2023年陕西省西安市莲湖区五校联考中考数学模拟试卷（含解析）

2023年陕西省西安市莲湖区五校联考中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面关于食品安全的图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某城市几条道路的位置如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想修一条新道路，要求，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知二次函数的图象是常数与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上二次函数中是常数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

下列结论：抛物线的对称轴是直线；这个函数的最大值大于；点的坐标是；当，时，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

8.  比较大小：        填“”“”或“”

9.  如图，在五边形中，，的平分线与的平分线交于点，则        ．

10.  代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，阴影部分的面积为，得到大正方形的面积为，所以，则该方程的正数解为”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为则该方程的正数解为        ．

11.  如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，且点的坐标为，为的中点，反比例函数是常数，的图象经过点，交于点，则点的坐标为        ．

12.  如图，在四边形中，，，，，若，，则的长度为______．

三、解答题（本大题共13小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．

14.  本小题分
解不等式组：．

15.  本小题分
解方程：．

16.  本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法，求作，使圆心在边上，且与，都相切保留作图痕迹，不写作法

17.  本小题分
如图，已知，，，求证：．

18.  本小题分
低碳环保的新能源汽车深受广大市民的喜爱，市场销售火爆某工厂为了加快新能源汽车零件生产进度，决定购进甲、乙两种新设备进行零件加工，已知每台甲型设备比每台乙型设备每天多做个零件，若台甲型设备和台乙型设备每天共做零件个求每台甲型设备和每台乙型设备每天分别做零件多少个？

19.  本小题分
如图，转盘被分成三个面积相等的扇形，转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，转动转盘，记录下指针所指区域内的数字当指针落在边界线上时，重新转动一次，直到指针指向某一区域内为止．
转动转盘，指针指向的数为负数的概率为        ；
先转动转盘，再转动转盘，然后将两次记录的数据相乘请利用列表或画树状图的方法，求乘积结果为正数的概率．

20.  本小题分
如图，为了测量平静的河面的宽度，在离河岸点远的点，立一根长为的标杆，已知河岸高出水面，即在河对岸的水里有一棵高出水面的大树，大树的顶端在河里的倒影为点，即经测量此时，，三点在同一直线上，并且点，，共线，若，，均垂直于河面，则河宽是多少米？

21.  本小题分
随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水西安市某区市民的生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，该地生活用水的费用元与人均生活用水的质量吨之间的关系如图所示请根据图象信息，回答下列问题：
当人均月生活用水不超过吨时，每吨按        元收取费用；
当用水量超过吨时，求生活用水的费用元与人均月生活用水的质量吨之间的函数关系式；
在该地居住的赵叔叔上个月缴水费元，他上个月用了多少吨水？

22.  本小题分
月日是世界读书日首届全民阅读大会倡议：“推动全民阅读建设书香中国”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：从学校八、九年级各随机抽取名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下单位：：八年级：、、、、、、、、、，九年级学生阅读时间在：的情况如下：、、分段整理样本数据如下：

根据上述信息，解答下列问题：
抽取八年级这名学生阅读时间的众数是        ；九年级这名学生阅读时间的中位数是        ；
求抽取八年级这名学生阅读时间的平均数；
如果该校九年级有学生名，估计阅读时间在“：”的学生有多少名？

23.  本小题分
如图，是的直径，点在上，是的切线，，的延长线与交于点．
求证：；
，，求的长．

24.  本小题分
某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴中，拱桥高度，跨度．
求抛物线的表达式；
拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形分别在抛物线的左右侧上，已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为在地面上，无需使用钢材，求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．

25.  本小题分
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答问题情境：在▱中，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为．
数学思考：
“兴趣小组”提出的问题是：如图，若点与点重合，过点作，与交于点，连接，则四边形是菱形请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
“智慧小组”提出的问题是：如图，当点为的中点时，延长交于点，连接试判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图，当点恰好落在边上时，，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
根据负整数指数幂：为正整数可得答案．
此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂计算公式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念，进行判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：道路与道路的夹角为，
，
，
，
，
．
故选：．
首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质和等边对等角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，等边对等角性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

，，，
，
即，
解得：，
．
故选：．
根据余弦的定义即可求得的值，再由勾股定理即可求的值．
本题考查的是解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数和的图象相交于点，
，
解得，
点坐标为，
根据图象可知，不等式的解集为，
故选：．
先求出的横坐标，根据图象即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交问题，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是半圆的直径，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质可计算出的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：将，代入得，
解得，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
错误，正确．
点坐标为，
点坐标为，错误．
，，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
正确．
故选：．
通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，由此即可解决问题．
本题考查实数的大小比较，关键是掌握实数的大小比较方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，
，
，
平分，平分，
，
，
．
故答案为：．
在中，根据三角形内角和定理可得，，根据角平分线的定义可得，，根据多边形内角和定理可得，，由计算即可得出答案．
本题主要考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和定理进行求解是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：阴影部分的面积四个小正方形的面积大正方形的面积，
，
即，
解之得，舍去，
的正数解为：．
故答案为：．
根据阴影部分的面积四个正方形的面积大正方形的面积，得出，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，且点坐标为，为中点，
，点的纵坐标是，
将点坐标代入，得，
反比例函数的解析式为，
当时，，解得，
，
故答案为：．
根据矩形的性质，可得点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标．
本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系求出点坐标．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
过点作于点，延长使，由题意可证四边形是正方形，由正方形的性质可得，，由全等三角形的性质可得，可得，由勾股定理可得．
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
【解答】
解：过点作于点，延长使，

，，
，，
四边形是矩形．
，
四边形是正方形，
，，
，，，
≌，
，．
，
，
，
，且，，
≌，
，
．
在中，，
，
，
．
故答案为：．  

13.【答案】解：

． 

【解析】先计算乘法、绝对值、零次幂，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

14.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：方程两边都乘以得，
，
解得，
检验：当时，，
所以是分式方程的解． 

【解析】方程两边都乘以最简公分母把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验．
本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

16.【答案】解：如图，为所作．
 

【解析】作的平分线交于点，然后以点为圆心，为半径作圆即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质．
 

17.【答案】证明：，
，
即，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答．
 

18.【答案】解：设每台甲型设备每天做零件个，每台乙型设备每天做零件个，
由题意得：，
解得：，
答：每台甲型设备每天做零件个，每台乙型设备每天做零件个． 

【解析】设每台甲型设备每天做零件个，每台乙型设备每天做零件个，由题意：每台甲型设备比每台乙型设备每天多做个零件，若台甲型设备和台乙型设备每天共做零件个．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：由题意得，指针指向的数为负数的概率为．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，两数相乘的结果分别为：，，，，，，，，，，，，
其中乘积结果为正数的有种，
乘积结果为正数的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和两数相乘的结果为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得：
，米，，
，
∽，
，
，
解得：米，
，
∽，
，
，
解得：米，
米，
河宽是米． 

【解析】根据题意可得：，米，，从而可得，然后可证∽，从而利用相似三角形的性质可求出的长，再证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：观察图象得：不超过吨，每吨按元收取，
故答案为：；
当时，设与之间的函数关系式为，
把和代入解析式得：，
解得，
与之间的函数关系式为；
，
赵叔叔上个月用水超过吨，
当时，，
解得，
答：赵叔叔上个月用了吨水．
观察图象，不超过吨，每吨按元收取；
设与之间的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式；
把代入中解析式求出即可．
此题考查一次函数的实际运用，结根据题意得出函数解析式是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：抽取八年级这名学生阅读时间的众数是；
九年级这名学生阅读时间的中位数是．
故答案为：；；
抽取八年级这名学生阅读时间的平均数为：；
名，
答：估计阅读时间在“：”的学生大约有名．
根据众数和中位数的定义解答即可；
根据算术平均数的计算方法解答即可；
用样本估计总体，即用乘样本中组所占比例解答即可．
本题考查中位数、众数、算术平均数，掌握频数统计的方法是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

23.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
，
，

，
，
，
，
，
；
解：连接，如图，
是的直径，
，
，

，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
． 

【解析】连接，如图，利用切线的性质得到，再证明得到，根据圆周角定理得到，从而得到结论；
连接，如图，根据圆周角定理得到，再证明，接着在中利用正切的定义求出，然后在中利用正切的定义计算出，于是计算得到的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
 

24.【答案】解：根据已知可得，，抛物线顶点，
设抛物线的表达式为，
把代入得：，
解得，
抛物线的表达式为；
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，
解得，不合题意，舍去，
，，
，
．
答：“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离为． 

【解析】设抛物线的解析式为，根据题意列方程组，即可得到结论；
设点的坐标为，根据题意列方程，解方程即可得到结论．
本题主要考查二次函数的实际应用，用待定系数法求得抛物线解析式是解题关键．
 

25.【答案】证明：由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：结论：．
理由：连接由折叠的性质可知，，，，

四边形是平行四边形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
；
解：延长交的延长线于点设．

由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】由折叠的性质得出，，，根据四边相等的四边形是菱形证明即可；
证明≌，推出，可得结论；
延长交的延长线于点设首先证明，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．