专题20 角含半角模型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题20  角含半角模型问题

【规律总结】

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

类型二：正方形中角含半角模型

【典例分析】

例1．（2020·广西南宁市·九年级期中）（探索发现）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接AM、AN、MN．

（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程．

（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，，，点N，M分别在边BC，CD上，，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系．

【答案】（1），证明见解析；（2）,证明见解析；（3）．

【分析】

（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；

（2）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；

（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；

【详解】

证明：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD，=

将绕点A顺时针旋转，得到

∴≌

∴

∵

在和中

∵，

∴

（2）如图②，将绕点A顺时针旋转，得到

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD，=

∵绕点A顺时针旋转，得到

∴≌

∴

,

∵

在和中

∵，

即：；

（3）如图，

∵，，，

将绕点A顺时针旋转，得到

∴≌

∴

在和中

；

【点睛】

本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键是学会．

例2．（2020·四川成都市·八年级期末）已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，．

（1）求证：；

（2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式；

（3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析

【分析】

（1）连接,通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明≌，可以得出结论；

（2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明≌，得到，最后等量代换线段即可求解；

（3）延长到点，使得，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明≌，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：（1）证明：连接．

，，

为等腰直角三角形，

，

又，且，

，

，

，

同理，，

在与中

，

≌，

，；

（2）如图，在射线上取点，使，连接．

在与中

，

≌，

，，

，，

，

，

，

在与中

≌，

，

又，

．

（3）．证明如下：

如图，延长到点，使得，连接．

，

在与中

，

≌，

，，

，

，

，

，

，

，

在与中

，

≌，

，

≌，

，

，

，

，

，

，

同理可证：，

在中，由勾股定理得：．

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2021·上海九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④

二、填空题

2．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．

三、解答题

3．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级月考）矩形ABCD中，M、N为边AD上两点，连接BM、CN，MN=BM=CN，∠BMD=120°． 

（1）如图1，求证：AM=DN；

（2）如图2，点E、F分别在NC、BC上，∠FME=60°，求证：EF= BF+NE；   

（3）如图3，在(2)的条件下，过E作EP∥BC交MF于P，2MN=3BF，EP=7，求CE的长．

4．（2020·山东滨州市·八年级期中）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．

（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；

（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

5．（2020·陕西西安市·七年级期末）（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．

方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．

6．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，在中，，，的两边交边于，两点，将绕点旋转

（1）画出绕点顺时针旋转后的；

（2）在（1）中，若，求证：；

（3）在（2）的条件下，若，直接写出的长.