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2023年河北省石家庄市四区联考中考数学二模试卷(含答案)
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这是一份2023年河北省石家庄市四区联考中考数学二模试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省石家庄市四区联考中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16个小题：1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分.共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AD B．GE C．EF D．CH
2．（3分）下列运算的结果是负数的是（ ）
A．|﹣3|﹣（﹣2） B．（﹣2）﹣1﹣（﹣3）
C．﹣2﹣（﹣3） D．（﹣3）﹣（﹣2）
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是OB与OD的中点，依连接点A，E，C，F，A，当四边形AECF是矩形时，与线段BE相等的线段有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
4．（3分）如下是嘉淇计算某道题的过程，下列选项中结论不正确的是（ ）
2x+x2﹣2（3x﹣2）
＝2x+x2﹣6x+4•••••第一步
＝x2+2x﹣6x+4•••••第二步
＝x2﹣4x+4•••••••••第三步
＝（x﹣2）2••••••••••第四步
A．第一步用到了去括号法则
B．第二步用到了加法交换律
C．第三步用到了减法结合律
D．第四步用到了完全平方公式
5．（3分）下列各式的计算结果与 互为倒数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图是老师给出的一道课堂练习，需要将横线上的内容补充完整：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，若∠BCA＝50°，求∠BAD的度数．
解：由题知，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴★＝∠BCA＝50° （同弧所对的圆周角△），
∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴※＝90° （直径所对的圆周角为直角），
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
嘉淇有以下推测：①★代表的是∠ADB；②△代表的是相等；③※处应填∠ABD；④※处可以填∠BDA，则上述说法中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（ ）
A．1米 B．2.25米 C．2米 D．3米
9．（3分）嘉嘉在解方程﹣2x2+3x＝8﹣x时，经过一系列的计算后得到，，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你这一看就不对，这个方程只有一个解．”请你根据以上叙述，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉的解是正确的，因为他认真计算了
B．淇淇说得对，因为b2﹣4ac＝0
C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解
D．由b2﹣4ac＞0可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的
10．（3分）如图，AB＝AC，∠A＝α，点M，N分别是边AB，AC上一点且MD⊥BC于点D，DN⊥AC于点N，则∠MDN的度数是（ ）
A．90°﹣α B． C．180°﹣2α D．α
11．（2分）2021年是中国共产党成立100周年，河北某中学组织全校学生参加了“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛，为了解全校学生的答题情况，随机抽取了一部分学生，将这部分学生的成绩划分为A：答对7题：B：答对8题；C：答对9题；D：答对10题4个组，并绘制出不完整的统计图如图1，2，则被抽取学生答对题目数量的众数和中位数所在的组分别是（ ）
A．C，C B．C，D C．C，B D．D，B
12．（2分）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（ ）
A．向北偏西150°方向航行4海里
B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里
D．向东偏北150°方向航行3海里
13．（2分）某品牌选用直径为0.000015米的桑蚕丝进行加工，已知一根丝线需要用到16根桑蚕丝，则这根丝线的直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣5 B．2.4×10﹣6 C．1.5×10﹣6 D．2.4×10﹣4
14．（2分）如图是由若干个边长为1的小正方体组成的几何体的俯视图，每个小正方形内的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的三视图中的最大面积是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
15．（2分）课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
16．（2分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E是对角线AC（含端点）上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F，对点E运动的过程中，使EF长度为整数的点
进行探究，有如下结论：
结论1：只存在两个这样的点E；
结论2：EF的长不可能等于4；
结论3：EF的最大长度等于正方形的边长．
以下说法正确的是（ ）
A．只有结论1错误 B．结论1和结论2都错误
C．3个结论都正确 D．只有结论3正确
二、填空题（本大题共3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空
17．（3分）若2m﹣n+1＝0，则2n+3﹣4m的值为 ．
18．（4分）如图，将一个正六边形沿直线l绕点C做无滑动滚动一次，使边BC落在直线l上，则四边形OABC的形状是 ，∠OAB的度数为 ．
19．（4分）已知A，B，C三点的坐标如图所示．
（1）若反比例函数的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点 ；
（2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，在数轴上点A表示的数是﹣6，动点B在数轴上点A的右侧运动．
（1）当点B与点A的距离是10个单位长度时，在数轴上将点B表示出来；
（2）动点B从原点出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动3秒，再向负方向以相同速度运动5秒，此时点B到点A的距离是多少？
21．（9分）某展览馆周内仅上午开放可供游客观展，已知八点钟开馆时进入游客（a+2b）人，中途陆陆续续有的游客离开，又进来若干游客，十一点时馆内共有游客（3a+3b）人．
（1）此时间段内馆内不变的游客有多少人；
（2）求中途进来的游客有多少人；（用含有a，b的式子表示）
（3）当a＝3，b＝9时，中途进来的游客有多少人？
22．（9分）“演讲比赛”结束后，学校组织所有评委老师、参赛选手及工作人员进行合影留念，若将舞台分为面积相等的9个小三角形区域如图．除阴影区域外，其他区域所有工作人员随机站位．
（1）求场务小李站在A区域的概率；
（2）若场务小李只能站在C，B，G，I这4个小三角形中，选手小张在阴影区域的四个小三角形随机站位，请用列表或画树状图的方法求小李与小张站在两个相邻（有公共边）的小三角形的概率．
23．（9分）随着北京冬奥会的召开，奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到来自全球不同国家和地区人们的欢迎，某工艺品店在取得官方授权后，计划购进一批“冰墩墩”和“雪容融”摆件共60个，已知“冰墩墩”和“雪容融”的进货单价和销售单价如下表：
名称
进货单价
销售单价
“冰墩墩”
140
200
“雪容融”
210
240
设该工艺品店购进“冰墩墩”x个，销售完这60个摆件可获总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若“冰墩墩”的进货数量不超过“雪容融”进货数量的3倍．应如何安排进货，才能使这批摆件销售完获利最大，并求出最大利润；
（3）已知该工艺品店计划对每个摆件的销售单价提价25%后再打折出售，以此来提高销量，在（2）的条件下，要保证工艺品店所得利润不低于（2）中所求的最大利润，那么该工艺品店至多可以打几折？
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；
（2）当t为何值时，MN与⊙O相切？
（3）若线段MN与⊙O有两个交点．求t的取值范围．
25．（10分）如图是一次体操跳台训练的截面示意图，△ABO和线段MN分别为跳板和跳马面．取地面为x轴，跳板AO边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0.15），B（﹣1.5，0），M（0.9，1.35），N（1.25，1.35）．已知一名体操运动员在跳板AB边上的点Q起跳，第一次腾空的路线为抛物线C1：y＝﹣2x²+4mx﹣2m²+2.1，双于撑跳马面MN后第二次腾空的路线为抛物线C2：y＝﹣2（x﹣h）2+k．（m，n为正数，计算结果精确到0.1，≈2.4）
（1）跳马面MN的宽为 m，求AB所在直线的表达式；
（2）若运动员在距离地面0.1m的点Q处起跳，判断其双手是否会撑在跳马面上；
（3）运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为d，d越大，完成动作的效果越好，若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为（1.1，1.35），直接写出当0≤d≤1.25时，h的取值范围．
26．（12分）冀教版八年级上册课本146页有这样一道题：你能用一张对边平行的纸条折出一个等腰三角形吗？请你试一试，
如图1，已知矩形纸片ABCD，其中AD＝8，AB＝4，点E是射线BA上一点，连接CE，将矩形纸片沿CE折叠，使点B落在点P的位置，CP交AD于点M．
（1）如图2，当点E与点A重合时，求证：△CME是等腰三角形；
（2）如图3，当点E在BA的延长线上时，设CE交AD于点N，点A落在点Q的位置，是否能折出一个等腰三角形？找出这个三角形，若AE＝2，求出cos∠AMP的值；
（3）在（2）的条件下，求该等腰三角形的面积．
2023年河北省石家庄市四区联考中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共16个小题：1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分.共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AD B．GE C．EF D．CH
【解答】解：∵CH⊥AB，
∴在△ABC中，边AB上的高是CH．
故选：D．
2．（3分）下列运算的结果是负数的是（ ）
A．|﹣3|﹣（﹣2） B．（﹣2）﹣1﹣（﹣3）
C．﹣2﹣（﹣3） D．（﹣3）﹣（﹣2）
【解答】解：∵|﹣3|﹣（﹣2）＝3+2＝5，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣2）﹣1﹣（﹣3）＝﹣+3＝2，
∴选项B不符合题意；
∵﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
∴选项C不符合题意；
∵（﹣3）﹣（﹣2）＝﹣3+2＝﹣1
∴选项D符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是OB与OD的中点，依连接点A，E，C，F，A，当四边形AECF是矩形时，与线段BE相等的线段有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OB＝OD，
∵E，F分别是OB与OD的中点，
∴OE＝BE＝OB，OF＝DF＝OD，
∴OE＝OF＝DF＝BE，
∵四边形AECF是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OE＝OF＝EF，AC＝EF，
∴OA＝OC＝OE＝OF＝DF＝BE，
∴与线段BE相等的线段有5条，
故选：B．
4．（3分）如下是嘉淇计算某道题的过程，下列选项中结论不正确的是（ ）
2x+x2﹣2（3x﹣2）
＝2x+x2﹣6x+4•••••第一步
＝x2+2x﹣6x+4•••••第二步
＝x2﹣4x+4•••••••••第三步
＝（x﹣2）2••••••••••第四步
A．第一步用到了去括号法则
B．第二步用到了加法交换律
C．第三步用到了减法结合律
D．第四步用到了完全平方公式
【解答】解：A、第一步用到了去括号法则，故A不符合题意；
B、第二步用到了加法交换律，故B不符合题意；
C、第三步用到了合并同类项，故C符合题意；
D、第四步用到了完全平方公式，故D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列各式的计算结果与 互为倒数的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：＝＝＝，
且的倒数是，
故选：A．
6．（3分）如图是老师给出的一道课堂练习，需要将横线上的内容补充完整：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，若∠BCA＝50°，求∠BAD的度数．
解：由题知，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴★＝∠BCA＝50° （同弧所对的圆周角△），
∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴※＝90° （直径所对的圆周角为直角），
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
嘉淇有以下推测：①★代表的是∠ADB；②△代表的是相等；③※处应填∠ABD；④※处可以填∠BDA，则上述说法中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由题知，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50° （同弧所对的圆周角相等），
∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90° （直径所对的圆周角为直角），
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
所以，上述说法中，正确的是：①②③，有3个，
故选：C．
7．（3分）小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，
∴I＝，
∵当R＝10Ω时，I＝24A，
∴＝24，
∴U＝240（V），
∴I＝，
∴电流I与电阻R成反比例函数关系，
故答案A符合题意，
答案B是一次函数，故不符合题意，
答案C是正比例函数，故不符合题意，
答案D是二次函数，故不符合题意，
故选：A．
8．（3分）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（ ）
A．1米 B．2.25米 C．2米 D．3米
【解答】解：构造几何模型如图：
依题意知DE＝2米，BC＝2+1＝3（米），FG＝1.5米，
由△DAE∽△BAC得，即，
解得AF＝3，
答：灯泡距离桌面3米．
故选：D．
9．（3分）嘉嘉在解方程﹣2x2+3x＝8﹣x时，经过一系列的计算后得到，，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你这一看就不对，这个方程只有一个解．”请你根据以上叙述，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉的解是正确的，因为他认真计算了
B．淇淇说得对，因为b2﹣4ac＝0
C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解
D．由b2﹣4ac＞0可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的
【解答】解：原方程可化为x2﹣2x+4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴原方程无实数根，
故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解，
故选：C．
10．（3分）如图，AB＝AC，∠A＝α，点M，N分别是边AB，AC上一点且MD⊥BC于点D，DN⊥AC于点N，则∠MDN的度数是（ ）
A．90°﹣α B． C．180°﹣2α D．α
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝α，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵MD⊥BC于点D，DN⊥AC于点N，
∴∠BDM＝90°，∠CND＝90°，
∴∠NDC＝90°﹣∠C＝α，
∵∠BDM+∠MDN+∠NDC＝180°，
∴∠MDN＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
故选：B．
11．（2分）2021年是中国共产党成立100周年，河北某中学组织全校学生参加了“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛，为了解全校学生的答题情况，随机抽取了一部分学生，将这部分学生的成绩划分为A：答对7题：B：答对8题；C：答对9题；D：答对10题4个组，并绘制出不完整的统计图如图1，2，则被抽取学生答对题目数量的众数和中位数所在的组分别是（ ）
A．C，C B．C，D C．C，B D．D，B
【解答】解：由扇形统计图可知，被抽取学生答对题目数量中，C组所占的比例最大，故众数是C组；
由题意可知，A组合B组所占百分百之和小于50%，A、B、C三组所占百分百之和大于50%，所以中位数所在的组是C组．
故选：A．
12．（2分）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（ ）
A．向北偏西150°方向航行4海里
B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里
D．向东偏北150°方向航行3海里
【解答】解：根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里，
故选：C．
13．（2分）某品牌选用直径为0.000015米的桑蚕丝进行加工，已知一根丝线需要用到16根桑蚕丝，则这根丝线的直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣5 B．2.4×10﹣6 C．1.5×10﹣6 D．2.4×10﹣4
【解答】解：0.000015×16＝0.00024＝2.4×10﹣4（米）．
故选：D．
14．（2分）如图是由若干个边长为1的小正方体组成的几何体的俯视图，每个小正方形内的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的三视图中的最大面积是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【解答】解：由题意可知，主视图的面积为2+3+4＝9，左视图的面积为2+4+1＝7，俯视图的面积为5，
所以该见何体的三视图中的最大面积是9．
故选：B．
15．（2分）课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【解答】解：设甲将数字3抄成了数字a，
，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞2a﹣7，
∵此不等式组无解，
∴2a﹣7≥2，
解得：a≥4.5，
∴甲将数字3可能抄成了数字5，
故选：D．
16．（2分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E是对角线AC（含端点）上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F，对点E运动的过程中，使EF长度为整数的点
进行探究，有如下结论：
结论1：只存在两个这样的点E；
结论2：EF的长不可能等于4；
结论3：EF的最大长度等于正方形的边长．
以下说法正确的是（ ）
A．只有结论1错误 B．结论1和结论2都错误
C．3个结论都正确 D．只有结论3正确
【解答】解：如图，过点E作 MN⊥CD 分别交AB、CD于点N、M，
∵∠DEF＝90°，
∠FEN+∠DEM＝90°，
∠DEM+∠EDM＝90°，
∴∠FEN＝∠EDM，
∵AC 平分∠DAB，
∴∠EAN＝∠AEN＝45°，
∴AN＝NE，
∵AN＝DM，
∴NE＝DM，
又∵∠ENF＝∠DME＝90°，
∴△DEM≌△EFN，
∴DE＝EF，
∴当DE⊥AC时，DE取得最小值，即EF取得最小值；
当点E与点C重合时，DE取得最大值，即EF取得最大值，最大值为8．
如图，过点D作DG⊥AC于点G，
则 ，
∵，即 ，
∴EF的长度为整数时分别为6，7，8，
∴使EF长度为整数的点E有三个，
∴结论1错误，结论2，3正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空
17．（3分）若2m﹣n+1＝0，则2n+3﹣4m的值为 5 ．
【解答】解：∵2m﹣n+1＝0，
∴2m﹣n＝﹣1，
∴2n+3﹣4m
＝﹣2（2m﹣n）+3
＝﹣2×（﹣1）+3
＝2+3
＝5，
故答案为：5．
18．（4分）如图，将一个正六边形沿直线l绕点C做无滑动滚动一次，使边BC落在直线l上，则四边形OABC的形状是 菱形 ，∠OAB的度数为 60° ．
【解答】解：由滚动的定义可知，OA＝AB＝BC＝CO，
∴四边形ABCO是菱形，
连接OB，
∵OA＝OB＝AB，
∴△AOB是正三角形，
∴∠OAB＝60°，
故答案为：菱形，60°．
19．（4分）已知A，B，C三点的坐标如图所示．
（1）若反比例函数的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点 C ；
（2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是 3≤k＜4或k＝ ．
【解答】解：（1）由坐标系可知，A（1，4），B（2，2），C（3，1），
∵1×4＝2×2≠3×1，
∴反比例函数的图象过点A、B，点C不在反比例函数图象上，
故答案为：C；
（2）设直线AC为y＝kx+b，
代入A、C的坐标得，
解得，
∴直线AC为y＝﹣x+，
令＝﹣x+，整理得3x2﹣11x+2k＝0，
当反比例函数的图象与直线AC有且只有一个公共点时，Δ＝0，
∴（﹣11）2﹣4×3×2k＝0，
解得k＝，
由（1）可知k＝4时，反比例函数图象过A（1，4），B（2，2）两点，k＝3时，反比例函数图象过C点，
∴3≤k＜4时，反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点，
综上，当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是3≤k＜4或k＝．
故答案为：3≤k＜4或k＝．
三、解答题（本大题共7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，在数轴上点A表示的数是﹣6，动点B在数轴上点A的右侧运动．
（1）当点B与点A的距离是10个单位长度时，在数轴上将点B表示出来；
（2）动点B从原点出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动3秒，再向负方向以相同速度运动5秒，此时点B到点A的距离是多少？
【解答】解：（1）设点B表示的数是x，则：x﹣（﹣6）＝10．
解得x＝4．
即点B表示的数是4，表示在数轴上为：
故答案为：4；
（2）∵动点B从原点出发，
∴2×3+（﹣2）×5＝﹣4．
∴|﹣6﹣（﹣4）|＝2．
∴此时点B到点A的距离是2．
21．（9分）某展览馆周内仅上午开放可供游客观展，已知八点钟开馆时进入游客（a+2b）人，中途陆陆续续有的游客离开，又进来若干游客，十一点时馆内共有游客（3a+3b）人．
（1）此时间段内馆内不变的游客有多少人；
（2）求中途进来的游客有多少人；（用含有a，b的式子表示）
（3）当a＝3，b＝9时，中途进来的游客有多少人？
【解答】解：（1）（1﹣）（a+2b）＝（a+2b）人．
故此时间段内馆内不变的游客有（a+2b）人；
（2）（3a+3b）﹣（a+2b）
＝3a+3b﹣a﹣b
＝（a+b）人．
故中途进来的游客有（a+b）人；
（3）当a＝3，b＝9时，
原式＝×3+×9
＝7+15
＝22．
故中途进来的游客有22人．
22．（9分）“演讲比赛”结束后，学校组织所有评委老师、参赛选手及工作人员进行合影留念，若将舞台分为面积相等的9个小三角形区域如图．除阴影区域外，其他区域所有工作人员随机站位．
（1）求场务小李站在A区域的概率；
（2）若场务小李只能站在C，B，G，I这4个小三角形中，选手小张在阴影区域的四个小三角形随机站位，请用列表或画树状图的方法求小李与小张站在两个相邻（有公共边）的小三角形的概率．
【解答】解：（1）场务小李站在A区域的概率为；
（2）列表如下：
D
E
F
H
C
（D，C）
（E，C）
（F，C）
（H，C）
B
（D，B）
（E，B）
（F，B）
（H，B）
G
（D，G）
（E，G）
（F，G）
（H，G）
I
（D，I）
（E，I）
（F，I）
（H，I）
由表知，共有16种等可能结果，其中小李与小张站在两个相邻（有公共边）的小三角形的有4种结果，
所以小李与小张站在两个相邻（有公共边）的小三角形的概率为＝．
23．（9分）随着北京冬奥会的召开，奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到来自全球不同国家和地区人们的欢迎，某工艺品店在取得官方授权后，计划购进一批“冰墩墩”和“雪容融”摆件共60个，已知“冰墩墩”和“雪容融”的进货单价和销售单价如下表：
名称
进货单价
销售单价
“冰墩墩”
140
200
“雪容融”
210
240
设该工艺品店购进“冰墩墩”x个，销售完这60个摆件可获总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若“冰墩墩”的进货数量不超过“雪容融”进货数量的3倍．应如何安排进货，才能使这批摆件销售完获利最大，并求出最大利润；
（3）已知该工艺品店计划对每个摆件的销售单价提价25%后再打折出售，以此来提高销量，在（2）的条件下，要保证工艺品店所得利润不低于（2）中所求的最大利润，那么该工艺品店至多可以打几折？
【解答】解：（1）∵该工艺品店购进“冰墩墩”x个，
∴该工艺品店购进“雪容融”（60﹣x），
由题意得：
y＝（200﹣140）x+（240﹣210）×（60﹣x）＝30x+1800，
∴y与x之间的函数关系式为y＝30x+1800．
（2）由题意得，x≤3（60﹣x），
解得，x≤45，
由（1）知，y＝30x+1800，
∵k＞0，
∴y随的增大而增大，
∴当x＝45时，y由最大值，y最大值＝30×45+1800＝3150，
此时60﹣45＝15，
∴购进“冰墩墩”45个，购进“雪容融”15个时，销售完获利最大，最大利润为3150元．
（3）由（2）得，购进“冰墩墩”45个，购进“雪容融”15个，
设至少打a折，
则对每个摆件的销售单价提价25%后再打折出售的利润为：
y＝（200×1.25•a﹣140）×45+（240×1.25•a﹣210）×15
＝15750a﹣9450，
∵要保证工艺品店所得利润不低于（2）中所求的最大利润，
∴15750a﹣9450≥3150，
解得，a≥0.8，
∴该工艺品店至多可以打8折．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；
（2）当t为何值时，MN与⊙O相切？
（3）若线段MN与⊙O有两个交点．求t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，AM＝2tcm，CN＝3tcm，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝10cm，
∴AN＝AC﹣CN＝（10﹣3t）cm，
∵AB＝6cm，动点M的速度为2cm/s，
∴动点M的最长运动时间为s，
∵AC＝10cm，动点N的速度为3cm/s，
∴动点N的最长运动时间为s，
∴t的取值范围为0＜r≤3；
（2）若MN与⊙O相切，则AB⊥MN，即∠AMN＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AMN＝∠ABC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，
解得t＝，
∴当t＝时，MN与⊙O相切；
（3）由（2）得，当t＞时，直线MN与⊙O有两个交点，
如图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ANM＝90°＝∠B，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴，
即，
解得t＝，
∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为．
25．（10分）如图是一次体操跳台训练的截面示意图，△ABO和线段MN分别为跳板和跳马面．取地面为x轴，跳板AO边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0.15），B（﹣1.5，0），M（0.9，1.35），N（1.25，1.35）．已知一名体操运动员在跳板AB边上的点Q起跳，第一次腾空的路线为抛物线C1：y＝﹣2x²+4mx﹣2m²+2.1，双于撑跳马面MN后第二次腾空的路线为抛物线C2：y＝﹣2（x﹣h）2+k．（m，n为正数，计算结果精确到0.1，≈2.4）
（1）跳马面MN的宽为 0.35 m，求AB所在直线的表达式；
（2）若运动员在距离地面0.1m的点Q处起跳，判断其双手是否会撑在跳马面上；
（3）运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为d，d越大，完成动作的效果越好，若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为（1.1，1.35），直接写出当0≤d≤1.25时，h的取值范围．
【解答】解：（1）∵M（0.9，1.35），N（1.25，1.35），
∴MN＝1.25﹣0.9＝0.35，
故答案为：0.35；
设AB所在直线的表达式为y＝ax+b（a≠0），
把A（0，0.15），B（﹣1.5，0），代入表达式得：，
解得，
∴AB所在直线的表达式为y＝0.1x+0.15；
（2）当y＝0.1时，代入y＝0.1x+0.15，
解得x＝﹣0.5，
∴Q（﹣0.5，0.1），
抛物线C1：y＝﹣2x²+4mx﹣2m²+2.1可化为y＝﹣2（x﹣m）2+2.1，
将Q（﹣0.5，0.1）代入y＝﹣2（x﹣m）2+2.1得0.1＝﹣2（﹣0.5﹣m）2+2.1，
解得m1＝﹣1.5，m2＝0.5，
∵m为正数，
∴m＝0.5，
∴抛物线C1：y＝﹣2x2+2x+1.6，
当y＝1.35时，1.35＝﹣2x2+2x+1.6，
解得x1＝（舍去），x2＝，
∵≈＝1.1，
∵0.9＜1.1＜1.25，
∴双手会撑在跳马面上；
（3）∵C1：y＝﹣2x2+2x+1.6＝﹣2（x﹣）2+2.1，
∴顶点坐标为（，2.1），
∵0≤d≤1.25，
∴C2的顶点纵坐标大于等于2.1小于等于3.35，
∵（1.1，1.35）在C2上，
∴1.35＝﹣2（1.1﹣h）2+k，
当顶点纵坐标为2.1时，则1.35＝﹣2（1.1﹣h）2+2.1，
解得h≈1.7或h≈0.5（舍去）；
当顶点纵坐标为3.35时，则1.35＝﹣2（1.1﹣h）2+3.35，
解得h≈2.1或h≈0.1（舍去）．
∴h的取值范围为1.7≤h≤2.1．
26．（12分）冀教版八年级上册课本146页有这样一道题：你能用一张对边平行的纸条折出一个等腰三角形吗？请你试一试，
如图1，已知矩形纸片ABCD，其中AD＝8，AB＝4，点E是射线BA上一点，连接CE，将矩形纸片沿CE折叠，使点B落在点P的位置，CP交AD于点M．
（1）如图2，当点E与点A重合时，求证：△CME是等腰三角形；
（2）如图3，当点E在BA的延长线上时，设CE交AD于点N，点A落在点Q的位置，是否能折出一个等腰三角形？找出这个三角形，若AE＝2，求出cos∠AMP的值；
（3）在（2）的条件下，求该等腰三角形的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
根据折叠的性质得：AP＝AB＝CD，
∵∠APM＝∠D，∠PMA＝∠DMC，
∴△APM≌△CDM（AAS），
∴AM＝CM，
∴△CME是等腰三角形；
（2）解：能，△CMN是等腰三角形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DNC＝∠BCN，
根据折叠的性质可知：∠NCM＝∠BCN，
∴∠DNC＝∠NCM，
∴MN＝MC，
∴△CMN是等腰三角形；
∵AN∥BC，
∴∠EAN＝∠EBC，∠ENA＝∠ECB，
∴△EAN∽△EBC，
∴＝，
∵AD＝8，AB＝4，4E＝2，
∴＝，
解得AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝，
设MN＝CM＝a，则DM＝﹣a，
在RtACDM中，根据勾股定理得：（﹣a）2+42＝a2，
解得a＝，
∴MN＝CM＝，DM＝，
∴cos∠AMP＝cos∠CMD＝＝；
（3）解：由（2）可知：MN＝，CD＝4，
∴S△CMN＝MN•CD＝×4＝，
∴该等腰三角形的面积为．
2023年河北省石家庄市四区联考中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16个小题：1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分.共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AD B．GE C．EF D．CH
2．（3分）下列运算的结果是负数的是（ ）
A．|﹣3|﹣（﹣2） B．（﹣2）﹣1﹣（﹣3）
C．﹣2﹣（﹣3） D．（﹣3）﹣（﹣2）
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是OB与OD的中点，依连接点A，E，C，F，A，当四边形AECF是矩形时，与线段BE相等的线段有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
4．（3分）如下是嘉淇计算某道题的过程，下列选项中结论不正确的是（ ）
2x+x2﹣2（3x﹣2）
＝2x+x2﹣6x+4•••••第一步
＝x2+2x﹣6x+4•••••第二步
＝x2﹣4x+4•••••••••第三步
＝（x﹣2）2••••••••••第四步
A．第一步用到了去括号法则
B．第二步用到了加法交换律
C．第三步用到了减法结合律
D．第四步用到了完全平方公式
5．（3分）下列各式的计算结果与 互为倒数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图是老师给出的一道课堂练习，需要将横线上的内容补充完整：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，若∠BCA＝50°，求∠BAD的度数．
解：由题知，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴★＝∠BCA＝50° （同弧所对的圆周角△），
∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴※＝90° （直径所对的圆周角为直角），
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
嘉淇有以下推测：①★代表的是∠ADB；②△代表的是相等；③※处应填∠ABD；④※处可以填∠BDA，则上述说法中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（ ）
A．1米 B．2.25米 C．2米 D．3米
9．（3分）嘉嘉在解方程﹣2x2+3x＝8﹣x时，经过一系列的计算后得到，，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你这一看就不对，这个方程只有一个解．”请你根据以上叙述，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉的解是正确的，因为他认真计算了
B．淇淇说得对，因为b2﹣4ac＝0
C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解
D．由b2﹣4ac＞0可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的
10．（3分）如图，AB＝AC，∠A＝α，点M，N分别是边AB，AC上一点且MD⊥BC于点D，DN⊥AC于点N，则∠MDN的度数是（ ）
A．90°﹣α B． C．180°﹣2α D．α
11．（2分）2021年是中国共产党成立100周年，河北某中学组织全校学生参加了“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛，为了解全校学生的答题情况，随机抽取了一部分学生，将这部分学生的成绩划分为A：答对7题：B：答对8题；C：答对9题；D：答对10题4个组，并绘制出不完整的统计图如图1，2，则被抽取学生答对题目数量的众数和中位数所在的组分别是（ ）
A．C，C B．C，D C．C，B D．D，B
12．（2分）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（ ）
A．向北偏西150°方向航行4海里
B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里
D．向东偏北150°方向航行3海里
13．（2分）某品牌选用直径为0.000015米的桑蚕丝进行加工，已知一根丝线需要用到16根桑蚕丝，则这根丝线的直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣5 B．2.4×10﹣6 C．1.5×10﹣6 D．2.4×10﹣4
14．（2分）如图是由若干个边长为1的小正方体组成的几何体的俯视图，每个小正方形内的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的三视图中的最大面积是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
15．（2分）课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
16．（2分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E是对角线AC（含端点）上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F，对点E运动的过程中，使EF长度为整数的点
进行探究，有如下结论：
结论1：只存在两个这样的点E；
结论2：EF的长不可能等于4；
结论3：EF的最大长度等于正方形的边长．
以下说法正确的是（ ）
A．只有结论1错误 B．结论1和结论2都错误
C．3个结论都正确 D．只有结论3正确
二、填空题（本大题共3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空
17．（3分）若2m﹣n+1＝0，则2n+3﹣4m的值为 ．
18．（4分）如图，将一个正六边形沿直线l绕点C做无滑动滚动一次，使边BC落在直线l上，则四边形OABC的形状是 ，∠OAB的度数为 ．
19．（4分）已知A，B，C三点的坐标如图所示．
（1）若反比例函数的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点 ；
（2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，在数轴上点A表示的数是﹣6，动点B在数轴上点A的右侧运动．
（1）当点B与点A的距离是10个单位长度时，在数轴上将点B表示出来；
（2）动点B从原点出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动3秒，再向负方向以相同速度运动5秒，此时点B到点A的距离是多少？
21．（9分）某展览馆周内仅上午开放可供游客观展，已知八点钟开馆时进入游客（a+2b）人，中途陆陆续续有的游客离开，又进来若干游客，十一点时馆内共有游客（3a+3b）人．
（1）此时间段内馆内不变的游客有多少人；
（2）求中途进来的游客有多少人；（用含有a，b的式子表示）
（3）当a＝3，b＝9时，中途进来的游客有多少人？
22．（9分）“演讲比赛”结束后，学校组织所有评委老师、参赛选手及工作人员进行合影留念，若将舞台分为面积相等的9个小三角形区域如图．除阴影区域外，其他区域所有工作人员随机站位．
（1）求场务小李站在A区域的概率；
（2）若场务小李只能站在C，B，G，I这4个小三角形中，选手小张在阴影区域的四个小三角形随机站位，请用列表或画树状图的方法求小李与小张站在两个相邻（有公共边）的小三角形的概率．
23．（9分）随着北京冬奥会的召开，奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到来自全球不同国家和地区人们的欢迎，某工艺品店在取得官方授权后，计划购进一批“冰墩墩”和“雪容融”摆件共60个，已知“冰墩墩”和“雪容融”的进货单价和销售单价如下表：
名称
进货单价
销售单价
“冰墩墩”
140
200
“雪容融”
210
240
设该工艺品店购进“冰墩墩”x个，销售完这60个摆件可获总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若“冰墩墩”的进货数量不超过“雪容融”进货数量的3倍．应如何安排进货，才能使这批摆件销售完获利最大，并求出最大利润；
（3）已知该工艺品店计划对每个摆件的销售单价提价25%后再打折出售，以此来提高销量，在（2）的条件下，要保证工艺品店所得利润不低于（2）中所求的最大利润，那么该工艺品店至多可以打几折？
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；
（2）当t为何值时，MN与⊙O相切？
（3）若线段MN与⊙O有两个交点．求t的取值范围．
25．（10分）如图是一次体操跳台训练的截面示意图，△ABO和线段MN分别为跳板和跳马面．取地面为x轴，跳板AO边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0.15），B（﹣1.5，0），M（0.9，1.35），N（1.25，1.35）．已知一名体操运动员在跳板AB边上的点Q起跳，第一次腾空的路线为抛物线C1：y＝﹣2x²+4mx﹣2m²+2.1，双于撑跳马面MN后第二次腾空的路线为抛物线C2：y＝﹣2（x﹣h）2+k．（m，n为正数，计算结果精确到0.1，≈2.4）
（1）跳马面MN的宽为 m，求AB所在直线的表达式；
（2）若运动员在距离地面0.1m的点Q处起跳，判断其双手是否会撑在跳马面上；
（3）运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为d，d越大，完成动作的效果越好，若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为（1.1，1.35），直接写出当0≤d≤1.25时，h的取值范围．
26．（12分）冀教版八年级上册课本146页有这样一道题：你能用一张对边平行的纸条折出一个等腰三角形吗？请你试一试，
如图1，已知矩形纸片ABCD，其中AD＝8，AB＝4，点E是射线BA上一点，连接CE，将矩形纸片沿CE折叠，使点B落在点P的位置，CP交AD于点M．
（1）如图2，当点E与点A重合时，求证：△CME是等腰三角形；
（2）如图3，当点E在BA的延长线上时，设CE交AD于点N，点A落在点Q的位置，是否能折出一个等腰三角形？找出这个三角形，若AE＝2，求出cos∠AMP的值；
（3）在（2）的条件下，求该等腰三角形的面积．
2023年河北省石家庄市四区联考中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共16个小题：1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分.共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AD B．GE C．EF D．CH
【解答】解：∵CH⊥AB，
∴在△ABC中，边AB上的高是CH．
故选：D．
2．（3分）下列运算的结果是负数的是（ ）
A．|﹣3|﹣（﹣2） B．（﹣2）﹣1﹣（﹣3）
C．﹣2﹣（﹣3） D．（﹣3）﹣（﹣2）
【解答】解：∵|﹣3|﹣（﹣2）＝3+2＝5，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣2）﹣1﹣（﹣3）＝﹣+3＝2，
∴选项B不符合题意；
∵﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
∴选项C不符合题意；
∵（﹣3）﹣（﹣2）＝﹣3+2＝﹣1
∴选项D符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是OB与OD的中点，依连接点A，E，C，F，A，当四边形AECF是矩形时，与线段BE相等的线段有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OB＝OD，
∵E，F分别是OB与OD的中点，
∴OE＝BE＝OB，OF＝DF＝OD，
∴OE＝OF＝DF＝BE，
∵四边形AECF是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OE＝OF＝EF，AC＝EF，
∴OA＝OC＝OE＝OF＝DF＝BE，
∴与线段BE相等的线段有5条，
故选：B．
4．（3分）如下是嘉淇计算某道题的过程，下列选项中结论不正确的是（ ）
2x+x2﹣2（3x﹣2）
＝2x+x2﹣6x+4•••••第一步
＝x2+2x﹣6x+4•••••第二步
＝x2﹣4x+4•••••••••第三步
＝（x﹣2）2••••••••••第四步
A．第一步用到了去括号法则
B．第二步用到了加法交换律
C．第三步用到了减法结合律
D．第四步用到了完全平方公式
【解答】解：A、第一步用到了去括号法则，故A不符合题意；
B、第二步用到了加法交换律，故B不符合题意；
C、第三步用到了合并同类项，故C符合题意；
D、第四步用到了完全平方公式，故D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列各式的计算结果与 互为倒数的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：＝＝＝，
且的倒数是，
故选：A．
6．（3分）如图是老师给出的一道课堂练习，需要将横线上的内容补充完整：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，若∠BCA＝50°，求∠BAD的度数．
解：由题知，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴★＝∠BCA＝50° （同弧所对的圆周角△），
∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴※＝90° （直径所对的圆周角为直角），
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
嘉淇有以下推测：①★代表的是∠ADB；②△代表的是相等；③※处应填∠ABD；④※处可以填∠BDA，则上述说法中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由题知，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50° （同弧所对的圆周角相等），
∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90° （直径所对的圆周角为直角），
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
所以，上述说法中，正确的是：①②③，有3个，
故选：C．
7．（3分）小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，
∴I＝，
∵当R＝10Ω时，I＝24A，
∴＝24，
∴U＝240（V），
∴I＝，
∴电流I与电阻R成反比例函数关系，
故答案A符合题意，
答案B是一次函数，故不符合题意，
答案C是正比例函数，故不符合题意，
答案D是二次函数，故不符合题意，
故选：A．
8．（3分）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（ ）
A．1米 B．2.25米 C．2米 D．3米
【解答】解：构造几何模型如图：
依题意知DE＝2米，BC＝2+1＝3（米），FG＝1.5米，
由△DAE∽△BAC得，即，
解得AF＝3，
答：灯泡距离桌面3米．
故选：D．
9．（3分）嘉嘉在解方程﹣2x2+3x＝8﹣x时，经过一系列的计算后得到，，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你这一看就不对，这个方程只有一个解．”请你根据以上叙述，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉的解是正确的，因为他认真计算了
B．淇淇说得对，因为b2﹣4ac＝0
C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解
D．由b2﹣4ac＞0可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的
【解答】解：原方程可化为x2﹣2x+4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴原方程无实数根，
故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解，
故选：C．
10．（3分）如图，AB＝AC，∠A＝α，点M，N分别是边AB，AC上一点且MD⊥BC于点D，DN⊥AC于点N，则∠MDN的度数是（ ）
A．90°﹣α B． C．180°﹣2α D．α
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝α，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵MD⊥BC于点D，DN⊥AC于点N，
∴∠BDM＝90°，∠CND＝90°，
∴∠NDC＝90°﹣∠C＝α，
∵∠BDM+∠MDN+∠NDC＝180°，
∴∠MDN＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
故选：B．
11．（2分）2021年是中国共产党成立100周年，河北某中学组织全校学生参加了“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛，为了解全校学生的答题情况，随机抽取了一部分学生，将这部分学生的成绩划分为A：答对7题：B：答对8题；C：答对9题；D：答对10题4个组，并绘制出不完整的统计图如图1，2，则被抽取学生答对题目数量的众数和中位数所在的组分别是（ ）
A．C，C B．C，D C．C，B D．D，B
【解答】解：由扇形统计图可知，被抽取学生答对题目数量中，C组所占的比例最大，故众数是C组；
由题意可知，A组合B组所占百分百之和小于50%，A、B、C三组所占百分百之和大于50%，所以中位数所在的组是C组．
故选：A．
12．（2分）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（ ）
A．向北偏西150°方向航行4海里
B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里
D．向东偏北150°方向航行3海里
【解答】解：根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里，
故选：C．
13．（2分）某品牌选用直径为0.000015米的桑蚕丝进行加工，已知一根丝线需要用到16根桑蚕丝，则这根丝线的直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣5 B．2.4×10﹣6 C．1.5×10﹣6 D．2.4×10﹣4
【解答】解：0.000015×16＝0.00024＝2.4×10﹣4（米）．
故选：D．
14．（2分）如图是由若干个边长为1的小正方体组成的几何体的俯视图，每个小正方形内的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的三视图中的最大面积是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【解答】解：由题意可知，主视图的面积为2+3+4＝9，左视图的面积为2+4+1＝7，俯视图的面积为5，
所以该见何体的三视图中的最大面积是9．
故选：B．
15．（2分）课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【解答】解：设甲将数字3抄成了数字a，
，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞2a﹣7，
∵此不等式组无解，
∴2a﹣7≥2，
解得：a≥4.5，
∴甲将数字3可能抄成了数字5，
故选：D．
16．（2分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E是对角线AC（含端点）上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F，对点E运动的过程中，使EF长度为整数的点
进行探究，有如下结论：
结论1：只存在两个这样的点E；
结论2：EF的长不可能等于4；
结论3：EF的最大长度等于正方形的边长．
以下说法正确的是（ ）
A．只有结论1错误 B．结论1和结论2都错误
C．3个结论都正确 D．只有结论3正确
【解答】解：如图，过点E作 MN⊥CD 分别交AB、CD于点N、M，
∵∠DEF＝90°，
∠FEN+∠DEM＝90°，
∠DEM+∠EDM＝90°，
∴∠FEN＝∠EDM，
∵AC 平分∠DAB，
∴∠EAN＝∠AEN＝45°，
∴AN＝NE，
∵AN＝DM，
∴NE＝DM，
又∵∠ENF＝∠DME＝90°，
∴△DEM≌△EFN，
∴DE＝EF，
∴当DE⊥AC时，DE取得最小值，即EF取得最小值；
当点E与点C重合时，DE取得最大值，即EF取得最大值，最大值为8．
如图，过点D作DG⊥AC于点G，
则 ，
∵，即 ，
∴EF的长度为整数时分别为6，7，8，
∴使EF长度为整数的点E有三个，
∴结论1错误，结论2，3正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空
17．（3分）若2m﹣n+1＝0，则2n+3﹣4m的值为 5 ．
【解答】解：∵2m﹣n+1＝0，
∴2m﹣n＝﹣1，
∴2n+3﹣4m
＝﹣2（2m﹣n）+3
＝﹣2×（﹣1）+3
＝2+3
＝5，
故答案为：5．
18．（4分）如图，将一个正六边形沿直线l绕点C做无滑动滚动一次，使边BC落在直线l上，则四边形OABC的形状是 菱形 ，∠OAB的度数为 60° ．
【解答】解：由滚动的定义可知，OA＝AB＝BC＝CO，
∴四边形ABCO是菱形，
连接OB，
∵OA＝OB＝AB，
∴△AOB是正三角形，
∴∠OAB＝60°，
故答案为：菱形，60°．
19．（4分）已知A，B，C三点的坐标如图所示．
（1）若反比例函数的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点 C ；
（2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是 3≤k＜4或k＝ ．
【解答】解：（1）由坐标系可知，A（1，4），B（2，2），C（3，1），
∵1×4＝2×2≠3×1，
∴反比例函数的图象过点A、B，点C不在反比例函数图象上，
故答案为：C；
（2）设直线AC为y＝kx+b，
代入A、C的坐标得，
解得，
∴直线AC为y＝﹣x+，
令＝﹣x+，整理得3x2﹣11x+2k＝0，
当反比例函数的图象与直线AC有且只有一个公共点时，Δ＝0，
∴（﹣11）2﹣4×3×2k＝0，
解得k＝，
由（1）可知k＝4时，反比例函数图象过A（1，4），B（2，2）两点，k＝3时，反比例函数图象过C点，
∴3≤k＜4时，反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点，
综上，当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是3≤k＜4或k＝．
故答案为：3≤k＜4或k＝．
三、解答题（本大题共7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，在数轴上点A表示的数是﹣6，动点B在数轴上点A的右侧运动．
（1）当点B与点A的距离是10个单位长度时，在数轴上将点B表示出来；
（2）动点B从原点出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动3秒，再向负方向以相同速度运动5秒，此时点B到点A的距离是多少？
【解答】解：（1）设点B表示的数是x，则：x﹣（﹣6）＝10．
解得x＝4．
即点B表示的数是4，表示在数轴上为：
故答案为：4；
（2）∵动点B从原点出发，
∴2×3+（﹣2）×5＝﹣4．
∴|﹣6﹣（﹣4）|＝2．
∴此时点B到点A的距离是2．
21．（9分）某展览馆周内仅上午开放可供游客观展，已知八点钟开馆时进入游客（a+2b）人，中途陆陆续续有的游客离开，又进来若干游客，十一点时馆内共有游客（3a+3b）人．
（1）此时间段内馆内不变的游客有多少人；
（2）求中途进来的游客有多少人；（用含有a，b的式子表示）
（3）当a＝3，b＝9时，中途进来的游客有多少人？
【解答】解：（1）（1﹣）（a+2b）＝（a+2b）人．
故此时间段内馆内不变的游客有（a+2b）人；
（2）（3a+3b）﹣（a+2b）
＝3a+3b﹣a﹣b
＝（a+b）人．
故中途进来的游客有（a+b）人；
（3）当a＝3，b＝9时，
原式＝×3+×9
＝7+15
＝22．
故中途进来的游客有22人．
22．（9分）“演讲比赛”结束后，学校组织所有评委老师、参赛选手及工作人员进行合影留念，若将舞台分为面积相等的9个小三角形区域如图．除阴影区域外，其他区域所有工作人员随机站位．
（1）求场务小李站在A区域的概率；
（2）若场务小李只能站在C，B，G，I这4个小三角形中，选手小张在阴影区域的四个小三角形随机站位，请用列表或画树状图的方法求小李与小张站在两个相邻（有公共边）的小三角形的概率．
【解答】解：（1）场务小李站在A区域的概率为；
（2）列表如下：
D
E
F
H
C
（D，C）
（E，C）
（F，C）
（H，C）
B
（D，B）
（E，B）
（F，B）
（H，B）
G
（D，G）
（E，G）
（F，G）
（H，G）
I
（D，I）
（E，I）
（F，I）
（H，I）
由表知，共有16种等可能结果，其中小李与小张站在两个相邻（有公共边）的小三角形的有4种结果，
所以小李与小张站在两个相邻（有公共边）的小三角形的概率为＝．
23．（9分）随着北京冬奥会的召开，奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到来自全球不同国家和地区人们的欢迎，某工艺品店在取得官方授权后，计划购进一批“冰墩墩”和“雪容融”摆件共60个，已知“冰墩墩”和“雪容融”的进货单价和销售单价如下表：
名称
进货单价
销售单价
“冰墩墩”
140
200
“雪容融”
210
240
设该工艺品店购进“冰墩墩”x个，销售完这60个摆件可获总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若“冰墩墩”的进货数量不超过“雪容融”进货数量的3倍．应如何安排进货，才能使这批摆件销售完获利最大，并求出最大利润；
（3）已知该工艺品店计划对每个摆件的销售单价提价25%后再打折出售，以此来提高销量，在（2）的条件下，要保证工艺品店所得利润不低于（2）中所求的最大利润，那么该工艺品店至多可以打几折？
【解答】解：（1）∵该工艺品店购进“冰墩墩”x个，
∴该工艺品店购进“雪容融”（60﹣x），
由题意得：
y＝（200﹣140）x+（240﹣210）×（60﹣x）＝30x+1800，
∴y与x之间的函数关系式为y＝30x+1800．
（2）由题意得，x≤3（60﹣x），
解得，x≤45，
由（1）知，y＝30x+1800，
∵k＞0，
∴y随的增大而增大，
∴当x＝45时，y由最大值，y最大值＝30×45+1800＝3150，
此时60﹣45＝15，
∴购进“冰墩墩”45个，购进“雪容融”15个时，销售完获利最大，最大利润为3150元．
（3）由（2）得，购进“冰墩墩”45个，购进“雪容融”15个，
设至少打a折，
则对每个摆件的销售单价提价25%后再打折出售的利润为：
y＝（200×1.25•a﹣140）×45+（240×1.25•a﹣210）×15
＝15750a﹣9450，
∵要保证工艺品店所得利润不低于（2）中所求的最大利润，
∴15750a﹣9450≥3150，
解得，a≥0.8，
∴该工艺品店至多可以打8折．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；
（2）当t为何值时，MN与⊙O相切？
（3）若线段MN与⊙O有两个交点．求t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，AM＝2tcm，CN＝3tcm，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝10cm，
∴AN＝AC﹣CN＝（10﹣3t）cm，
∵AB＝6cm，动点M的速度为2cm/s，
∴动点M的最长运动时间为s，
∵AC＝10cm，动点N的速度为3cm/s，
∴动点N的最长运动时间为s，
∴t的取值范围为0＜r≤3；
（2）若MN与⊙O相切，则AB⊥MN，即∠AMN＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AMN＝∠ABC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，
解得t＝，
∴当t＝时，MN与⊙O相切；
（3）由（2）得，当t＞时，直线MN与⊙O有两个交点，
如图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ANM＝90°＝∠B，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴，
即，
解得t＝，
∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为．
25．（10分）如图是一次体操跳台训练的截面示意图，△ABO和线段MN分别为跳板和跳马面．取地面为x轴，跳板AO边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0.15），B（﹣1.5，0），M（0.9，1.35），N（1.25，1.35）．已知一名体操运动员在跳板AB边上的点Q起跳，第一次腾空的路线为抛物线C1：y＝﹣2x²+4mx﹣2m²+2.1，双于撑跳马面MN后第二次腾空的路线为抛物线C2：y＝﹣2（x﹣h）2+k．（m，n为正数，计算结果精确到0.1，≈2.4）
（1）跳马面MN的宽为 0.35 m，求AB所在直线的表达式；
（2）若运动员在距离地面0.1m的点Q处起跳，判断其双手是否会撑在跳马面上；
（3）运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为d，d越大，完成动作的效果越好，若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为（1.1，1.35），直接写出当0≤d≤1.25时，h的取值范围．
【解答】解：（1）∵M（0.9，1.35），N（1.25，1.35），
∴MN＝1.25﹣0.9＝0.35，
故答案为：0.35；
设AB所在直线的表达式为y＝ax+b（a≠0），
把A（0，0.15），B（﹣1.5，0），代入表达式得：，
解得，
∴AB所在直线的表达式为y＝0.1x+0.15；
（2）当y＝0.1时，代入y＝0.1x+0.15，
解得x＝﹣0.5，
∴Q（﹣0.5，0.1），
抛物线C1：y＝﹣2x²+4mx﹣2m²+2.1可化为y＝﹣2（x﹣m）2+2.1，
将Q（﹣0.5，0.1）代入y＝﹣2（x﹣m）2+2.1得0.1＝﹣2（﹣0.5﹣m）2+2.1，
解得m1＝﹣1.5，m2＝0.5，
∵m为正数，
∴m＝0.5，
∴抛物线C1：y＝﹣2x2+2x+1.6，
当y＝1.35时，1.35＝﹣2x2+2x+1.6，
解得x1＝（舍去），x2＝，
∵≈＝1.1，
∵0.9＜1.1＜1.25，
∴双手会撑在跳马面上；
（3）∵C1：y＝﹣2x2+2x+1.6＝﹣2（x﹣）2+2.1，
∴顶点坐标为（，2.1），
∵0≤d≤1.25，
∴C2的顶点纵坐标大于等于2.1小于等于3.35，
∵（1.1，1.35）在C2上，
∴1.35＝﹣2（1.1﹣h）2+k，
当顶点纵坐标为2.1时，则1.35＝﹣2（1.1﹣h）2+2.1，
解得h≈1.7或h≈0.5（舍去）；
当顶点纵坐标为3.35时，则1.35＝﹣2（1.1﹣h）2+3.35，
解得h≈2.1或h≈0.1（舍去）．
∴h的取值范围为1.7≤h≤2.1．
26．（12分）冀教版八年级上册课本146页有这样一道题：你能用一张对边平行的纸条折出一个等腰三角形吗？请你试一试，
如图1，已知矩形纸片ABCD，其中AD＝8，AB＝4，点E是射线BA上一点，连接CE，将矩形纸片沿CE折叠，使点B落在点P的位置，CP交AD于点M．
（1）如图2，当点E与点A重合时，求证：△CME是等腰三角形；
（2）如图3，当点E在BA的延长线上时，设CE交AD于点N，点A落在点Q的位置，是否能折出一个等腰三角形？找出这个三角形，若AE＝2，求出cos∠AMP的值；
（3）在（2）的条件下，求该等腰三角形的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
根据折叠的性质得：AP＝AB＝CD，
∵∠APM＝∠D，∠PMA＝∠DMC，
∴△APM≌△CDM（AAS），
∴AM＝CM，
∴△CME是等腰三角形；
（2）解：能，△CMN是等腰三角形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DNC＝∠BCN，
根据折叠的性质可知：∠NCM＝∠BCN，
∴∠DNC＝∠NCM，
∴MN＝MC，
∴△CMN是等腰三角形；
∵AN∥BC，
∴∠EAN＝∠EBC，∠ENA＝∠ECB，
∴△EAN∽△EBC，
∴＝，
∵AD＝8，AB＝4，4E＝2，
∴＝，
解得AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝，
设MN＝CM＝a，则DM＝﹣a，
在RtACDM中，根据勾股定理得：（﹣a）2+42＝a2，
解得a＝，
∴MN＝CM＝，DM＝，
∴cos∠AMP＝cos∠CMD＝＝；
（3）解：由（2）可知：MN＝，CD＝4，
∴S△CMN＝MN•CD＝×4＝，
∴该等腰三角形的面积为．
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