中考经典几何模型与最值问题 专题04 角平分线模型在三角形中的应用

专题04 角平分线模型在三角形中的应用

在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。

【知识总结】

【模型】一、角平分线垂两边

角平分线+外垂直

当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.

【模型】二、角平分线垂中间

角平分线+内垂直   

当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.

【模型】三、角平分线构造轴对称

角平分线+截线段等

当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题.

【模型】四、角平分线加平行线等腰现

角平分线+平行线

当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.

1、如图, , 为上的一点，并且于点,,求证：.

2、如图，在中，是的平分线，于点,//交于点，求证:.

3、已知:如图7,，求证:.

[

4、如图,//,、分别平分和.探究:在线段上是否存在点，使得.  

【基础训练】

1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB =90°，ACBC，AC =BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则的值是___________.

2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AECE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______

3、如图所示，在△ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =CE时，EP+BP =________.

【巩固提升】

1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG =S△PMN，试问点P是否在∠AOB的平分线上？

2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BGCF.

3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.

（1）求证：BC =CD；

（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；

4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.

（1）求线段BG的长

（2）求证：DG平分∠EDF.

[

5、如图，BAMN，垂足为A，BA =4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC =∠BPA，BCBP，过点C作CDMN，垂足为D，设AP =x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.

6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.

（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA =90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.

7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；

（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB//DE，AE/DC，求证：；

（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E。若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论。（不必说明理由）