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2021年河北省石家庄市四区联考中考数学模拟试卷
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这是一份2021年河北省石家庄市四区联考中考数学模拟试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省石家庄市四区联考中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共16个小题；1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分．共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a3•a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2
3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），并且顶点A，B分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．22° C．28° D．38°
4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）已知0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤2 B．2≤x≤3 C．≤x≤ D．≤x≤
6．（3分）“鼓楼e学校﹣﹣停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（ ）
A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×106 D．12×105
7．（3分）已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（3分）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
9．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞0 B．＞1 C．ad＞bc D．|a|＞|b|
10．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
11．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2分）如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
13．（2分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
15．（2分）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲园的门票费用是60元
B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg
C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折
D．若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同
16．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣16
二、填空题（本大题共3个小题，17、18小题各3分；19小题有3个空，每空2分.共12分.请把答案填在题中横线上）
17．（3分）若a、b为实数，且b＝，则a+b＝ ．
18．（3分）已知点M（﹣3，3），线段MN＝4，且MN∥y轴，则点N的坐标是 ．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是 ，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ，最大值是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）先化简，再计算：，其中m满足使关于x的二次三项式x2﹣（m﹣1）x+1是完全平方式．
21．（8分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A、提取公因式；B、平方差公式；C、两数和的完全平方公式；D、两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
22．（9分）某校为了了解家长和学生参与“全国中小学生新冠肺炎疫情防控”专题教育的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与；C．仅家长参与；D．家长和学生都未参与．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）C类所对应扇形的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，试估计该校1800名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
23．（9分）如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
24．（10分）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
25．（10分）某景区售票处规定：非节假日的票价打a折售票；节假日根据团队人数x（人）实行分段售票：若x≤10，则按原展价购买；若x＞10，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原那价打b折购买．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．
（1）观察图象可知：a＝ ，b＝ ；
（2）当x＞10时，求y2与x之间的函数表达式；
（3）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计50人，共付门票款3120元，已知甲团人数超过10人，求甲团人数与乙团人数．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），与y轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点；
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线BC交于点E，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当∠PCB＝90°时，作∠PCB的角平分线，交抛物线于点F．
①求点P和点F的坐标；
②在直线CF上是否存在点Q，使得以F、P、Q为顶点的三角形与△BCF相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年河北省石家庄市四区联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题；1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分．共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【分析】依据平方根的性质列方出求解即可．
【解答】解：∵一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1﹣a+2＝0．
解得：a＝﹣1．
∴2a﹣1＝﹣3．
∴这个正数是9．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a3•a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2
【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．
【解答】解：A、应为3a2﹣a2＝2a2，故本选项错误；
B、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
C、a3•a6＝a3+6＝a9，正确；
D、应为（2a）2＝22a2+2＝4a4，故本选项错误．
故选：C．
3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），并且顶点A，B分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．22° C．28° D．38°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，过C作CD∥直线m，求出CD∥直线m∥直线n，根据平行线的性质得出∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，即可求出答案．
【解答】解：
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
过C作CD∥直线m，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故选：B．
4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看，所得到的图形即可．
【解答】解：该几何体的俯视图为
故选：D．
5．（3分）已知0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤2 B．2≤x≤3 C．≤x≤ D．≤x≤
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：∵0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，
∴0+1≤2x≤1+4，
即1≤2x≤5，
解得．
故选：C．
6．（3分）“鼓楼e学校﹣﹣停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（ ）
A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×106 D．12×105
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
【解答】解：1200000＝1.2×106．
故选：C．
7．（3分）已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．
【解答】解：∵5≤≤7，4≤≤6，
∴25≤a≤49，16≤b≤36，
∴41≤a+b≤85，
则的整数部分可以是6，7，8，9．
故选：A．
8．（3分）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【解答】解：把x＝m，y＝4代入y＝mx中，
可得：m＝±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m＝﹣2，
故选：B．
9．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞0 B．＞1 C．ad＞bc D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：∵b+d＝0，
由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、∵b+d＝0，
∴b+c＜0，
故A不符合题意；
B、＜0，
故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，
故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，
故D正确；
故选：D．
10．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．
【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，
∴BC与B'C是对应边，
∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．
故选：A．
11．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，即可证得△DEF∽△BCF，又由E为AD的中点，△BCF的面积为4，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△DEF的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AD，
∴DE：BC＝1：2，
∴S△DEF：S△BCF＝1：4，
∵△BCF的面积为4，
∴△DEF的面积为1．
故选：A．
12．（2分）如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】如图，过点A作AE⊥OC于E，由菱形的性质可得AO∥CB，OA＝OC，可证△AOC是等边三角形，可得S△AOE＝S△AOC＝＝，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥OC于E，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S△AOE＝S△AOC，
∵OA∥BC，
∴S△OAD＝S△OAC＝2，
∴S△AOE＝＝，
∴k＝2
故选：C．
13．（2分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据已知图形得出第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），再用带“心”字的正方体个数除以总个数即可得．
【解答】解：∵第1个图形中正方体的个数为1，
第2个图形中正方体的个数3＝1+2，
第3个图形中正方体的个数6＝1+2+3，
∴第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，
∴抽到带“心”字正方体的概率是＝，
故选：D．
14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
15．（2分）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲园的门票费用是60元
B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg
C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折
D．若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲园的门票为60元，故选项A正确；
乙园草莓优惠前的销售价格是：200÷5＝40（元/千克），故选项B正确；
＝0.5，
即乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打5折，故选项C正确；
若顾客采摘12kg草莓，甲园花费为：60+12×40×0.6＝344（元），乙园的花费为：40×5+（12﹣5）×40×0.5＝340（元），
∵344＞340，
∴若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园比到乙园的总费用高，故选项D错误；
故选：D．
16．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣16
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝3，则根据抛物线的对称性得到x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），最后把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，
∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m得4+12+m＝0，解得m＝﹣16．
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，17、18小题各3分；19小题有3个空，每空2分.共12分.请把答案填在题中横线上）
17．（3分）若a、b为实数，且b＝，则a+b＝ ±1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求出a的值，将a的值代入原式即可求出b的值．
【解答】解：由题意可知：，
∴a2＝1，
∴a＝±1，
∴b＝0，
当a＝1时，
原式＝1．
当a＝﹣1时，
原式＝﹣1．
故答案为：±1
18．（3分）已知点M（﹣3，3），线段MN＝4，且MN∥y轴，则点N的坐标是 （﹣3，﹣1）或（﹣3，7） ．
【分析】根据线段MN＝4，且MN∥y轴，点M（﹣3，3），可知点N的横坐标为﹣3，纵坐标与3的差的绝对值为4，从而可得点N的结论．
【解答】解：∵线段MN＝4，且MN∥y轴，点M（﹣3，3），
∴点N的坐标为（﹣3，y），
∴|y﹣3|＝4，
∴y＝﹣1或y＝7，
∴则点N的坐标是（﹣3，﹣1）或（﹣3，7）．
故答案为：（﹣3，﹣1）或（﹣3，7）．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是 ，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ﹣ ，最大值是 + ．
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最值．
【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BC＝AB＝，
由勾股定理得，OC＝＝，
由勾股定理得，OD＝＝，
当点D在直线OC上时，点D到AB的距离的最小或最大，
∴点D到AB的距离的最小值为﹣，点D到AB的距离的最大值为+，
故答案为：；﹣；+．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）先化简，再计算：，其中m满足使关于x的二次三项式x2﹣（m﹣1）x+1是完全平方式．
【分析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再求出m的值，代入m的值可得答案．
【解答】解：原式＝÷[﹣]，
＝÷，
＝•，
＝，
∵m满足使关于x的二次三项式x2﹣（m﹣1）x+1是完全平方式，
∴m﹣1＝±2，
∴m1＝3，m2＝﹣1，
∵m≠0，m﹣1≠0，
∴m≠0和1，
∴m＝3，
∴原式＝＝．
21．（8分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A、提取公因式；B、平方差公式；C、两数和的完全平方公式；D、两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．
【解答】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；
（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．
（3）设x2﹣2x＝y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
＝y（y+2）+1，
＝y2+2y+1，
＝（y+1）2，
＝（x2﹣2x+1）2，
＝（x﹣1）4．
22．（9分）某校为了了解家长和学生参与“全国中小学生新冠肺炎疫情防控”专题教育的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与；C．仅家长参与；D．家长和学生都未参与．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 300 名学生；
（2）C类所对应扇形的圆心角的度数是 60° ，并补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，试估计该校1800名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中A类对应的人数和所占百分比即可求出在这次抽样调查中，共调查的学生数；
（2）根据条形统计图可得C类人数，进而可得C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据条形统计图可得D类人数，即可估计该校1800名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【解答】解：（1）在这次抽样调查中，共调查的学生数为：60÷20%＝300（名），
故答案为：300；
（2）∵360°×＝60°
∴C类所对应扇形的圆心角的度数是60°，
如图，即为补全的条形统计图；
故答案为：60；
（3）∵1800×＝60（名）．
答：估计该校1800名学生中“家长和学生都未参与”的人数是60名．
23．（9分）如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
24．（10分）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，根据题意B点坐标得出k的值以及m的值；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON，求出答案即可；
（3）设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），求出EF＝﹣m+7﹣，得出关于m的方程，求出m即可．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
将B（6，1）的坐标代入y＝，得k＝6．
∴反比例函数的解析式为y＝．
将A（m，6）的坐标代入y＝，得m＝1．
（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得
，
解得：，
故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，
∴M（0，7），N（7，0），
∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝OM×ON﹣OM×|xA|﹣ON×|yB|
＝×7×7﹣×7×1﹣×7×1
＝．
（3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，），
∴EF＝﹣m+7﹣．
∵EF＝AD，
∴﹣m+7﹣＝×6．
解得m1＝2，m2＝3，
经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根，
∴E的坐标为（2，5）或（3，4）．
25．（10分）某景区售票处规定：非节假日的票价打a折售票；节假日根据团队人数x（人）实行分段售票：若x≤10，则按原展价购买；若x＞10，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原那价打b折购买．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．
（1）观察图象可知：a＝ 6 ，b＝ 8 ；
（2）当x＞10时，求y2与x之间的函数表达式；
（3）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计50人，共付门票款3120元，已知甲团人数超过10人，求甲团人数与乙团人数．
【分析】（1）根据原票价和实际票价可求a、b的值，m的值可看图得到；
（2）先列函数解析式，然后将图中的对应值代入其中求出常数项，即可得到解析式；
（3）分两种情况讨论，即不多于10和多于10人，找出等量关系，列出关于人数的n的一元一次方程，解此可得人数．
【解答】解：（1）门票定价为80元/人，那么10人应花费800元，而从图可知实际只花费480元，是打6折得到的价格，
所以a＝6；
从图可知10人之外的另10人花费640元，而原价是800元，可以知道是打8折得到的价格，
所以b＝8，
故答案为：6，8；
（2）当x＞10时，设y2＝kx+b．
∵图象过点（10，800），（20，1440），
∴，
解得，
∴y2＝64x+160 （x＞10），
（3）设甲团有m人，乙团有n人．
由图象，得y1＝48x，
当m＞10时，
依题意，得，
解得，
答：甲团有35人，乙团有15人．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），与y轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点；
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线BC交于点E，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当∠PCB＝90°时，作∠PCB的角平分线，交抛物线于点F．
①求点P和点F的坐标；
②在直线CF上是否存在点Q，使得以F、P、Q为顶点的三角形与△BCF相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），运用待定系数法即可求得抛物线对应的函数表达式；
（2）根据直线BC为：y＝﹣x﹣1，可设点P的坐标为（m，﹣m2+2m﹣1），则E（m，﹣m﹣1），进而得到PE＝﹣m2+2m﹣1﹣（﹣m﹣1）＝﹣m2+3m，最后根据四边形AECP的面积＝△APE面积+△CPE面积，求得点P坐标为（ ，）；
（3）①根据∠PCB＝90°，CF平分∠PCB，可得∠BCF＝45°，进而得出CF∥x轴，则当y＝﹣1时，﹣1＝﹣x2+2x﹣1，解得F（6，﹣1），再根据直线CP为：y＝x﹣1，可得当x﹣1＝﹣x2+2x﹣1时，可得P（3，2）；
②根据直线CB：y＝﹣x﹣1，直线PF：﹣x+5，可得CB∥PF，即可得到∠BCF＝∠PFC＝45°，故在直线CF上存在满足条件的点Q，再设Q（t，﹣1），由题可得CF＝6，CB＝9，PF＝3，最后分两种情况进行讨论：当△PFQ1∽△BCF时，当△PFQ∽△FCB时，分别求得t的值，即可得出点Q的坐标为（4，﹣1）或（﹣3，﹣1）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），
∴，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x﹣1；
（2）由抛物线可得，C（0，﹣1），B（9，﹣10），
∴直线BC为：y＝﹣x﹣1，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m﹣1），则E（m，﹣m﹣1），
∴PE＝﹣m2+2m﹣1﹣（﹣m﹣1）＝﹣m2+3m，
∴四边形AECP的面积＝△APE面积+△CPE面积
＝×（﹣m2+3m）×m+×（﹣m2+3m）×（5﹣m）
＝（﹣m2+3m）
＝﹣m2+m，
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，﹣m2+2m﹣1＝，
∴点P坐标为（ ，）；
（3）①过点B作BH⊥y轴于H，
∵C（0，﹣1），B（9，﹣10），
∴CH＝BH＝9，
∴∠BCH＝45°，
∵∠PCB＝90°，CF平分∠PCB，
∴∠BCF＝45°，
∴∠FCH＝90°，即CF∥x轴，
当y＝﹣1时，﹣1＝﹣x2+2x﹣1，
解得x1＝0，x2＝6，
∴F（6，﹣1），
∵CP⊥CB，C（0，﹣1），
∴直线CP为：y＝x﹣1，
当x﹣1＝﹣x2+2x﹣1时，解得x1＝0，x2＝3，
当x＝3时，y＝2，
∴P（3，2）；
②∵直线CB：y＝﹣x﹣1，直线PF：y＝﹣x+5，
∴CB∥PF，
∴∠BCF＝∠PFC＝45°，
∴在直线CF上存在满足条件的点Q，
设Q（t，﹣1），
由题可得CF＝6，CB＝9，PF＝3，
（ⅰ）如图所示，当△PFQ1∽△BCF时，
＝，即＝，
解得t＝4，
∴Q1（4，﹣1）；
（ⅱ）如图所示，当△PFQ∽△FCB时，
＝，即＝，
解得t＝﹣3，
∴Q2（﹣3，﹣1）．
综上所述，点Q的坐标为（4，﹣1）或（﹣3，﹣1）．
2021年河北省石家庄市四区联考中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共16个小题；1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分．共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a3•a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2
3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），并且顶点A，B分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．22° C．28° D．38°
4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）已知0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤2 B．2≤x≤3 C．≤x≤ D．≤x≤
6．（3分）“鼓楼e学校﹣﹣停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（ ）
A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×106 D．12×105
7．（3分）已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（3分）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
9．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞0 B．＞1 C．ad＞bc D．|a|＞|b|
10．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
11．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2分）如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
13．（2分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
15．（2分）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲园的门票费用是60元
B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg
C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折
D．若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同
16．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣16
二、填空题（本大题共3个小题，17、18小题各3分；19小题有3个空，每空2分.共12分.请把答案填在题中横线上）
17．（3分）若a、b为实数，且b＝，则a+b＝ ．
18．（3分）已知点M（﹣3，3），线段MN＝4，且MN∥y轴，则点N的坐标是 ．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是 ，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ，最大值是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）先化简，再计算：，其中m满足使关于x的二次三项式x2﹣（m﹣1）x+1是完全平方式．
21．（8分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A、提取公因式；B、平方差公式；C、两数和的完全平方公式；D、两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
22．（9分）某校为了了解家长和学生参与“全国中小学生新冠肺炎疫情防控”专题教育的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与；C．仅家长参与；D．家长和学生都未参与．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）C类所对应扇形的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，试估计该校1800名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
23．（9分）如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
24．（10分）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
25．（10分）某景区售票处规定：非节假日的票价打a折售票；节假日根据团队人数x（人）实行分段售票：若x≤10，则按原展价购买；若x＞10，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原那价打b折购买．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．
（1）观察图象可知：a＝ ，b＝ ；
（2）当x＞10时，求y2与x之间的函数表达式；
（3）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计50人，共付门票款3120元，已知甲团人数超过10人，求甲团人数与乙团人数．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），与y轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点；
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线BC交于点E，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当∠PCB＝90°时，作∠PCB的角平分线，交抛物线于点F．
①求点P和点F的坐标；
②在直线CF上是否存在点Q，使得以F、P、Q为顶点的三角形与△BCF相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年河北省石家庄市四区联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题；1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分．共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【分析】依据平方根的性质列方出求解即可．
【解答】解：∵一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1﹣a+2＝0．
解得：a＝﹣1．
∴2a﹣1＝﹣3．
∴这个正数是9．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a3•a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2
【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．
【解答】解：A、应为3a2﹣a2＝2a2，故本选项错误；
B、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
C、a3•a6＝a3+6＝a9，正确；
D、应为（2a）2＝22a2+2＝4a4，故本选项错误．
故选：C．
3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），并且顶点A，B分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．22° C．28° D．38°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，过C作CD∥直线m，求出CD∥直线m∥直线n，根据平行线的性质得出∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，即可求出答案．
【解答】解：
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
过C作CD∥直线m，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故选：B．
4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看，所得到的图形即可．
【解答】解：该几何体的俯视图为
故选：D．
5．（3分）已知0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤2 B．2≤x≤3 C．≤x≤ D．≤x≤
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：∵0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，
∴0+1≤2x≤1+4，
即1≤2x≤5，
解得．
故选：C．
6．（3分）“鼓楼e学校﹣﹣停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（ ）
A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×106 D．12×105
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
【解答】解：1200000＝1.2×106．
故选：C．
7．（3分）已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．
【解答】解：∵5≤≤7，4≤≤6，
∴25≤a≤49，16≤b≤36，
∴41≤a+b≤85，
则的整数部分可以是6，7，8，9．
故选：A．
8．（3分）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【解答】解：把x＝m，y＝4代入y＝mx中，
可得：m＝±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m＝﹣2，
故选：B．
9．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞0 B．＞1 C．ad＞bc D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：∵b+d＝0，
由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、∵b+d＝0，
∴b+c＜0，
故A不符合题意；
B、＜0，
故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，
故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，
故D正确；
故选：D．
10．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．
【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，
∴BC与B'C是对应边，
∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．
故选：A．
11．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，即可证得△DEF∽△BCF，又由E为AD的中点，△BCF的面积为4，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△DEF的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AD，
∴DE：BC＝1：2，
∴S△DEF：S△BCF＝1：4，
∵△BCF的面积为4，
∴△DEF的面积为1．
故选：A．
12．（2分）如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】如图，过点A作AE⊥OC于E，由菱形的性质可得AO∥CB，OA＝OC，可证△AOC是等边三角形，可得S△AOE＝S△AOC＝＝，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥OC于E，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S△AOE＝S△AOC，
∵OA∥BC，
∴S△OAD＝S△OAC＝2，
∴S△AOE＝＝，
∴k＝2
故选：C．
13．（2分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据已知图形得出第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），再用带“心”字的正方体个数除以总个数即可得．
【解答】解：∵第1个图形中正方体的个数为1，
第2个图形中正方体的个数3＝1+2，
第3个图形中正方体的个数6＝1+2+3，
∴第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，
∴抽到带“心”字正方体的概率是＝，
故选：D．
14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
15．（2分）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲园的门票费用是60元
B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg
C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折
D．若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲园的门票为60元，故选项A正确；
乙园草莓优惠前的销售价格是：200÷5＝40（元/千克），故选项B正确；
＝0.5，
即乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打5折，故选项C正确；
若顾客采摘12kg草莓，甲园花费为：60+12×40×0.6＝344（元），乙园的花费为：40×5+（12﹣5）×40×0.5＝340（元），
∵344＞340，
∴若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园比到乙园的总费用高，故选项D错误；
故选：D．
16．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣16
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝3，则根据抛物线的对称性得到x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），最后把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，
∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m得4+12+m＝0，解得m＝﹣16．
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，17、18小题各3分；19小题有3个空，每空2分.共12分.请把答案填在题中横线上）
17．（3分）若a、b为实数，且b＝，则a+b＝ ±1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求出a的值，将a的值代入原式即可求出b的值．
【解答】解：由题意可知：，
∴a2＝1，
∴a＝±1，
∴b＝0，
当a＝1时，
原式＝1．
当a＝﹣1时，
原式＝﹣1．
故答案为：±1
18．（3分）已知点M（﹣3，3），线段MN＝4，且MN∥y轴，则点N的坐标是 （﹣3，﹣1）或（﹣3，7） ．
【分析】根据线段MN＝4，且MN∥y轴，点M（﹣3，3），可知点N的横坐标为﹣3，纵坐标与3的差的绝对值为4，从而可得点N的结论．
【解答】解：∵线段MN＝4，且MN∥y轴，点M（﹣3，3），
∴点N的坐标为（﹣3，y），
∴|y﹣3|＝4，
∴y＝﹣1或y＝7，
∴则点N的坐标是（﹣3，﹣1）或（﹣3，7）．
故答案为：（﹣3，﹣1）或（﹣3，7）．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是 ，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ﹣ ，最大值是 + ．
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最值．
【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BC＝AB＝，
由勾股定理得，OC＝＝，
由勾股定理得，OD＝＝，
当点D在直线OC上时，点D到AB的距离的最小或最大，
∴点D到AB的距离的最小值为﹣，点D到AB的距离的最大值为+，
故答案为：；﹣；+．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）先化简，再计算：，其中m满足使关于x的二次三项式x2﹣（m﹣1）x+1是完全平方式．
【分析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再求出m的值，代入m的值可得答案．
【解答】解：原式＝÷[﹣]，
＝÷，
＝•，
＝，
∵m满足使关于x的二次三项式x2﹣（m﹣1）x+1是完全平方式，
∴m﹣1＝±2，
∴m1＝3，m2＝﹣1，
∵m≠0，m﹣1≠0，
∴m≠0和1，
∴m＝3，
∴原式＝＝．
21．（8分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A、提取公因式；B、平方差公式；C、两数和的完全平方公式；D、两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．
【解答】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；
（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．
（3）设x2﹣2x＝y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
＝y（y+2）+1，
＝y2+2y+1，
＝（y+1）2，
＝（x2﹣2x+1）2，
＝（x﹣1）4．
22．（9分）某校为了了解家长和学生参与“全国中小学生新冠肺炎疫情防控”专题教育的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与；C．仅家长参与；D．家长和学生都未参与．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 300 名学生；
（2）C类所对应扇形的圆心角的度数是 60° ，并补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，试估计该校1800名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中A类对应的人数和所占百分比即可求出在这次抽样调查中，共调查的学生数；
（2）根据条形统计图可得C类人数，进而可得C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据条形统计图可得D类人数，即可估计该校1800名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【解答】解：（1）在这次抽样调查中，共调查的学生数为：60÷20%＝300（名），
故答案为：300；
（2）∵360°×＝60°
∴C类所对应扇形的圆心角的度数是60°，
如图，即为补全的条形统计图；
故答案为：60；
（3）∵1800×＝60（名）．
答：估计该校1800名学生中“家长和学生都未参与”的人数是60名．
23．（9分）如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
24．（10分）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，根据题意B点坐标得出k的值以及m的值；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON，求出答案即可；
（3）设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），求出EF＝﹣m+7﹣，得出关于m的方程，求出m即可．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
将B（6，1）的坐标代入y＝，得k＝6．
∴反比例函数的解析式为y＝．
将A（m，6）的坐标代入y＝，得m＝1．
（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得
，
解得：，
故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，
∴M（0，7），N（7，0），
∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝OM×ON﹣OM×|xA|﹣ON×|yB|
＝×7×7﹣×7×1﹣×7×1
＝．
（3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，），
∴EF＝﹣m+7﹣．
∵EF＝AD，
∴﹣m+7﹣＝×6．
解得m1＝2，m2＝3，
经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根，
∴E的坐标为（2，5）或（3，4）．
25．（10分）某景区售票处规定：非节假日的票价打a折售票；节假日根据团队人数x（人）实行分段售票：若x≤10，则按原展价购买；若x＞10，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原那价打b折购买．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．
（1）观察图象可知：a＝ 6 ，b＝ 8 ；
（2）当x＞10时，求y2与x之间的函数表达式；
（3）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计50人，共付门票款3120元，已知甲团人数超过10人，求甲团人数与乙团人数．
【分析】（1）根据原票价和实际票价可求a、b的值，m的值可看图得到；
（2）先列函数解析式，然后将图中的对应值代入其中求出常数项，即可得到解析式；
（3）分两种情况讨论，即不多于10和多于10人，找出等量关系，列出关于人数的n的一元一次方程，解此可得人数．
【解答】解：（1）门票定价为80元/人，那么10人应花费800元，而从图可知实际只花费480元，是打6折得到的价格，
所以a＝6；
从图可知10人之外的另10人花费640元，而原价是800元，可以知道是打8折得到的价格，
所以b＝8，
故答案为：6，8；
（2）当x＞10时，设y2＝kx+b．
∵图象过点（10，800），（20，1440），
∴，
解得，
∴y2＝64x+160 （x＞10），
（3）设甲团有m人，乙团有n人．
由图象，得y1＝48x，
当m＞10时，
依题意，得，
解得，
答：甲团有35人，乙团有15人．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），与y轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点；
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线BC交于点E，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当∠PCB＝90°时，作∠PCB的角平分线，交抛物线于点F．
①求点P和点F的坐标；
②在直线CF上是否存在点Q，使得以F、P、Q为顶点的三角形与△BCF相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），运用待定系数法即可求得抛物线对应的函数表达式；
（2）根据直线BC为：y＝﹣x﹣1，可设点P的坐标为（m，﹣m2+2m﹣1），则E（m，﹣m﹣1），进而得到PE＝﹣m2+2m﹣1﹣（﹣m﹣1）＝﹣m2+3m，最后根据四边形AECP的面积＝△APE面积+△CPE面积，求得点P坐标为（ ，）；
（3）①根据∠PCB＝90°，CF平分∠PCB，可得∠BCF＝45°，进而得出CF∥x轴，则当y＝﹣1时，﹣1＝﹣x2+2x﹣1，解得F（6，﹣1），再根据直线CP为：y＝x﹣1，可得当x﹣1＝﹣x2+2x﹣1时，可得P（3，2）；
②根据直线CB：y＝﹣x﹣1，直线PF：﹣x+5，可得CB∥PF，即可得到∠BCF＝∠PFC＝45°，故在直线CF上存在满足条件的点Q，再设Q（t，﹣1），由题可得CF＝6，CB＝9，PF＝3，最后分两种情况进行讨论：当△PFQ1∽△BCF时，当△PFQ∽△FCB时，分别求得t的值，即可得出点Q的坐标为（4，﹣1）或（﹣3，﹣1）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），
∴，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x﹣1；
（2）由抛物线可得，C（0，﹣1），B（9，﹣10），
∴直线BC为：y＝﹣x﹣1，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m﹣1），则E（m，﹣m﹣1），
∴PE＝﹣m2+2m﹣1﹣（﹣m﹣1）＝﹣m2+3m，
∴四边形AECP的面积＝△APE面积+△CPE面积
＝×（﹣m2+3m）×m+×（﹣m2+3m）×（5﹣m）
＝（﹣m2+3m）
＝﹣m2+m，
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，﹣m2+2m﹣1＝，
∴点P坐标为（ ，）；
（3）①过点B作BH⊥y轴于H，
∵C（0，﹣1），B（9，﹣10），
∴CH＝BH＝9，
∴∠BCH＝45°，
∵∠PCB＝90°，CF平分∠PCB，
∴∠BCF＝45°，
∴∠FCH＝90°，即CF∥x轴，
当y＝﹣1时，﹣1＝﹣x2+2x﹣1，
解得x1＝0，x2＝6，
∴F（6，﹣1），
∵CP⊥CB，C（0，﹣1），
∴直线CP为：y＝x﹣1，
当x﹣1＝﹣x2+2x﹣1时，解得x1＝0，x2＝3，
当x＝3时，y＝2，
∴P（3，2）；
②∵直线CB：y＝﹣x﹣1，直线PF：y＝﹣x+5，
∴CB∥PF，
∴∠BCF＝∠PFC＝45°，
∴在直线CF上存在满足条件的点Q，
设Q（t，﹣1），
由题可得CF＝6，CB＝9，PF＝3，
（ⅰ）如图所示，当△PFQ1∽△BCF时，
＝，即＝，
解得t＝4，
∴Q1（4，﹣1）；
（ⅱ）如图所示，当△PFQ∽△FCB时，
＝，即＝，
解得t＝﹣3，
∴Q2（﹣3，﹣1）．
综上所述，点Q的坐标为（4，﹣1）或（﹣3，﹣1）．
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