专题25 “8”字型模型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题25  “8”字型模型问题

【规律总结】

模型1 角的“8”字模型

    如图所示，AB、CD相交于点O，

连接AD、BC。

    结论：∠A+∠D=∠B+∠C。

模型2  边的“8”字模型

    如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。

    结论：AC+BD>AD+BC。

【典例分析】

例1．（2020·全国九年级专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．

【答案】900°

【分析】

根据多边形的内角和，可得答案．

【详解】

解：连EF，GI，如图

，

∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），

即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，

∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，

故答案为：900°．

【点睛】

本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．

例2．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的度数．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；

（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．

【详解】

解：（1）∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠PDF=，

 ∵，
∴，

∴；

（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，

∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，

∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，

∴∠A+∠C=2∠P，

∵∠A=42°，∠C=38°，

∴∠P=（38°+42°）=40°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期中）如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（    ）．

A．42° B．69° C．44° D．32°

二、填空题

2．（2020·全国九年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．

三、解答题

3．（2020·全国九年级专题练习）阅读材料：

如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．

结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．

结论应用举例：

如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．

解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，

在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，

即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，

∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°

即五角星的五个内角之和为180°．

解决问题：

（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　；

（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　；

（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　；

（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　；

请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．

4．（2020·全国九年级专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．

5．（2020·全国九年级专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．

6．（2019·全国九年级专题练习）如图，在直角中，是的平分线，,的延长线与的平分线交于点，求的度数.