专题26 燕尾角模型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题26 燕尾角模型问题

【规律总结】

模型2  角的飞镖模型

    如图所示，有结论：

    ∠D=∠A+∠B+∠C。

【典例分析】

例1．（2020·全国九年级专题练习）如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．

【答案】360°

【分析】

根据三角形的外角性质可得∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，再根据多边形的外角和定理即可求解．

【详解】

解：由图形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，

∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．

故答案为：360°．

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于360度，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的和转化为∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN的和是解题的关键．

例2．（2019·山东东营市·七年级期末）如图，、分别平分和，若，，求的度数.

【答案】.

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；

【详解】

解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°；

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）

A．24° B．25° C．30° D．36°

【答案】B

【详解】

∵∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，

∴∠D1BC+∠D1CB=(∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)，

∴∠=180°- (180°-∠A)= ∠A+90°=100°，

同理：∠=60°，∠=40°，∠=30°，∠=25°.

故选B

二、填空题

2．（2020·全国九年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝__．

【答案】180°

【分析】

先根据三角形外角的性质得出∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，再由三角形内角和定理即可得出结论．

【详解】

解：∵∠CFB是△ACF的外角，∠BGF是△DEG的外角，

∴∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，

∵∠B＋∠CFB＋∠BGF＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．

故答案为：180°．

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

3．（2020·全国九年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．

【答案】360°

【分析】

连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．

【详解】

解：如图，连接FC，

由三角形外角的性质可得：

∠2＝∠G＋∠H，

∠3＝∠A＋∠B，

∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，

根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°

即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，

故答案为360°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．

三、解答题

4．（2019·全国九年级专题练习）如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，求的度数.

【答案】.

【解析】

【分析】

根据三角形的外角性质先求出的度数，再利用三角形内角和定理即可注出的度数.

【详解】

解：在△ADC中，

，

在在△BDF中，

.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质.熟练找出三角形内角与外角的关系是解题的关键.

5．（2019·全国九年级单元测试）如图，已知分别交的边、于、，交的延长线于，，，，求的度数.

【答案】.

【分析】

根据三角形的内角和定理即可求解

【详解】

解：在中，=--，

∴∠DEC=

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为180°及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．

6．（2020·镇江市丹徒区江心实验学校七年级月考）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；

②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）

③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70

【分析】

（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；

（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；

②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．

③由②方法，进而可得答案．

【详解】

解：（1）连接AD并延长至点F，

由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；

∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，

∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.

∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；

∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；

（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，

∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，

∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．

故答案是：40；

②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A

∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，

∴∠ADB+∠AEB＝80°；

∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,

∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB

∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；

③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，

∵∠BG1C＝77°，

∴设∠A为x°，

∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，

∴(140﹣x)＋x＝77，

∴14﹣x+x＝77，

∴x＝70，

∴∠A为70°．

故答案是：70．

【点睛】

本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．