME＝5,

∴BE＝3，

∵＝90°＝∠B，

∴∠EMB＋∠BEM＝90°，＝90°,

∴,且＝90°，

∴△AMG∽△BEM，

∴，

∴，

∴AG＝，GM＝，

∴△AMG的内切圆半径的长＝

故答案为：

【点睛】

本题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质求出AG、GM的长度．

三、解答题

5．（2019·浙江杭州市·九年级）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为（）

（1）当点落到轴正半轴上时，求边在旋转过程中所扫过的面积；

（2）若线段与轴的交点为（如图2），线段与直线的交点为，当时，求此时内切圆的半径；

（3）设的周长为，试判断在正方形旋转的过程中值是否发生变化，并说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）不发生变化，理由见详解.

【分析】

（1）由题意当点落到轴正半轴上时，边在旋转过程中所扫过的面积由此计算即可．

（2）如图2中，在取一点，使得，首先证明是等腰直角三角形，推出，设，则，可得，解得，推出，同理可得，推出，设的内切圆的半径为，则有，由此求出即可解决问题．

（3）在正方形旋转的过程中值不发生变化．如图3中，延长到使得．只要证明，推出，，再证明，推出，推出的周长．

【详解】

解：（1）如图1中，

由题意当点落到轴正半轴上时，边在旋转过程中所扫过的面积

．

（2）如图2中，在取一点，使得，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，设，则，

，

，

，同理可得，

，

设的内切圆的半径为，

则有，

．

（3）在正方形旋转的过程中值不发生变化．

理由：如图3中，延长到使得．

，，，

，

，，

，

，

，，

，

，

的周长

，

的周长为定值．

【点睛】

本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

6．（2015·河南九年级其他模拟）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．

∴．

（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；

（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.

【答案】（1）（2）.

【分析】

（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边形的内切圆半径r.

（2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，，两式相除，即可得到的值.

【详解】

解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD.

∵

∴

（2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E，

∵梯形ABCD为等腰梯形，

∴

∴

在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，∴DE=12，

∴

∵AB∥DC，∴.

又∵，

∴.即.