2021年河北省石家庄市新华区中考数学模拟试卷 （word版 含答案）

这是一份2021年河北省石家庄市新华区中考数学模拟试卷 （word版 含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是（ ）
A．a+b＝0B．|a|＝|b|C．a＝﹣bD．
3．如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测B地的方位角是（ ）
A．南偏东47°B．南偏西43°C．北偏东43°D．北偏西47°
4．用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）B．0.06（精确到百分位）
C．0.061（精确到千分位）D．0.0605（精确到0.0001）
5．如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
6．长江比黄河长836km，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，设长江长度为xkm，则下列方程中正确的是（ ）
A．5x﹣6（x﹣836）＝1284B．6x﹣5（x+836）＝1284
C．6（x+836）﹣5x＝1284D．6（x﹣836）﹣5x＝1284
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC．小丽按照下列方法作图：
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作AC的垂直平分线，交AD于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是△ABC的外心
B．点E是△ABC的内心
C．点E在∠B的平分线上
D．点E到AC、BC边的距离相等
8．某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原点O，其面积为8，反比例函数y＝的图象经过点D，则m的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．180°
11．（2分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2B．k＜2且k≠1C．k≥2D．k≤2且k≠1
12．（2分）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
13．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
14．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，用尺规作图，作∠BAC的平分线交BC于点D，则下列说法中：
①若连接PM，PN，则△AMP≌△ANP；
②∠ADC＝60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△DAC：S△ABC＝1：3．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．（2分）把直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
16．（2分）如图，DE是边长为4的等边△ABC的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿折线AD﹣DE向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿BC向点C运动，当点P到达终点时，点Q同时停止运动．设运动时间为ts，B、D、P、Q四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．如果一个数的倒数是2021，则这个数为 ．
18．x＝﹣1是方程的解，a的值为 ．
19．（6分）如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．
（1）BD的长为 ；
（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为 ；
（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝ ．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，请你帮助嘉琪完成这一过程．
（1）计算：[（9+2）2﹣（9﹣2）2]×（﹣25）÷9；
（2）化简：[（a+2）2﹣（a﹣2）2]×（﹣25）÷a；
（3）请写出嘉琪发现的结论．
21．（8分）某学校为了了解九年级学生的体育成绩，对九年级全体800名学生进行了男生1000米跑（女生800米跑），立定跳远，掷实心球三个项目的测试，每个项目满分10分，共30分．从中抽取了部分学生的成绩进行了统计（统计均为整数），请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，回答下列问题：
（1）这次抽取了 名学生的体育成绩进行统计，其中：m＝ ，n＝ ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）学生成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果23分（包括23分）以上为良好，估测该学校体育成绩良好的学生大约有多少人．
22．（9分）已知：如图，▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：AD＝CF；
（2）嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形”，你是否同意嘉琪的观点，如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b经过第一象限的点A（1，2）和点B（m，n）（m＞1），且mn＝2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，△ABC的面积为2．
（1）求B点的坐标；
（2）求直线l1的函数表达式；
（3）直线l2：y＝ax经过线段AB上一点P（P不与A、B重合），求a的取值范围．
24．（10分）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当α＝90°时，求证：BH是⊙O的切线；
（2）当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；
（3）当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．
25．（10分）某商店试销一种成本为10元/件的工艺品，设售价为x（元/件），每天销量为y（件）．经市场调查得知：y与（x﹣70）成正比例，且当x＝20时，y＝500．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）物价部门规定，该工艺品售价最高不能超过35元/件，那么售价定为多少时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大？
26．（12分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC﹣CB﹣BA方向绕行△ABC一周，动直线l从AC开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交AB、BC于D、E两点．当点P运动到点A时，直线l也停止运动．
（1）求点P到AB的最大距离；
（2）当点P在AC上运动时，
①求tan∠PDE的值；
②把△PDE绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点P′落在ED上时，ED的对应线段ED′恰好与AB垂直，求此时t的值．
（3）当点P关于直线DE的对称点为F时，四边形PEFD能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．
2021年河北省石家庄市新华区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；
【解答】解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2＝180°；故本选项错误；
B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
2．如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是（ ）
A．a+b＝0B．|a|＝|b|C．a＝﹣bD．
【分析】互为相反数的性质：两数互为相反数，它们的和为0．
【解答】解：由相反数的性质知：a+b＝0，a＝﹣b，A、C正确；
由于相反数是一对符号相反，但绝对值相等的数，所以|a|＝|b|，B正确．
故选：D．
3．如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测B地的方位角是（ ）
A．南偏东47°B．南偏西43°C．北偏东43°D．北偏西47°
【分析】根据方向角的概念和平行线的性质求解，即可得出从C地测B地的方位角．
【解答】解：∵AF∥DE，
∴∠ABE＝∠FAB＝43°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝47°，
∵BD∥CG，
∴∠BCG＝47°，
∴从C地测B地的方位角是南偏东47°．
故选：A．
4．用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）B．0.06（精确到百分位）
C．0.061（精确到千分位）D．0.0605（精确到0.0001）
【分析】取近似数的时候，即精确到哪一位，只需对下一位的数字四舍五入．即可得出结论．
【解答】解：A．0.06045精确到0.1为0.1，此选项正确，不符合题意；
B．0.06045精确到百分位为0.06，此选项正确，不符合题意；
C．0.06045精确到千分位为0.060，此选项错误，符合题意；
D．0.06045精确到0.0001为0.0605，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
5．如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，进而得出答案．
【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此几何体如图所示：．
故选：B．
6．长江比黄河长836km，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，设长江长度为xkm，则下列方程中正确的是（ ）
A．5x﹣6（x﹣836）＝1284B．6x﹣5（x+836）＝1284
C．6（x+836）﹣5x＝1284D．6（x﹣836）﹣5x＝1284
【分析】根据长江比黄河长836km，设长江长度为xkm，即可得到黄河的长度为（x﹣834）km，再根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
6（x﹣836）﹣5x＝1284，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC．小丽按照下列方法作图：
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作AC的垂直平分线，交AD于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是△ABC的外心
B．点E是△ABC的内心
C．点E在∠B的平分线上
D．点E到AC、BC边的距离相等
【分析】根据三角形外心的定义判断即可．
【解答】解：如图，由作图可知，点E是△ABC的三边的垂直平分线的交点，是△ABC的外心．
故选：A．
8．某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，
所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为＝，
故选：B．
9．如图，矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原点O，其面积为8，反比例函数y＝的图象经过点D，则m的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形OCAD的面积是8，设D（x，y），根据4xy＝8，可得xy＝2，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．
【解答】解：∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，∴矩形OCAD的面积是8，
设D（x，y），则4xy＝8，
xy＝2，
反比例函数的解析式为y＝，
∴m＝2．
故选：A．
10．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．180°
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故选：D．
11．（2分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2B．k＜2且k≠1C．k≥2D．k≤2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△＝22﹣4（k﹣1）＜0，然后求出两个不等式解的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△＝22﹣4（k﹣1）＜0，
解得k＞2．
故选：A．
12．（2分）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】连接BD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再证，然后由圆周角定理求解即可．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵C为半圆的中点，
∴，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝45°，
故选：B．
13．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
【分析】由“对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），代入抛物线方程即可解得．
【解答】解：因为对称轴是x＝1且经过点P（3，0）
所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）
代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝0．
故选：A．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，用尺规作图，作∠BAC的平分线交BC于点D，则下列说法中：
①若连接PM，PN，则△AMP≌△ANP；
②∠ADC＝60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△DAC：S△ABC＝1：3．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据作法得到AM＝AN，MP＝NP，则可根据”SSS“对①进行判断；利用△AMP≌△ANP得到∠DAC＝∠DAB＝30°，利用互余可计算出∠ADC的度数，则可对②进行判断；
证明∠BAD＝∠B得到DA＝DB，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；根据含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2CD，则BC＝3CD，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
【解答】解：由作法得AM＝AN，MP＝NP，
而AP为公共边，
∴△AMP≌△ANP（SSS）；所以①正确；
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠B，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的中垂线上；所以③正确；
在Rt△ACD中，AD＝2CD，
而AD＝BD，
∴BC＝3CD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3．所以④正确．
故选：D．
15．（2分）把直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【分析】直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，求出直线y＝﹣x﹣3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
∵交点在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜7．
m取整数有5个解．
故选：D．
16．（2分）如图，DE是边长为4的等边△ABC的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿折线AD﹣DE向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿BC向点C运动，当点P到达终点时，点Q同时停止运动．设运动时间为ts，B、D、P、Q四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，点P在AD上，根据三角形的面积公式可知△BPQ的面积S＝BQ•BP•sin∠B，代入数据求出S与t之间的函数解析式；②当2＜t≤4时，点P在DE上，根据图形的面积公式可知梯形BDPQ的面积S＝（DP+BQ）•BD•sin∠B，代入数据求出S与t之间的函数解析式，从而判断出函数图象而得解．
【解答】解：∵DE是边长为4的等边△ABC的中位线，
∴AD＝DB＝DE＝2，AB＝4，∠B＝60°．
分两种情况：①当0＜t≤2时，点P在AD上，
∵AP＝BQ＝t，
∴BP＝AB﹣AP＝4﹣t，
∴△BPQ的面积S＝BQ•BP•sin∠B＝•（4﹣t）•＝，
②当2＜t≤4时，点P在DE上，
∵DP＝t﹣2，BQ＝t，
∴梯形BDPQ的面积＝（DP+BQ）•BD•sin∠B＝（t﹣2+t）×2×，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选：C．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．如果一个数的倒数是2021，则这个数为 ．
【分析】根据倒数的定义，直接得出结果．
【解答】解：∵2021×＝1，
∴2021的倒数是，
∴这个数是．
故答案为：．
18．x＝﹣1是方程的解，a的值为 ﹣5 ．
【分析】将x＝﹣1代入原方程即可求出a的值．
【解答】解：将x＝﹣1代入原方程，得，，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
19．（6分）如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．
（1）BD的长为 3 ；
（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为 PD＝QD ；
（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝ 18 ．
【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论；
（2）当BD平分∠PBQ时，证明△ABP≌△CBQ和△QBD≌△PBD，可得结论；
（3）当BD不平分∠PBQ时，证明△BQD∽△PBD，列比例式可得结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，∠A＝90°，
∴BD＝＝＝3，
故答案为：3；
（2）解：当BD平分∠PBQ时，
∵∠PBQ＝45°，
∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
在△QBD和△PBD中，
，
∴△QBD≌△PBD（SAS），
∴PD＝QD，
故答案为：PD＝QD；
（3）当BD不平分∠PBQ时，
∵AB∥CQ，
∴∠ABQ＝∠CQB，
∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°，
∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，
∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°，
∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°，
∴∠BDQ＝∠BDP，
∴△BQD∽△PBD，
∴，
∴PD•QD＝BD2＝32+32＝18，
故答案为：18．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，请你帮助嘉琪完成这一过程．
（1）计算：[（9+2）2﹣（9﹣2）2]×（﹣25）÷9；
（2）化简：[（a+2）2﹣（a﹣2）2]×（﹣25）÷a；
（3）请写出嘉琪发现的结论．
【分析】（1）根据平方差公式以及有理数的混合运算顺序计算即可；
（2）根据平方差公式化简计算即可；
（3）结合（1）（2）的结果看得结论．
【解答】解：（1）原式＝（112﹣72）×（﹣25）÷9
＝（11﹣7）（11+7）×（﹣25）÷9
＝4×18×（﹣25）÷9
＝﹣200；
（2）原式＝[（a+2）﹣（a﹣2）][（a+2）+（a﹣2）]×（﹣25）÷a
＝4×2a×（﹣25）÷a
＝﹣200；
（3）无论a取什么值，[（a+2）2﹣（a﹣2）2]×（﹣25）÷a均等于﹣200．
21．（8分）某学校为了了解九年级学生的体育成绩，对九年级全体800名学生进行了男生1000米跑（女生800米跑），立定跳远，掷实心球三个项目的测试，每个项目满分10分，共30分．从中抽取了部分学生的成绩进行了统计（统计均为整数），请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，回答下列问题：
（1）这次抽取了 50 名学生的体育成绩进行统计，其中：m＝ 23 ，n＝ 0.3 ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）学生成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果23分（包括23分）以上为良好，估测该学校体育成绩良好的学生大约有多少人．
【分析】（1）由于10.5～14.5这一小组的频数为1，频率为0.02，由此求出样本总数，即样本容量，则m＝样本容量×0.46，n＝15÷样本容量；
（2）根据（1）中所求是数据可补全频数分布直方图；
（3）根据样本容量和各个小组的人数可以确定样本成绩的中位数落在哪一小组内；
（4）首先确定样本中23分（包括23分）以上的频率，然后利用样本估计总体的思想即可估计该校体育成绩良好的学生约有多少人．
【解答】解：（1）这次抽取的学生总数为：1÷0.02＝50，
m＝50×0.46＝23，n＝15÷50＝0.3；
（2）如图：
（3）∵各小组的频数分别为：1、5、6、23、15，
而中位数是50个成绩从小到大排列后第25个数据和第26个数据的平均数，
∴中位数落在第四小组即22.5～26.5这一小组内；
（4）800×（0.46+0.3）＝608（人），
答：该学校体育成绩良好的学生大约有608人．
故答案为50，23，0.3．
22．（9分）已知：如图，▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：AD＝CF；
（2）嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形”，你是否同意嘉琪的观点，如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出AD＝CF即可；
（2）根据矩形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵E为DC的中点，
∴ED＝EC．
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF．
（2）答：同意．
当DC＝AF时，四边形ACFD是矩形．
理由如下：
∵AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形．
∵DC＝AF，
∴四边形ACFD是矩形．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b经过第一象限的点A（1，2）和点B（m，n）（m＞1），且mn＝2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，△ABC的面积为2．
（1）求B点的坐标；
（2）求直线l1的函数表达式；
（3）直线l2：y＝ax经过线段AB上一点P（P不与A、B重合），求a的取值范围．
【分析】（1）根据A、B点坐标可得BC＝m，BC上的高为h＝2﹣n，再根据△ABC的面积为2可算出m的值，进而得到n的值，然后可得B点坐标；
（2）把A、B两点坐标代入y＝kx+b，再解方程组可得b、k的值，进而得到函数表达式；
（3）将A（1，2）B（3，）分别代入y＝ax求出a的值，即可得到a的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（1，2），B（m，n）（m＞1），
∴△ABC中，BC＝m，BC上的高为h＝2﹣n，
∴S△ABC＝m（2﹣n）＝m（2﹣）＝m﹣1＝2，
∴m＝3，
∴n＝，
∴B点的坐标（3，）；
（2）∵直线l1经过A、B两点，
∴，
解得，
∴直线l1的函数表达式为y＝﹣x+；
（3）∵将A（1，2）代入y＝ax得：2＝a，
∴a＝2，
∵将B（3，）代入＝3a，
∴a＝，
∴a的取值范围是＜a＜2．
24．（10分）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当α＝90°时，求证：BH是⊙O的切线；
（2）当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；
（3）当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．
【分析】（1）根据题意易证△AOP≌△BOH，所以∠OPA＝∠OHB，又∠OPA＝90°，进而即可证明结论；
（2）过点B作⊙O的切线BC，BD，然后分情况讨论，当点H与点C重合时或当点H与点D重合时，即可得出答案；
（3）当H与AB的距离最大时，△AHB面积最大，进而可以求得答案．
【解答】解：（1）证明：∵α＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOP＝∠BOH，
又OA＝OB＝4，OP＝OH，
在△AOP和△BOH中，
，
∴△AOP≌△BOH（SAS），
∴∠OPA＝∠OHB，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OPA＝90°，∠OHB＝90°，
即OH⊥BH于点H，
∴BH是⊙O的切线；
（2）如图，过点B作⊙O的切线BC，BD，
切点分别为C，D，连接OC，OD，则有OC⊥BC，OD⊥BD，
∵OC＝2，OB＝4，
∴，
∴∠BOC＝60°，
同理∠BOD＝60°，
当点H与点C重合时，由（1）知：α＝90°，
∴∠OHB＝90°．
∵圆弧PH的长为；
当点H与点D重合时，α＝∠POC+∠BOC+∠BOD＝90°+2×60°＝210°，
∴圆弧PH的长为，
∴当BH与⊙O相切时，旋转角α＝90°或210°，点H运动路径的长为π或；
（3）S△AHB＝AB•h，
h表示点H到直线AB的距离，作ON⊥AB于点N，H在圆O上，
在Rt△ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，
∴ON＝4cs45°＝2，
∴hmin＝ON﹣r＝2，
hmax＝2+2，
∴当△AHB面积最大时，点H到AB的距离为2．
25．（10分）某商店试销一种成本为10元/件的工艺品，设售价为x（元/件），每天销量为y（件）．经市场调查得知：y与（x﹣70）成正比例，且当x＝20时，y＝500．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）物价部门规定，该工艺品售价最高不能超过35元/件，那么售价定为多少时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大？
【分析】（1）设y＝k（x﹣70），将x＝20，y＝500代入y＝k（x﹣70），即可得到结论；
（2）设商店试销该工艺品每天获得的利润为W（元），根据题意得到W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+700），配方法求得W＝﹣10（x﹣40）2+9000，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设y＝k（x﹣70），
∵当x＝20时，y＝500，
∴500＝k（20﹣70），
∴k＝﹣10，
∴y＝﹣10（x﹣70），
即y＝﹣10x+700；
（2）设商店试销该工艺品每天获得的利润为W（元），
则W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+700），
即W＝﹣10x2+800x﹣7000，
∴W＝﹣10（x﹣40）2+9000，
∴当x＝40元/件时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；
（3）∵W＝﹣10（x﹣40）2+9000，且﹣10＜0，
∴当x＜40时，W随x的增大而增大，
又∵x≤35，
∴当x＝35元/件时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大．
26．（12分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC﹣CB﹣BA方向绕行△ABC一周，动直线l从AC开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交AB、BC于D、E两点．当点P运动到点A时，直线l也停止运动．
（1）求点P到AB的最大距离；
（2）当点P在AC上运动时，
①求tan∠PDE的值；
②把△PDE绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点P′落在ED上时，ED的对应线段ED′恰好与AB垂直，求此时t的值．
（3）当点P关于直线DE的对称点为F时，四边形PEFD能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）当点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，由三角形面积求解即可；
（2）①当点P在AC上运动时，设运动时间为ts，则有AP＝3t，CE＝t，由平行线的性质得∠PDE＝∠APD，过点D作DG⊥AC于点G，则四边形CEDG是矩形，得DG＝CE＝t，PG＝AP﹣AG＝3t﹣AG，再由锐角三角函数定义求出PG＝t，即可求解；
②证出∠BED'＝∠A，∠CEP＝∠BED'，再证△CEP∽△CAB，得，即可求解；
（3）当PF也垂直平分DE时，四边形PEFD为菱形．证△DBE∽△ABC，得＝，求出，再分情况讨论即可．
【解答】解：（1）当点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，
设Rt△ABC斜边AB上的高h，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝AB•h＝AC•BC，
∴h＝＝＝，
即点P到AB的最大距离是；
（2）①当点P在AC上运动时，
设运动时间为ts，则有AP＝3t，CE＝t，
∵直线l∥AC，
∴∠PDE＝∠APD，
如图1，过点D作DG⊥AC于点G，则四边形CEDG是矩形，
∴DG＝CE＝t，PG＝AP﹣AG＝3t﹣AG，
∵tanA＝＝，
∴＝，
∴AG＝t，
∴PG＝3t﹣t＝t，
∴，
即；
②∵ED'⊥AB，
∴∠BED'+∠B＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠BED'＝∠A，
∵直线l∥AC，
∴直线l⊥BC，
∴∠CEP+∠PED＝90°，∠P'ED'+∠BED'＝90°，
由旋转的性质，得：∠PED＝∠P'ED'，
∴∠CEP＝∠BED'，
∴∠CEP＝∠A，
又∵∠ECP＝∠ACB，
∴△CEP∽△CAB，
∴，
即，
解得：；
（3）四边形PEFD能成为菱形，理由如下：
∵点F是点P关于直线DE的对称点，
∴DE垂直平分PF，
∴当PF也垂直平分DE时，四边形PEFD为菱形．
∵直线l∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴＝，
即，
∴，
①当点P在AC上时，连接PF，如图2所示：
若PF垂直平分DE，则有DE＝3﹣3t，
∴（4﹣t）＝3﹣3t，
解得：；
②当点P在BC上时，P、F、E三点都在x轴上，构不成四边形；
③当点P在BA上时，
若点P在直线l的右侧，连接PF，如图3所示：
类比①可得：，
解得：；
若点P在直线l的左侧，P、E、F、D四点构不成凸四边形；
综上所述，当t为或时，四边形PEFD为菱形．
分数段
频数
频率
10.5～14.5
1
0.02
14.5～18.5
5
0.1
18.5～22.5
6
0.12
22.5～26.5
m
0.46
26.5～30.5
15
n
分数段
频数
频率
10.5～14.5
1
0.02
14.5～18.5
5
0.1
18.5～22.5
6
0.12
22.5～26.5
m
0.46
26.5～30.5
15
n