试卷 2021年河北省九市中考数学模拟试卷（一）

这是一份试卷 2021年河北省九市中考数学模拟试卷（一），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠5B．x＞2且x≠5C．x≥2D．x≥2且x≠5
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9B．3x2+2x2＝5x2
C．（x2）3＝x5D．（x+y）2＝x2+y2
4．（3分）若一组数据1，2，x，4的平均数是2，则这组数据的众数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）如图①，该几何体是由5个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A两次平移后（如图②），所得几何体的视图（ ）
A．主视图改变，俯视图改变
B．主视图不变，俯视图不变
C．主视图改变，俯视图不变
D．主视图不变，俯视图改变
6．（3分）若a为正整数，则＝（ ）
A．a2aB．2aaC．aaD．a
7．（3分）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
8．（3分）如图，已知：直线AB和AB外一点C，用尺规作AB的垂线，使它经过点C．步骤如下：（1）任意取一点K．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，以a长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF，直线CF就是所求作的垂线．下列正确的是（ ）
A．对点K，a长无要求
B．点K与点C在AB同侧，a≥DE
C．点K与点C在AB异侧，a＞DE
D．点K与点C在AB同侧，a＜DE
9．（3分）如图，甲、乙两人同时从点O出发，并以相同的速度行走，其中甲沿北偏西20°方向行走，乙沿南偏西70°方向行走，行驶中乙始终在甲的（ ）
A．南偏西30°方向上B．南偏西35°方向上
C．南偏西25°方向上D．南偏西20°方向上
10．（3分）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
11．（2分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣9秒B．15×10﹣9秒C．1.5×10﹣8秒D．15×10﹣8秒
12．（2分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
13．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
14．（2分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1
15．（2分）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（ ）
A．4B．2C．2D．4
16．（2分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4；
④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
二、填空题（本大题有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题共有4个空，每空2分）
17．（3分）因式分解：x2y﹣9y＝ ．
18．（2分）如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝30m．若斜面AB坡度为1：，则斜坡AB的长是 m．
19．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90°的弧组成的．其中的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则＝ ，的长是 ，的长是 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（8分）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝ ；
（2）当min时，求x的取值范围．
21．（9分）把正整数1，2…排列成如下一个数表：
（1）30在第 行第 列；
（2）第n行第2列的数是 ；
（3）嘉嘉和琪琪玩游戏，嘉嘉说：“从数表中挑一个数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为嘉嘉说的有道理吗？请说明理由．
22．（9分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是 ；众数是 ；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是 ；
（4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
23．（9分）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
24．（9分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
25．（11分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
26．（12分）如图，点B，C均在数轴上，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝．点Q在数轴上，以点Q为圆心、3为半径画圆，交数轴于E，F两点，⊙Q从当前位置向左平移．
（1）当⊙Q与△ABC的边相切时，点Q到原点的距离是 ．
（2）当⊙Q与线段AC相交时，设线段AC与⊙Q交于点D，连接ED．
①当QC＝1时，求ED的长；
②当ED＝3时，求劣弧ED的长度．
2021年河北省九市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．
D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；
故选：C．
2．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠5B．x＞2且x≠5C．x≥2D．x≥2且x≠5
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得x﹣2≥0且x﹣5≠0，
解得x≥2且x≠5．
故选：D．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9B．3x2+2x2＝5x2
C．（x2）3＝x5D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵x3•x3＝x6，故选项A错误；
∵3x2+2x2＝5x2，故选项B正确；
∵（x2）3＝x6，故选项C错误；
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，故选项D错误；
故选：B．
4．（3分）若一组数据1，2，x，4的平均数是2，则这组数据的众数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
【解答】解：∵数据1，2，x，4的平均数是2，
∴（1+2+x+4）÷4＝2，
解得：x＝1，
∴这组数据是1，2，1，4，
∴这组数据的众数为1；
故选：A．
5．（3分）如图①，该几何体是由5个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A两次平移后（如图②），所得几何体的视图（ ）
A．主视图改变，俯视图改变
B．主视图不变，俯视图不变
C．主视图改变，俯视图不变
D．主视图不变，俯视图改变
【分析】找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图和俯视图中．
【解答】解：观察可发现，题图①和图②的从正面看到的形状图没有变化都如图（1）所示，
而从上面看到的形状图发生改变，图①的从上面看到的形状图如图（2）所示，
图②的从上面看到的形状图如图（3）所示．
故选：D．
6．（3分）若a为正整数，则＝（ ）
A．a2aB．2aaC．aaD．a
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此计算即可．
【解答】解：∵，
∴＝a2a．
故选：A．
7．（3分）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
【分析】根据题意可得行走路线是正五边形，再根据正五边形的每个外角等于72度即可判断．
【解答】解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，
∴＝72°，
∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．
故选：A．
8．（3分）如图，已知：直线AB和AB外一点C，用尺规作AB的垂线，使它经过点C．步骤如下：（1）任意取一点K．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，以a长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF，直线CF就是所求作的垂线．下列正确的是（ ）
A．对点K，a长无要求
B．点K与点C在AB同侧，a≥DE
C．点K与点C在AB异侧，a＞DE
D．点K与点C在AB同侧，a＜DE
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，判断即可．
【解答】解：由作图可知，点K与点C在AB异侧，a＞DE，
故选：C．
9．（3分）如图，甲、乙两人同时从点O出发，并以相同的速度行走，其中甲沿北偏西20°方向行走，乙沿南偏西70°方向行走，行驶中乙始终在甲的（ ）
A．南偏西30°方向上B．南偏西35°方向上
C．南偏西25°方向上D．南偏西20°方向上
【分析】根据方向角的定义和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：由题意得，∠1＝20°，∠2＝70°，AO＝BO，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠3＝∠1＝20°，
∴∠4＝25°，
∴乙始终在甲的南偏西25°方向上，
故选：C．
10．（3分）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
【分析】根据题意和表格中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
甲队每天修路：160﹣140＝20（米），故选项A正确；
乙队第一天修路：35﹣20＝15（米），故选项B正确；
乙队技术改进后每天修路：215﹣160﹣20＝35（米），故选项C正确；
前7天，甲队修路：20×7＝140米，乙队修路：270﹣140＝130米，故选项D错误；
故选：D．
11．（2分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣9秒B．15×10﹣9秒C．1.5×10﹣8秒D．15×10﹣8秒
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：所用时间＝15×0.000 000 001＝1.5×10﹣8．
故选：C．
12．（2分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：C．
13．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
14．（2分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1
【分析】结合图象，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，
∴不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：D．
15．（2分）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（ ）
A．4B．2C．2D．4
【分析】过点B作BH⊥CD的延长线于点H．由点D为△ABC的内心，∠A＝60°，得∠BDC＝120°，则∠BDH＝60°，由BD＝4，求得BH，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，
则∠BDH＝60°，
∵BD＝4，
∴DH＝2，BH＝2，
∵CD＝2，
∴△DBC的面积＝CD•BH＝＝2，
故选：B．
16．（2分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4；
④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【分析】根据与y2＝（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1＝a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
【解答】解：①∵抛物线y2＝（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3得，3＝a（1+2）2﹣3，解得a＝，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3解析式为y1＝（x+2）2﹣3，当x＝0时，y1＝（0+2）2﹣3＝﹣，y2＝（0﹣3）2+1＝，故y2﹣y1＝+＝，故本结论错误；
④∵物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x＝﹣2，y2的对称轴为x＝3，
∴B（﹣5，3），C（5，3）
∴AB＝6，AC＝4，
∴2AB＝3AC，故本结论正确．
故选：D．
二、填空题（本大题有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题共有4个空，每空2分）
17．（3分）因式分解：x2y﹣9y＝ y（x+3）（x﹣3） ．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x2y﹣9y，
＝y（x2﹣9），
＝y（x+3）（x﹣3）．
18．（2分）如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝30m．若斜面AB坡度为1：，则斜坡AB的长是 30 m．
【分析】根据三角函数的定义得到∠ABF＝30°，根据已知条件得到∠HPB＝30°，∠APB＝45°，求得∠HBP＝60°，进一步求得∠PBA＝90°，∠APB＝∠BAP＝45°，即可得到AB＝PB＝30m．
【解答】解：∵斜面坡度为1：，
∴tan∠ABF＝＝＝，
∴∠ABF＝30°，
∵在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，
∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，
∴∠HBP＝60°，
∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，
∴∠APB＝∠BAP，
∴AB＝PB＝30（m），
故答案为：30．
19．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90°的弧组成的．其中的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则＝ π ，的长是 3π ，的长是 4039π ．
【分析】曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，再计算弧长．
【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，
故的长＝＝π，的长＝＝3π，的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长＝×8078π＝4039π．
故答案为：π，3π，4039π．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（8分）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝ ﹣1 ；
（2）当min时，求x的取值范围．
【分析】（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出，解不等式即可判断x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：
3（2x﹣3）≥2（x+2）
6x﹣9≥2x+4
4x≥13
x≥，
∴x的取值范围为x≥．
21．（9分）把正整数1，2…排列成如下一个数表：
（1）30在第 6 行第 5 列；
（2）第n行第2列的数是 5n﹣3 ；
（3）嘉嘉和琪琪玩游戏，嘉嘉说：“从数表中挑一个数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为嘉嘉说的有道理吗？请说明理由．
【分析】（1）根据每一行有5个数，可得30所在的行数和列数；
（2）根据第二列的数：2，7，12，17……，找到规律即可；
（3）分两种情况b＝0和b≠0时，进行分析可得结论．
【解答】解：（1）因为每行有5个数，30÷5＝6，
所以30在第6行第5列．
故答案为：6，5；
（2）因为第二列的数：2，7，12，17……，
所以第n行第2列的数是5n﹣3．
故答案为：5n﹣3；
（3）嘉嘉说的没有道理：
若x÷5的商为a，余数为b．
当b＝0时，则为第a行，第5列；
当b≠0时，则为第（a+1）行，第b列．
22．（9分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是 75 ；众数是 76 ；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是 ；
（4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）利用样本估计总体的方法即可估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）直接利用概率公式计算；
（4）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他俩第二次选课相同的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）在72，73，74，75，76，76，79这组已经按从小到大排列好的数据中，中位数为75，众数为76；
故答案为：75，76；
（2）观察直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x＜90范围内的有9人，所占比为，
那么估计该年级100名学生，学生成绩在80≤x＜90范围内，选取A课程的总人数为（人）；
（3）因为学校开设了四门校本课程供学生选择，小乔随机选取一门课程，则他选中课程D的概率为；
故答案为：；
（4）因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下：
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
所以，他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是．
23．（9分）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解答】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
24．（9分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．
25．（11分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝kx2+m，即可求解；
（2）根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
∴OH＝AB＝3，
∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，
∴E（0，1），D（2，0），
∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，
把点D（2，0）代入，得k＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∴当x＝1时，y＝，
∴N（1，），
∴MN＝，
∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，
∴每个B型活动板房的成本是：
425+×50＝500（元）．
答：每个B型活动板房的成本是500元；
（3）根据题意，得
w＝（n﹣500）[100+]
＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100+≤160，
解得n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．
26．（12分）如图，点B，C均在数轴上，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝．点Q在数轴上，以点Q为圆心、3为半径画圆，交数轴于E，F两点，⊙Q从当前位置向左平移．
（1）当⊙Q与△ABC的边相切时，点Q到原点的距离是 或8或2 ．
（2）当⊙Q与线段AC相交时，设线段AC与⊙Q交于点D，连接ED．
①当QC＝1时，求ED的长；
②当ED＝3时，求劣弧ED的长度．
【分析】（1）当⊙Q与AB边相切时，tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，则BQ＝＝＝，进而求解；当⊙Q与AC相切时，同理可解；
（2）证明△DCE∽△QKE，则，进而求解；
（3）在Rt△DEF中，sin∠DFE＝，则∠DFE＝60°，则∠DQE＝120°，进而求解．
【解答】解：（1）当⊙Q与AB边相切时，如图1，
设切点为H，连接QH，则HQ＝3，
∵tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，
则BQ＝＝＝，
则Q到原点的距离为+2＝；
当⊙Q与AC在AC的右侧相切时，则CQ＝3，则Q到原点的距离为5+3＝8，
同样当⊙Q与AC在AC的左侧相切时，则CQ＝3，则Q到原点的距离为5﹣3＝2，
故答案为或8或2；
（2）如图2，过点Q作QK⊥ED，则EK＝DK＝DE，
当点Q在点C的右侧时（左图），
设CD交QK于点H，
∵∠HQC+∠CHQ＝90°＝∠DHK+∠KDH，∠DHK＝∠QHC，
∴△DCE∽△QKE，则，即，解得DE＝2（负值已舍去）；
当点Q在点C的右侧时（右图），
同理可得：DE＝2，
综上，DE＝2或2；
（3）如图3，连接DF、DQ，则△DEF为直角三角形，
在Rt△DEF中，sin∠DFE＝，则∠DFE＝60°，
∴∠DQE＝120°，
则劣弧ED的长度＝×2πr＝×2π×3＝2π．
施工时间/天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
累计完成施工量/米
35
70
105
140
160
215
270
325
380
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
2
3
4
5
第2行
6
7
8
9
10
第3行
11
12
13
14
15
第4行
16
17
18
19
20
…
…
…
…
…
…
施工时间/天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
累计完成施工量/米
35
70
105
140
160
215
270
325
380
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
2
3
4
5
第2行
6
7
8
9
10
第3行
11
12
13
14
15
第4行
16
17
18
19
20
…
…
…
…
…
…