专题24 手拉手模型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题24  手拉手模型问题

【规律总结】

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的

顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC  （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC

变形：

【典例分析】

例1．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（    ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】

①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；

③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；

②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；

④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；

⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．

【详解】

①∵等边△ABC和等边△DCE，

∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD=BE；

故①正确；

③∵△ACD≌△BCE(已证)，

∴∠CAD=∠CBE，

∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，

∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，

∴∠ACB=∠BCQ=60°，

在△ACP与△BCQ中，

∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，

∴△ACP≌△BCQ(ASA)，

∴AP=BQ；

故③正确；

②∵△ACP≌△BCQ，

∴PC=QC，

∴△PCQ是等边三角形，

∴∠CPQ=60∘，

∴∠ACB=∠CPQ，

∴PQ∥AE；

故②正确；

④∵AD=BE，AP=BQ，

∴AD−AP=BE−BQ，

即DP=QE，

∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，

∴∠DQE≠∠CDE，

∴DE≠QE，

则DP≠DE，故④错误；

⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

∵等边△DCE，

∠EDC=60°=∠BCD，

∴BC∥DE，

∴∠CBE=∠DEO，

∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.

故⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，

故选D．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键．

例2．（2020·武汉市二桥中学八年级月考）在中，，，，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右恻作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为__________．

【答案】3

【分析】

以AC为边向左作等边三角形ACF，连接DF，先根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半求出BC的长，再由勾股定理求出AC的长，根据作的辅助线证明，则，当时，DF的长是最小的，即CE的长最小，求出此时的长即可．

【详解】

解：如图，以AC为边向左作等边三角形ACF，连接DF，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是等边三角形，

∴，，

∵是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

当时，DF的长是最小的，即CE的长最小，

∵，，

∴，，

∴当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为3．

故答案是：3．

【点睛】

本题考查线段最值问题，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及掌握有角的特殊直角三角形的性质和等边三角形的性质．

例3．（2021·北京房山区·八年级期末）在中，，．

（1）如图1，点为边上一点，连接，以为边作，，，连接．直接写出线段与的数量关系为       ，位置关系为      ．

（2）如图2，点为延长线上一点，连接，以为边作，，，连接．

①用等式表示线段，，之间的数量关系为            ．

②求证：．

（3）如图3，点为外一点，且，若，，求的长．

【答案】（1），；（2）①，②见解析；（3）．

【分析】

（1）由等腰直角三角形的性质得到，根据题意可知，即，再利用证明≌，可得到，，从而算出的度数，进而得到线段与的位置关系；

（2）①根据角度的运算得到，再利用证得≌，得到，再根据，等量代换即可求出答案；

②由①中≌，得到，，在根据等腰直角三角形的性质即可得出的度数，进而证得，根据勾股定理得到，，等量代换后得到，又因为，，代入即可得出答案；

（3）过点作，并且，连接，，得到是等腰直角三角形，由（2）得≌，得到，在中，通过勾股定理求出的长度，在中又由勾股定理得：，再根据，代入数据即可求出的长度．

【详解】

（1）在中，，，

，

，

，

即，

在和中

，

≌，

，，

，

．

故答案为：，．

（2）①，，

，

即，

在和中

，

≌，

，

，

．

故答案为：．

②证明：由①得：≌，

，，

和都是等腰直角三角形，

，

，         

在和中，

由勾股定理得：，，

，

，，

，

即．

（3）过点作，并且，连接，，如图，

是等腰直角三角形，

，

，

，

由（2）中②可知，≌，

，

，，

，

在中，由勾股定理得：，

，

在中，由勾股定理得：，

，

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是合理添加辅助线找出两个三角形全等．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·哈尔滨市第六十九中学校八年级期末）如图，在中，，点D、F是射线BC上两点，且，若，；则下列结论中正确的有（　　）

①；②；③；④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2020·嵊州市三界镇中学八年级期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连结交于点，连结交于点，连结．下列结论中：

（1），（2）是等腰直角三角形，（3），（4），（5）．

正确的结论有(　　)

A．个 B．个 C．个 D．个

二、填空题

3．（2021·保定市莲池区贺阳外国语学校八年级期末）如图，在中，，，于点，于点．，连接，将沿直线翻折至所在的平面，得，连接．过点作交于点，则四边形的周长为________．

4．（2020·浙江锦绣育才教育科技集团有限公司九年级月考）如图，四边形ABCD为正方形．过正方形的顶点A和对角线的交点P，且与AB、AD分别交于点F，E．

（1）若，则______．

（2）若，的半径为，则______．

三、解答题

5．（2019·河南周口市·九年级二模）（1）（探索发现）

如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为　   　．

（2）（类比延伸）

如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．

（3）（拓展应用）

如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．

6．（2020·鄱阳县第二中学八年级月考）如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CE与AB相交于点D，且BE⊥CE，AF⊥CE，垂足分别为点E，F．

（1）若AF=5，BE=2，求EF的长；

（2）如图2，取AB的中点G，连接FG，EG，求证：FG=EG．