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2021年河北省石家庄部分学校联考中考数学模拟试卷
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这是一份2021年河北省石家庄部分学校联考中考数学模拟试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省石家庄部分学校联考中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）平面内过直线l外一点O作直线l的垂线能作出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．（3分）比1小2的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．|﹣2|
3．（3分）在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示﹣的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
4．（3分）如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，不改变的是（ ）
A．主视图 B．主视图和左视图
C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图
5．（3分）＝（ ）
A． B． C．9m D．81
6．（3分）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米，用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．2×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
8．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．若2x＝1，则x＝2
B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1
C．若﹣2x＝3，则
D．若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（ ）
A．BE＝DF
B．AE∥CF
C．AF＝AE
D．四边形AECF为平行四边形
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），
11．（2分）如图，是反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B，点P在x轴上．则点P从左到右的运动过程中，△APB的面积是（ ）
A．10 B．4
C．5 D．从小变大再变小
12．（2分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（ ）
A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里
13．（2分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．＝ B．
C．＝﹣40 D．＝
14．（2分）一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
15．（2分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC所对的弧长为（ ）
A． B． C．或 D．或
16．（2分）对于题目：在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C，若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与线段BC有唯一公共点，求a的取值范围．甲的计算结果是a≥；乙的计算结果是a＜﹣，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲与乙的结果合在一起正确
D．甲与乙的结果合在一起也不正确
二、填空题（本大题有3个小题，共12分，17-18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）分解因式：2x2﹣8＝ ．
18．（3分）如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 ．
19．（6分）三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：
（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；
（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）利用平方差公式可以进行简便计算：
例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；
例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．
请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：
（1）；
（2）（2019+2019）（﹣）．
21．（9分）对于四个整式，A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n．无论x取何值，B+C+D的值都为0．
（1）求m、n的值；
（2）计算A﹣B+C﹣D；
（3）若的值是正数，直接写出x的取值范围．
22．（8分）在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、2、3．
（1）若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字2的小球的概率；
（2）小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x．小红再从剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，点Q坐标记作（x，y）．规定：若点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上则小明胜；若点Q在反比例函数y＝图象上，则小红胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？
23．（9分）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系是 ．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．
24．（10分）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
售价x
8
10
销售数量P
70
58
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
25．（10分）如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y＝x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（ ， ），D点坐标为（ ， ）；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．
（提示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）
26．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，∠BAD＝60°，BC＝4cm，对角线AC平分∠BAD．点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为1cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cm/s．设点P，Q同时出发，移动时间为ts（0≤t≤6）．连接PQ，以PQ为直径作⊙O．
（1）求DC的长．
（2）当t为何值时，⊙O与AC相切？
（3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？
（4）当t为 时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为 ．（直接写出结果）
2021年河北省石家庄部分学校联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）平面内过直线l外一点O作直线l的垂线能作出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．
【解答】解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线．
故选：B．
2．（3分）比1小2的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．|﹣2|
【分析】根据题意列出算式，再根据有理数的减法法则计算即可，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解：1﹣2＝1+（﹣2）＝﹣1，
所以比1小2的数是﹣1．
故选：C．
3．（3分）在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示﹣的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【分析】分别利用已知数据的平方得出最接近的数据即可得出答案．
【解答】解：∵32＝9，3.12＝9.61，3.22＝10.24，
∴﹣的点落在第③段内．
故选：C．
4．（3分）如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，不改变的是（ ）
A．主视图 B．主视图和左视图
C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层都是三个小正方形，图①中第二层右边一个小正方形，图②中第二层中间一个小正方形，中①②的主视图不相同；
从左面看第一层都是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，①②的左视图相同；
从上面看第一列都是一个小正方形，第二列都是一个小正方形，第三列都是三个小正方形，故①②的俯视图相同．
故选：D．
5．（3分）＝（ ）
A． B． C．9m D．81
【分析】根据有理数的乘方的定义计算即可．
【解答】解：原式＝．
故选：B．
6．（3分）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
7．（3分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米，用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．2×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：＝0.000005＝5×10﹣6．
故选：D．
8．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．若2x＝1，则x＝2
B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1
C．若﹣2x＝3，则
D．若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1
【分析】根据等式的性质即可解决．
【解答】解：A、若2x＝1，则x＝，原变形错误，故这个选项不符合题意；
B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，原变形错误，故这个选项不符合题意；
C、若﹣2x＝3，则x＝﹣，原变形正确，故这个选项符合题意；
D、若﹣＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形错误，故这个选项不符合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（ ）
A．BE＝DF
B．AE∥CF
C．AF＝AE
D．四边形AECF为平行四边形
【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使AE＝CF的条件．
【解答】解：A、在▱ABCD中，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故A可以使AE＝CF，不符合题意；
B、∵AE∥CF，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故B可以使AE＝CF，不符合题意；
C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF，
故C符合题意；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故D可以使AE＝CF，不符合题意；
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比．
【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），
k的值为：＝．
故选：B．
11．（2分）如图，是反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B，点P在x轴上．则点P从左到右的运动过程中，△APB的面积是（ ）
A．10 B．4
C．5 D．从小变大再变小
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义即可得到答案．
【解答】解：∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B．设AB交Y轴于C．
∴AB⊥y轴，
∵点A、B在反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象上，
∴S△PAB＝S△AOB＝S△COB+S△AOC＝（3+7）＝5，
故选：C．
12．（2分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（ ）
A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里
【分析】连接AC，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：连接AC，
由题意得，BA＝BC＝20×2＝40（海里），∠CBA＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝40（海里），
故选：B．
13．（2分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．＝ B．
C．＝﹣40 D．＝
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，
依题意得：＝．
故选：D．
14．（2分）一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【解答】解：原数据的3，5，5，7的平均数为＝5，
中位数为5，
众数为5，
方差为×[（3﹣5）2+（5﹣5）2×2+（7﹣5）2]＝2；
新数据3，5，5，5，7的平均数为＝5，
中位数为5，
众数为5，
方差为×[（3﹣5）2+（5﹣5）2×3+（7﹣5）2]＝1.6；
所以添加一个数据5，方差发生变化，
故选：C．
15．（2分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC所对的弧长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【分析】先根据题意画出图形，分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA，
∵AB＝，AC＝，
∴AD＝，AE＝，
根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD＝，
∴∠AOD＝45°，
∵sin∠AOE＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝45°，∠OAC＝90°﹣∠AOE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAD+∠OAC＝45°+30°＝75°，
∴的长＝＝．
②如图2，当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD＝45°，∠AOE＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠OAC＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，∠OAB＝90°﹣∠AOD＝90°﹣45°＝45°．
∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAC＝45°﹣30°＝15°，
∴的长＝＝．
故选：D．
16．（2分）对于题目：在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C，若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与线段BC有唯一公共点，求a的取值范围．甲的计算结果是a≥；乙的计算结果是a＜﹣，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲与乙的结果合在一起正确
D．甲与乙的结果合在一起也不正确
【分析】分a＞0、a＜0根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点，确定a的值，即可求解．
【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣3a，
故抛物线与x轴的交点坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为：（0，﹣3a），
函数的对称轴为：x＝1，顶点坐标为：（1，﹣4a），
直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，则点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，4），则点C（5，4）．
（1）当a＞0时，
当抛物线过点C时，抛物线与线段BC有一个公共点，
将点C的坐标代入抛物线表达式得：4＝25a﹣10a﹣3a，解得：a＝，
故抛物线与线段BC有唯一公共点时，a≥；
（2）当a＜0时，
当顶点过BC时，此时抛物线与BC有唯一公共点，
即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1；
当抛物线过点B时，抛物线与BC有两个交点，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：﹣3a＝4，解得：a＝﹣，
故当抛物线与线段BC有一个公共点时，a＜﹣，
故﹣＜a≤﹣1；
综上，a≥或a＜﹣或a＝﹣1；
故选：D．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分，17-18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）分解因式：2x2﹣8＝ 2（x﹣2）（x+2） ．
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）
＝2（x﹣2）（x+2）．
故答案为：2（x﹣2）（x+2）．
18．（3分）如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 84° ．
【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．
【解答】解：如图，
由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，
则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°
故答案为84°．
19．（6分）三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：
（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 8 cm；
（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 8 cm；
（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm．
【分析】（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径，易知AC为圆的直径，应用勾股定理结论可得；
（2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得；
（3）依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG上，找出圆心，设OG＝xcm，依据勾股定理列出方程可求半径，直径易得．
【解答】解：（1）如下图，
∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，∠ABC＝90°，
∴AC为圆的直径．
∵AC＝（cm）．
故答案为：8；
（2）如下图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径，
∴圆的半径为4cm．
∴圆的直径为8cm．
故答案为：8．
（3）如下图，设圆心为O，GH与AB交于点P．
连接OA，OB，ON．
由题意，PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON．
∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝2cm．
设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝4×2﹣x＝（8﹣x）cm．
在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2．
在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2．
∴OA2＝AP2+OP2＝ON2＝NG2+OG2．
∴22+（8﹣x）2＝42+x2．
解得：x＝．
∴ON＝＝（cm）．
∴直径为（cm）．
故答案为．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）利用平方差公式可以进行简便计算：
例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；
例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．
请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：
（1）；
（2）（2019+2019）（﹣）．
【分析】（1）先变形得到原式＝（20﹣1）（20+1），然后利用平方差公式计算；
（2）提2019得到原式＝2019×（+）（﹣），然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝（20﹣1）（20+1）
＝×（202﹣12）
＝×（400﹣1）
＝；
（2）原式＝2019×（+）（﹣）
＝2019×（3﹣2）
＝2019．
21．（9分）对于四个整式，A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n．无论x取何值，B+C+D的值都为0．
（1）求m、n的值；
（2）计算A﹣B+C﹣D；
（3）若的值是正数，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把B，C，D代入B+C+D＝0中，求出m与n的值即可；
（2）把m与n的值代入确定出B与D，再将A，B，C，D代入A﹣B+C﹣D中计算即可得到结果；
（3）把A，B，C，D代入﹣，使其值大于0求出x的范围即可．
【解答】解：（1）∵B：mx+5；C：﹣2x；D：n，
∴B+C+D＝mx+5﹣2x+n＝（m﹣2）x+（n+5）＝0，
∴m﹣2＝0，n+5＝0，
解得：m＝2，n＝﹣5；
（2）∵A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n，且m＝2，n＝﹣5，
∴A﹣B+C﹣D＝2x2﹣mx﹣5﹣2x﹣n＝2x2﹣2x﹣5﹣2x+5＝2x2﹣4x；
（3）∵A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n，且m＝2，n＝﹣5，
∴﹣＝﹣＝﹣＝，
∵﹣＞0，
∴＞0，且x≠0，即﹣3x+5＞0，
解得：x＜且x≠0．
22．（8分）在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、2、3．
（1）若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字2的小球的概率；
（2）小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x．小红再从剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，点Q坐标记作（x，y）．规定：若点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上则小明胜；若点Q在反比例函数y＝图象上，则小红胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，求出小明胜的概率＝小红胜的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）若小明随机抽出一个小球，则抽到标有数字2的小球的概率为＝；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上的结果有4个，点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上的结果有4个，
∴小明胜的概率为＝，小红胜的概率为＝，
∴小明胜的概率＝小红胜的概率，
∴这个游戏公平．
23．（9分）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是 垂直 ，AE与BC的位置关系是 平行 ．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．
【分析】（1）根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行；
（2）利用等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；
（3）根据题意画出图形，由题意知，当△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角为90°或270°．
【解答】解：（1）如图，设AC与DE交于点H，
在等腰直角△ABC和△ADE中，
∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，
∵DE⊥AC，
∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，
∴∠BAD＝∠DAH，
∴AD⊥BC，
∵∠EAH＝∠C＝45°，
∴AE∥BC，
故答案为：垂直，平行；
（2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，
在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°；
（3）如图，
因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，
所以旋转角为90°或270°．
24．（10分）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
售价x
8
10
销售数量P
70
58
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
【分析】（1）设P＝a+，将（8，70）、（10，58）代入求解可得；
（2）求出P＝50时x的值即可得；
（3）根据月销售额W＝x（10+）＝10x+480且x≤20可得．
【解答】解：（1）由题意得：P＝a+，
将表格数据（8，70）、（10，58）代入上式得：P＝10+，
答：P关于x的函数关系式为P＝10+；
（2）由题意得：P＝10+＝50，
解之得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
∴该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元．
（3）W＝x（10+）＝10x+480，
当x＝20，W最大，最大值为680元．
25．（10分）如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y＝x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（ ﹣2 ， 0 ），D点坐标为（ ﹣2 ， 3 ）；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．
（提示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）
【分析】（1）A、D两坐标可由图象看出．（2）抛物线y＝x2+bx+c经过C（1，0），D（﹣2，3），两点代入解析式，解得b、c．（3）当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等，故知道EM不会与x轴平行，设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，写出平移后的解析式，根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h）时，直线EM∥x轴，将点M代入直线y＝x+2，解得h．
【解答】解：（1）A（﹣2，0），D（﹣2，3）
（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过C（1，0），D（﹣2，3）代入，解得：b＝﹣，c＝
∴所求抛物线解析式为：y＝x2﹣x+；
（3）答：存在．
∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等．
∴EM不会与x轴平行，
当点M在抛物线对称轴的右侧时，
设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，
则平移后的抛物线的解析式为
∵y＝（x﹣1）2+h，
∴抛物线与y轴交点E（0，+h），
∵抛物线的对称轴为：x＝1，
根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h）时，直线EM∥x轴，
将（2，+h）代入y＝x+2得+h＝2+2
解得：h＝．
∴抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴．
26．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，∠BAD＝60°，BC＝4cm，对角线AC平分∠BAD．点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为1cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cm/s．设点P，Q同时出发，移动时间为ts（0≤t≤6）．连接PQ，以PQ为直径作⊙O．
（1）求DC的长．
（2）当t为何值时，⊙O与AC相切？
（3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？
（4）当t为 6s 时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为 cm ．（直接写出结果）
【分析】（1）过点D作DM⊥AB于点M，根据矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；
（2）当⊙O与AC相切时，QP⊥AC，求出AB、AC，用含t的式子表示出AQ，即可求解；
（3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含t的式子表示出AP，即可求解；
（4）过圆心O作OH⊥DC于点H，则OH的长为O到DC的距离，延长HO交AB于点K，过点Q作QR⊥AB于点R，根据矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，得出用t表示OH的式子，根据t的取值范围以及一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）过点D作DM⊥AB于点M，如图1，
∵AB∥DC，∠B＝90°，
∴∠DMB＝∠DCB＝∠B＝90°，
∴四边形DGBM是矩形，
∴DM＝BC＝4cm，
∵∠BAD＝60°，∠DMA＝90°，
∴AD＝2AM，
∴（2AM）2＝42+AM2，解得AM＝（负值舍去），
∵AC平分∠BAD，AB∥DC，
∴∠CAD＝∠CAB＝∠ACD，
∴DC＝AD＝2AM＝cm；
（2）当⊙O与AC相切时，QP⊥AC，如图2，
由题意得：AQ＝BP＝tcm，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BAD＝30°，BC＝4cm，
∴AC＝8cm，AB＝4cm，
∴AP＝（4﹣t）cm，
∵AQ＝AP，
∴t＝（4﹣t），
解得：t＝24﹣12，
∴t＝（24﹣12）s时，⊙O与AC相切；
（3）第一种情况：如图3，当∠OQM＝60°时满足条件，
在△AQP中，∠AQP＝120°，
又∵∠QAP＝30°，
∴AP＝t，
即4﹣t＝t，解得t＝6﹣2；
第二种情况：如图4，当∠OQM＝60°时满足条件，
在△AQP中，∠QAP＝30°，
又∵∠APQ＝90°，
∴AP＝t，
即4﹣t＝t，解得t＝16﹣24；
综上，t＝6﹣2或t＝16﹣24；
（4）如图5，过圆心O作OH⊥DC于点H，则OH的长为O到DC的距离，延长HO交AB于点K，过点Q作QR⊥AB于点R，
则HCBK是矩形，QR＝AQ＝tcm，
∴HK＝BC＝4 cm，
∵点O是PQ的中点，OK⊥AB，QR⊥AB，
∴线段OK是△PQR的中位线，
∴OK＝QR＝tcm，
∴OH＝（4﹣t）cm，
∵﹣＜0，0≤t≤6，
∴当t＝6s时，OH有最小值，最小值为4﹣×6＝（cm）．
故答案为：6s，cm．
2021年河北省石家庄部分学校联考中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）平面内过直线l外一点O作直线l的垂线能作出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．（3分）比1小2的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．|﹣2|
3．（3分）在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示﹣的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
4．（3分）如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，不改变的是（ ）
A．主视图 B．主视图和左视图
C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图
5．（3分）＝（ ）
A． B． C．9m D．81
6．（3分）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米，用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．2×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
8．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．若2x＝1，则x＝2
B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1
C．若﹣2x＝3，则
D．若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（ ）
A．BE＝DF
B．AE∥CF
C．AF＝AE
D．四边形AECF为平行四边形
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），
11．（2分）如图，是反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B，点P在x轴上．则点P从左到右的运动过程中，△APB的面积是（ ）
A．10 B．4
C．5 D．从小变大再变小
12．（2分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（ ）
A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里
13．（2分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．＝ B．
C．＝﹣40 D．＝
14．（2分）一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
15．（2分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC所对的弧长为（ ）
A． B． C．或 D．或
16．（2分）对于题目：在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C，若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与线段BC有唯一公共点，求a的取值范围．甲的计算结果是a≥；乙的计算结果是a＜﹣，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲与乙的结果合在一起正确
D．甲与乙的结果合在一起也不正确
二、填空题（本大题有3个小题，共12分，17-18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）分解因式：2x2﹣8＝ ．
18．（3分）如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 ．
19．（6分）三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：
（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；
（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）利用平方差公式可以进行简便计算：
例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；
例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．
请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：
（1）；
（2）（2019+2019）（﹣）．
21．（9分）对于四个整式，A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n．无论x取何值，B+C+D的值都为0．
（1）求m、n的值；
（2）计算A﹣B+C﹣D；
（3）若的值是正数，直接写出x的取值范围．
22．（8分）在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、2、3．
（1）若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字2的小球的概率；
（2）小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x．小红再从剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，点Q坐标记作（x，y）．规定：若点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上则小明胜；若点Q在反比例函数y＝图象上，则小红胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？
23．（9分）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系是 ．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．
24．（10分）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
售价x
8
10
销售数量P
70
58
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
25．（10分）如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y＝x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（ ， ），D点坐标为（ ， ）；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．
（提示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）
26．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，∠BAD＝60°，BC＝4cm，对角线AC平分∠BAD．点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为1cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cm/s．设点P，Q同时出发，移动时间为ts（0≤t≤6）．连接PQ，以PQ为直径作⊙O．
（1）求DC的长．
（2）当t为何值时，⊙O与AC相切？
（3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？
（4）当t为 时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为 ．（直接写出结果）
2021年河北省石家庄部分学校联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）平面内过直线l外一点O作直线l的垂线能作出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．
【解答】解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线．
故选：B．
2．（3分）比1小2的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．|﹣2|
【分析】根据题意列出算式，再根据有理数的减法法则计算即可，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解：1﹣2＝1+（﹣2）＝﹣1，
所以比1小2的数是﹣1．
故选：C．
3．（3分）在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示﹣的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【分析】分别利用已知数据的平方得出最接近的数据即可得出答案．
【解答】解：∵32＝9，3.12＝9.61，3.22＝10.24，
∴﹣的点落在第③段内．
故选：C．
4．（3分）如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，不改变的是（ ）
A．主视图 B．主视图和左视图
C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层都是三个小正方形，图①中第二层右边一个小正方形，图②中第二层中间一个小正方形，中①②的主视图不相同；
从左面看第一层都是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，①②的左视图相同；
从上面看第一列都是一个小正方形，第二列都是一个小正方形，第三列都是三个小正方形，故①②的俯视图相同．
故选：D．
5．（3分）＝（ ）
A． B． C．9m D．81
【分析】根据有理数的乘方的定义计算即可．
【解答】解：原式＝．
故选：B．
6．（3分）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
7．（3分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米，用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．2×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：＝0.000005＝5×10﹣6．
故选：D．
8．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．若2x＝1，则x＝2
B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1
C．若﹣2x＝3，则
D．若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1
【分析】根据等式的性质即可解决．
【解答】解：A、若2x＝1，则x＝，原变形错误，故这个选项不符合题意；
B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，原变形错误，故这个选项不符合题意；
C、若﹣2x＝3，则x＝﹣，原变形正确，故这个选项符合题意；
D、若﹣＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形错误，故这个选项不符合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（ ）
A．BE＝DF
B．AE∥CF
C．AF＝AE
D．四边形AECF为平行四边形
【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使AE＝CF的条件．
【解答】解：A、在▱ABCD中，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故A可以使AE＝CF，不符合题意；
B、∵AE∥CF，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故B可以使AE＝CF，不符合题意；
C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF，
故C符合题意；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故D可以使AE＝CF，不符合题意；
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比．
【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），
k的值为：＝．
故选：B．
11．（2分）如图，是反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B，点P在x轴上．则点P从左到右的运动过程中，△APB的面积是（ ）
A．10 B．4
C．5 D．从小变大再变小
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义即可得到答案．
【解答】解：∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B．设AB交Y轴于C．
∴AB⊥y轴，
∵点A、B在反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象上，
∴S△PAB＝S△AOB＝S△COB+S△AOC＝（3+7）＝5，
故选：C．
12．（2分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（ ）
A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里
【分析】连接AC，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：连接AC，
由题意得，BA＝BC＝20×2＝40（海里），∠CBA＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝40（海里），
故选：B．
13．（2分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．＝ B．
C．＝﹣40 D．＝
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，
依题意得：＝．
故选：D．
14．（2分）一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【解答】解：原数据的3，5，5，7的平均数为＝5，
中位数为5，
众数为5，
方差为×[（3﹣5）2+（5﹣5）2×2+（7﹣5）2]＝2；
新数据3，5，5，5，7的平均数为＝5，
中位数为5，
众数为5，
方差为×[（3﹣5）2+（5﹣5）2×3+（7﹣5）2]＝1.6；
所以添加一个数据5，方差发生变化，
故选：C．
15．（2分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC所对的弧长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【分析】先根据题意画出图形，分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA，
∵AB＝，AC＝，
∴AD＝，AE＝，
根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD＝，
∴∠AOD＝45°，
∵sin∠AOE＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝45°，∠OAC＝90°﹣∠AOE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAD+∠OAC＝45°+30°＝75°，
∴的长＝＝．
②如图2，当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD＝45°，∠AOE＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠OAC＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，∠OAB＝90°﹣∠AOD＝90°﹣45°＝45°．
∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAC＝45°﹣30°＝15°，
∴的长＝＝．
故选：D．
16．（2分）对于题目：在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C，若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与线段BC有唯一公共点，求a的取值范围．甲的计算结果是a≥；乙的计算结果是a＜﹣，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲与乙的结果合在一起正确
D．甲与乙的结果合在一起也不正确
【分析】分a＞0、a＜0根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点，确定a的值，即可求解．
【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣3a，
故抛物线与x轴的交点坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为：（0，﹣3a），
函数的对称轴为：x＝1，顶点坐标为：（1，﹣4a），
直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，则点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，4），则点C（5，4）．
（1）当a＞0时，
当抛物线过点C时，抛物线与线段BC有一个公共点，
将点C的坐标代入抛物线表达式得：4＝25a﹣10a﹣3a，解得：a＝，
故抛物线与线段BC有唯一公共点时，a≥；
（2）当a＜0时，
当顶点过BC时，此时抛物线与BC有唯一公共点，
即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1；
当抛物线过点B时，抛物线与BC有两个交点，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：﹣3a＝4，解得：a＝﹣，
故当抛物线与线段BC有一个公共点时，a＜﹣，
故﹣＜a≤﹣1；
综上，a≥或a＜﹣或a＝﹣1；
故选：D．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分，17-18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）分解因式：2x2﹣8＝ 2（x﹣2）（x+2） ．
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）
＝2（x﹣2）（x+2）．
故答案为：2（x﹣2）（x+2）．
18．（3分）如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 84° ．
【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．
【解答】解：如图，
由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，
则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°
故答案为84°．
19．（6分）三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：
（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 8 cm；
（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 8 cm；
（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm．
【分析】（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径，易知AC为圆的直径，应用勾股定理结论可得；
（2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得；
（3）依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG上，找出圆心，设OG＝xcm，依据勾股定理列出方程可求半径，直径易得．
【解答】解：（1）如下图，
∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，∠ABC＝90°，
∴AC为圆的直径．
∵AC＝（cm）．
故答案为：8；
（2）如下图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径，
∴圆的半径为4cm．
∴圆的直径为8cm．
故答案为：8．
（3）如下图，设圆心为O，GH与AB交于点P．
连接OA，OB，ON．
由题意，PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON．
∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝2cm．
设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝4×2﹣x＝（8﹣x）cm．
在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2．
在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2．
∴OA2＝AP2+OP2＝ON2＝NG2+OG2．
∴22+（8﹣x）2＝42+x2．
解得：x＝．
∴ON＝＝（cm）．
∴直径为（cm）．
故答案为．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）利用平方差公式可以进行简便计算：
例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；
例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．
请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：
（1）；
（2）（2019+2019）（﹣）．
【分析】（1）先变形得到原式＝（20﹣1）（20+1），然后利用平方差公式计算；
（2）提2019得到原式＝2019×（+）（﹣），然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝（20﹣1）（20+1）
＝×（202﹣12）
＝×（400﹣1）
＝；
（2）原式＝2019×（+）（﹣）
＝2019×（3﹣2）
＝2019．
21．（9分）对于四个整式，A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n．无论x取何值，B+C+D的值都为0．
（1）求m、n的值；
（2）计算A﹣B+C﹣D；
（3）若的值是正数，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把B，C，D代入B+C+D＝0中，求出m与n的值即可；
（2）把m与n的值代入确定出B与D，再将A，B，C，D代入A﹣B+C﹣D中计算即可得到结果；
（3）把A，B，C，D代入﹣，使其值大于0求出x的范围即可．
【解答】解：（1）∵B：mx+5；C：﹣2x；D：n，
∴B+C+D＝mx+5﹣2x+n＝（m﹣2）x+（n+5）＝0，
∴m﹣2＝0，n+5＝0，
解得：m＝2，n＝﹣5；
（2）∵A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n，且m＝2，n＝﹣5，
∴A﹣B+C﹣D＝2x2﹣mx﹣5﹣2x﹣n＝2x2﹣2x﹣5﹣2x+5＝2x2﹣4x；
（3）∵A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n，且m＝2，n＝﹣5，
∴﹣＝﹣＝﹣＝，
∵﹣＞0，
∴＞0，且x≠0，即﹣3x+5＞0，
解得：x＜且x≠0．
22．（8分）在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、2、3．
（1）若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字2的小球的概率；
（2）小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x．小红再从剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，点Q坐标记作（x，y）．规定：若点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上则小明胜；若点Q在反比例函数y＝图象上，则小红胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，求出小明胜的概率＝小红胜的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）若小明随机抽出一个小球，则抽到标有数字2的小球的概率为＝；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上的结果有4个，点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上的结果有4个，
∴小明胜的概率为＝，小红胜的概率为＝，
∴小明胜的概率＝小红胜的概率，
∴这个游戏公平．
23．（9分）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是 垂直 ，AE与BC的位置关系是 平行 ．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．
【分析】（1）根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行；
（2）利用等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；
（3）根据题意画出图形，由题意知，当△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角为90°或270°．
【解答】解：（1）如图，设AC与DE交于点H，
在等腰直角△ABC和△ADE中，
∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，
∵DE⊥AC，
∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，
∴∠BAD＝∠DAH，
∴AD⊥BC，
∵∠EAH＝∠C＝45°，
∴AE∥BC，
故答案为：垂直，平行；
（2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，
在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°；
（3）如图，
因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，
所以旋转角为90°或270°．
24．（10分）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
售价x
8
10
销售数量P
70
58
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
【分析】（1）设P＝a+，将（8，70）、（10，58）代入求解可得；
（2）求出P＝50时x的值即可得；
（3）根据月销售额W＝x（10+）＝10x+480且x≤20可得．
【解答】解：（1）由题意得：P＝a+，
将表格数据（8，70）、（10，58）代入上式得：P＝10+，
答：P关于x的函数关系式为P＝10+；
（2）由题意得：P＝10+＝50，
解之得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
∴该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元．
（3）W＝x（10+）＝10x+480，
当x＝20，W最大，最大值为680元．
25．（10分）如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y＝x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（ ﹣2 ， 0 ），D点坐标为（ ﹣2 ， 3 ）；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．
（提示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）
【分析】（1）A、D两坐标可由图象看出．（2）抛物线y＝x2+bx+c经过C（1，0），D（﹣2，3），两点代入解析式，解得b、c．（3）当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等，故知道EM不会与x轴平行，设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，写出平移后的解析式，根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h）时，直线EM∥x轴，将点M代入直线y＝x+2，解得h．
【解答】解：（1）A（﹣2，0），D（﹣2，3）
（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过C（1，0），D（﹣2，3）代入，解得：b＝﹣，c＝
∴所求抛物线解析式为：y＝x2﹣x+；
（3）答：存在．
∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等．
∴EM不会与x轴平行，
当点M在抛物线对称轴的右侧时，
设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，
则平移后的抛物线的解析式为
∵y＝（x﹣1）2+h，
∴抛物线与y轴交点E（0，+h），
∵抛物线的对称轴为：x＝1，
根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h）时，直线EM∥x轴，
将（2，+h）代入y＝x+2得+h＝2+2
解得：h＝．
∴抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴．
26．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，∠BAD＝60°，BC＝4cm，对角线AC平分∠BAD．点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为1cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cm/s．设点P，Q同时出发，移动时间为ts（0≤t≤6）．连接PQ，以PQ为直径作⊙O．
（1）求DC的长．
（2）当t为何值时，⊙O与AC相切？
（3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？
（4）当t为 6s 时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为 cm ．（直接写出结果）
【分析】（1）过点D作DM⊥AB于点M，根据矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；
（2）当⊙O与AC相切时，QP⊥AC，求出AB、AC，用含t的式子表示出AQ，即可求解；
（3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含t的式子表示出AP，即可求解；
（4）过圆心O作OH⊥DC于点H，则OH的长为O到DC的距离，延长HO交AB于点K，过点Q作QR⊥AB于点R，根据矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，得出用t表示OH的式子，根据t的取值范围以及一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）过点D作DM⊥AB于点M，如图1，
∵AB∥DC，∠B＝90°，
∴∠DMB＝∠DCB＝∠B＝90°，
∴四边形DGBM是矩形，
∴DM＝BC＝4cm，
∵∠BAD＝60°，∠DMA＝90°，
∴AD＝2AM，
∴（2AM）2＝42+AM2，解得AM＝（负值舍去），
∵AC平分∠BAD，AB∥DC，
∴∠CAD＝∠CAB＝∠ACD，
∴DC＝AD＝2AM＝cm；
（2）当⊙O与AC相切时，QP⊥AC，如图2，
由题意得：AQ＝BP＝tcm，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BAD＝30°，BC＝4cm，
∴AC＝8cm，AB＝4cm，
∴AP＝（4﹣t）cm，
∵AQ＝AP，
∴t＝（4﹣t），
解得：t＝24﹣12，
∴t＝（24﹣12）s时，⊙O与AC相切；
（3）第一种情况：如图3，当∠OQM＝60°时满足条件，
在△AQP中，∠AQP＝120°，
又∵∠QAP＝30°，
∴AP＝t，
即4﹣t＝t，解得t＝6﹣2；
第二种情况：如图4，当∠OQM＝60°时满足条件，
在△AQP中，∠QAP＝30°，
又∵∠APQ＝90°，
∴AP＝t，
即4﹣t＝t，解得t＝16﹣24；
综上，t＝6﹣2或t＝16﹣24；
（4）如图5，过圆心O作OH⊥DC于点H，则OH的长为O到DC的距离，延长HO交AB于点K，过点Q作QR⊥AB于点R，
则HCBK是矩形，QR＝AQ＝tcm，
∴HK＝BC＝4 cm，
∵点O是PQ的中点，OK⊥AB，QR⊥AB，
∴线段OK是△PQR的中位线，
∴OK＝QR＝tcm，
∴OH＝（4﹣t）cm，
∵﹣＜0，0≤t≤6，
∴当t＝6s时，OH有最小值，最小值为4﹣×6＝（cm）．
故答案为：6s，cm．
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