2021年北师大版九年级数学中考三轮冲刺：几何图形的变化 试题精选（解析版）

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几何图形的变化试题精选（解析版）
一．解答题（共20小题）
1．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．

（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，请直接写出线段BN的长．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∵AO＝BO，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS）．

（2）①证明：如图2中，连接AM．

同法可证△AOM≌△BON，
∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，
∵∠OAB＝∠B＝45°，
∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，
∴MN2＝AN2+AM2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴NB2+AN2＝2ON2．

②如图3﹣1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．

∵△AOM≌△BON，
∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝3，MH＝HN＝OH＝，
∴AH＝＝＝，
∴BN＝AM＝MH+AH＝．

如图3﹣2中，同法可证AM＝BN＝．

2．在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．
（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）若BC＝4，CD＝2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，请直接写出线段OD的长．

【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO；
理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，点O是AB的中点，
∴OE＝OA＝AB，
∴∠BOE＝2∠BAE，
在Rt△ABD中，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝AB，
∴∠DOE＝2∠BAD，
∴OD＝OE，
∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠DOE＝∠BOE+∠DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°，
∴OD⊥OE；

（2）仍然成立，
理由：如图2，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵∠AOM＝∠BOE，
∴△AOM≌△BOE（SAS），
∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，
∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°，
∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°，
∴∠MAO＝135°，
∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°，
∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠MAD＝∠DCE，
∵MA＝EB，EB＝EC，
∴MA＝EC，
∵AD＝DC，
∴△MAD≌△ECD，
∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE，
∵∠CDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADM+∠ADE＝90°，
∴∠MDE＝90°，
∵MO＝EO，MD＝DE，
∴，OD⊥ME，
∵，
∴OD＝OE，OD⊥OE；

（3）①当点B在AC左侧时，如图3，
延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，
同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS），
∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM，
∵BE＝CE，
∴AM＝CE，
在五边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，
∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°，
∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，
∴∠DAM＝∠DCE，
∵AD＝CD，
∴△DAM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE，
∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵OM＝OE，
∴OD＝OE＝ME，∠DOE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝BC＝2，
过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，
在Rt△CHE中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝30°，
∴EH＝CE＝，
根据勾股定理得，CH＝EH＝，
∴DH＝CD+CH＝3，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝＝2，
∴OD＝DE＝2，
②当点B在AC右侧时，如图4，
同①的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°，
连接DE，过点E作EH⊥CD于H，
在Rt△EHC中，∠ECH＝30°
∴EH＝CE＝，
根据勾股定理得，CH＝，
∴DH＝CD﹣CH＝，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝2，
∴OD＝DE＝2，
即：线段OD的长为2或．



3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：PA＝DC；
②求∠DCP的度数；
（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离为　或　．

【解答】（1）①证明：如图1中，

∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB＝PD，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠PBD＝60°，
∴∠PBA＝∠DBC，
∵BP＝BD，BA＝BC，
∴△PBA≌△DBC（SAS），
∴PA＝DC．

②解：如图1中，设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA＝∠BDC，
∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．

（2）解：结论：CD＝PA．
理由：如图2中，

∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD═2BP•cos30°＝BP，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴＝＝，
∴CD＝PA．

（3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N．
如图3﹣1中，当△PBA是钝角三角形时，

在Rt△ABN中，∵∠N＝90°，AB＝6，∠BAN＝60°，
∴AN＝AB•cos60°＝3，BN＝AB•sin60°＝3，
∵PN＝＝＝2，
∴PA＝3﹣2＝1，
由（2）可知，CD＝PA＝，
∵∠BPA＝∠BDC，
∴∠DCA＝∠PBD＝30°，
∵DM⊥PC，
∴DM＝CD＝
如图3﹣2中，当△ABP是锐角三角形时，同法可得PA＝2+3＝5，CD＝5，DM＝CD＝，

综上所述，满足条件的DM的值为或．
故答案为或．
4．如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB＝∠EDB＝90°，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F．
（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为　AF＝EF　；
（2）探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转，当∠CBE小于180°时，得到图2，连接CD并延长交AE于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展：图1中，过点E作EG⊥CB，垂足为点G．当∠ABC的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG＝∠BAE，BC＝6，直接写出AB的长．

【解答】解：（1）方法1、延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，如图1所示，
∵△ABC≌△EBD，
∴DE＝AC，BD＝BC，
∴∠CDB＝∠DCB，且∠CDB＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠DCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠EDB＝90°，
∴∠ADF+∠FDE＝90°，
∴∠ACD＝∠FDE，
∵FK+DF＝DC+DF，
∴DK＝CF，
在△ACF和△EDK中，，
∴△ACF≌△EDK（SAS），
∴KE＝AF，∠K＝∠AFC，
又∠AFC＝∠KFE，
∴∠K＝∠KFE
∴KE＝EF
∴AF＝EF，
故AF与EF的数量关系为：AF＝EF．
故答案为：AF＝EF；
方法2、由旋转得，∠CBD＝∠ABE，CB＝BD，AB＝BE，
∴，
∴△CBD∽△ABE，
∴∠DCB＝∠EAB，
∵∠ADF＝∠CDB，
∴△ADF∽△CDB，
∴，
∴，
∵∠ADC＝∠FDB，
∴△ADC∽△FDB，
∴∠ACD＝∠ABF，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠EAB+∠ABF＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴BF⊥AE，
∵AB＝BE，BF⊥AE，
∴AF＝EF；
故答案为AF＝EF；

方法3、如图1﹣1，
∵△ABC≌△EBD，
∴∠ABC＝∠EBD，BC＝BD，BA＝BE，
∴△BCD和△BAE是顶角相等的等腰三角形，
∴∠BCF＝∠BAE，
∴点A，C，B，F四点共圆，
∴∠BFE＝∠ACB＝90°，
∵BA＝BE，
∴AF＝BF；
故答案为AF＝EF；

（2）方法1、仍然成立，理由如下：
延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，如图2所示，
设BD延长线DM交AE于M点，
∵△ABC≌△EBD，
∴DE＝AC，BD＝BC，
∴∠CDB＝∠DCB，且∠CDB＝∠MDF，
∴∠MDF＝∠DCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠EDB＝90°，
∴∠MDF+∠FDE＝90°，
∴∠ACD＝∠FDE，
∵FK+DF＝DC+DF，
∴DK＝CF，
在△ACF和△EDK中，，
∴△ACF≌△EDK（SAS），
∴KE＝AF，∠K＝∠AFC，
又∠AFC＝∠KFE，
∴∠K＝∠KFE，
∴KE＝EF，
∴AF＝EF，
故AF与EF的数量关系为：AF＝EF．

方法2、如图2﹣2，连接BF，
同（1）的方法3得，点A，C，B，F四点共圆，
∴∠BFE＝∠ACB＝90°，
∵BA＝BE，
∴AF＝EF，

（3）当点G在点B右侧时，如图3所示，过点E作EG⊥BC交CB的延长线于G，
∵BA＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠EBG，
∴∠BEA＝∠EBG，
∴AE∥CG，
∴∠AEG+∠G＝180°，
∴∠AEG＝90°，
∴∠ACG＝∠G＝∠AEG＝90°，
∴四边形AEGC为矩形，
∴AC＝EG，且AB＝BE，
∴Rt△ACB≌Rt△EGB（HL），
∴BG＝BC＝6，∠ABC＝∠EBG，
又∵ED＝AC＝EG，且EB＝EB，
∴Rt△EDB≌Rt△EGB（HL），
∴DB＝GB＝6，∠EBG＝∠ABE，
∴∠ABC＝∠ABE＝∠EBG＝60°，
∴∠BAC＝30°，
在Rt△ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB＝2BC＝12．
当点G在点B左侧时，如图4所示，
由旋转知，∠ABC＝∠ABE，AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠EBG＝2∠ABC＝2∠ABE，
∴∠BAE＝∠AEB＝2∠ABE，
∵∠AEB+∠BAE+∠ABE＝180°，
∴2∠ABE+2∠ABE+∠ABE＝180°，
∴∠BAE＝36°，
∴∠ABC＝36°，
在Rt△ABC中，cos36°＝，
∴AB＝＝，
即满足条件的AB＝12或．






5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．
①求证：AD＝BD；
②求的值；
（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求的值．

【解答】解：（1）①∵A′B′∥AC，
∴∠B′A′C＝∠A′CA，
∵∠B′A′C＝∠BAC，
∴∠A′CA＝∠BAC，
∴AD＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∵∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD；
②∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，
∴AB＝，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠ACB＝90°，
∵∠BCE＝∠ABC，
∴△BEC∽△ACB，
∴，即，
∴CE＝，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝AB＝，
∴CE＝CD，
∴S△ACE＝S△ADE，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△ADE，
∴＝；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠A′CB′，
∴AB∥CN，
∴△MCN∽△MAD，
∴，
∵，
∴，
∴AD＝，
∵DM∥A′B′，
∴∠CDN＝∠A′＝∠A，
∴CN＝CD•tan∠CDN＝CD•tanA＝CD•，
∴，
∴．
6．如图1，△ABC（AC＜BC＜AC）绕点C顺时针旋转得△DEC，射线AB交射线DE于点F．
（1）∠AFD与∠BCE的关系是　∠AFD＝∠BCE　；
（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG＝OD，连接GC．
①∠AFD与∠GCD的关系是　∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°　，请说明理由；
②如图3，连接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求线段AE的长度．

【解答】解：（1）如图1，
AF与CD的交点记作点N，由旋转知，∠ACB＝∠DCE，∠A＝∠D，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ANC，∠AFD＝180°﹣∠D﹣∠DNF，∠ANC＝∠DNF，
∴∠ACD＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠BCE，
故答案为：∠AFD＝∠BCE；

（2）①∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，
理由：如图2，连接AD，由旋转知，∠CAB＝∠CDE，CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD，
∵∠AMC＝∠DMF，
∴△ACM∽△DFM，
∴∠ACD＝∠AFD，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵OD＝OG，∠AOD＝∠COG，
∴△AOD≌△COG（SAS），
∴AD＝CG，
∴CG＝CD，
∴∠GCD＝2∠ACD＝120°，
∴∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，
故答案为：∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°；

②由①知，∠GCD＝120°，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠GCA＝∠GCD﹣∠ACD＝60°，
∴∠GCA＝∠BCE，
∵∠GCB＝∠GCA+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠GCB＝∠ACE，
由①知，CG＝CD，CD＝CA，
∴CG＝CA，
∵BC＝EC＝4，
∴△GCB≌△ACE（SAS），
∴GB＝AE，
∵CG＝CD，OG＝OD，
∴CO⊥GD，
∴∠COG＝∠COB＝90°
在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠ACB＝2，CO＝BC•cos∠ACB＝2，
在Rt△GOC中，GO＝CO•tan∠GCA＝2，
∴GB＝OG+BO＝2+2，
∴AE＝2+2．


7．数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．

数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．
①用含x的代数式表示：AD的长是　（6+x）　cm，BD的长是　（6﹣x）　cm；
②y与x的函数关系式是　y＝　，自变量x的取值范围是　0≤x≤6　．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
　2　
2.47
3
4.29
5.08
　6　
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

【解答】解：（1）①如图3中，由题意AC＝OA＝AB＝6（cm），

∵CD＝xcm，
∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），
故答案为：（6+x），（6﹣x）．

②∵OA⊥OF，BG⊥OF，
∴BG∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0≤x≤6），
故答案为：y＝，0≤x≤6．

（2）①当x＝3时，y＝2，当x＝0时，y＝6，
故答案为2，6．
②点（0，6），点（3，2）如图所示．
③函数图象如图所示．


（3）性质1：函数值y的取值范围为0≤y≤6．
性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．
8．（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝　60　度．
（2）【类比探究】
如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】
如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
（4）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．

【解答】（1）【操作发现】解：如图1中，连接BD．

∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
故答案为60．

（2）【类比探究】证明：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．

∵∠BAC＝∠PAD＝60°，
∴∠BAP＝∠CAD，
∵AB＝AC，AP＝AD，
∴△PAB≌△ACD（SAS），
∴BP＝CD，
在△PCD中，∵PD+CD＞PC，
又∵PA＝PD，
∴AP+BP＞PC．
∴PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．

（3）【解决问题】解：如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，
∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，
∴PP′＝PC，即AP＝PC，
∵∠APC＝90°，
∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，
∴PC＝2，
∴AP＝，
∴S△APC＝AP•PC＝××2＝．

（4）【拓展应用】解：如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE．

∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC（旋转的性质），
∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，
∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，
∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°，
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，
∴BE＝＝＝，
即PA+PB+PC的最小值为；
9．某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：
如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAB＝∠EAD＝60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．
问题探究：
（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF＝CF，以下是她的证明过程
证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．
∵F是BD的中点，
∴BF＝DF．
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴ED∥CG．
∴∠BGF＝∠DEF．
又∵∠BFG＝∠DFE，
∴△BGF≌△DEF（　AAS　）．
∴EF＝FG．
∴CF＝EF＝EG．
请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图1中作出证明中所描述的辅助线；
②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．
（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．
问题拓展：
（3）如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明．
【解答】解：（1）①由题意作图如图1所示图形，
②证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．
∵F是BD的中点，
∴BF＝DF．
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴ED∥CG．
∴∠BGF＝∠DEF．
又∵∠BFG＝∠DFE，
∴△BGF≌△DEF（ AAS）．
∴EF＝FG．
∴CF＝EF＝EG．
故答案为AAS；

（2）如图3，延长BA，DE相交于点H，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAH＝60°＝∠EAD，
∵∠AED＝90°，
∴∠H＝30°，EH＝DE，
由（1）②知，△BGF≌△DEF，
∴DE＝BG，
∴EH＝BG，
∵DE∥BG，
∴四边形BGEH是平行四边形，∠DEF＝∠H＝30°，
∴∠CEF＝∠AED﹣∠DEF＝60°，
∵CF＝EF，
∴△CEF是等边三角形；

（3）如图2，
延长EF至G使，FG＝EF，
∵点F是BD的中点，
∴DF＝BF，
∵∠DFE＝∠BFG，
∴△DEF≌△BGF（SAS），
∴BG∥DP，
∴∠P+∠CBG＝180°，
在四边形ACPE中，∠AEP＝∠ACP＝90°，
根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P＝180°，
∴∠CAE＝∠CBG，
在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，
∴tan∠DAE＝＝，
即：，
同理：，
∴，
∵∠CBG＝∠CAE，
∴△BCG∽△ACE，
∴∠BCG＝∠ACE，
∴∠ECG＝∠ACE+∠ACG＝∠BCG+∠ACG＝90°，
在Rt△CEG中，EF＝GF，
∴CF＝EF＝EG，
∵△BCG∽△ACE，
∴＝，
在Rt△CEG中，tan∠CEG＝＝，
∴∠CEG＝60°，
∵CF＝EF，
∴△CEF是等边三角形．



10．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为　（2，0）　；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为　（﹣1，2）　；
（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′．
①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．

【解答】解：（1）①如图1中，观察图像可知B（2，0）．
故答案为：（2，0）．

②如图，A′（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．

（2）①如图2中，过点E作EP⊥x轴于P，过点E′作E′H⊥x轴于H．

∵∠EPG＝∠EGE′＝∠GHE′＝90°，
∴∠E+∠PGE＝90°，∠PGE+∠E′GH＝90°，
∴∠E＝∠E′GH，
∵EG＝GE′，
∴△EPG≌△GHE′（AAS），
∴EP＝GH＝3，PG＝E′H＝m+3，
∴OH＝3+m，
∴E′（3+m，3+m）．

②如图3中，观察图像可知，满足条件的点E′在第一象限的⊙O上．

∵E′（3+m，3+m），OE′＝2，
∴3+m＝，
∴m＝﹣3，
∴E′（，），
∴EE′＝＝．
11．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点D是线段CA延长线上一点，连接DM，将线段MD绕点M顺时针旋转60°得MD'，射线MD'交线段BC的延长线于点P，交AC于点H，PC＜BC．
（1）找出与∠D相等的角，并说明理由；
（2）若BC＝3CP，求的值；
（3）如图2，若点D是直线AC上一点，连接AD'，且AC＝2，求△AMD'周长的最小值．

【解答】解：（1）结论：∠D＝∠AMP．
理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°．
∴∠D+∠DMA＝60°．
由旋转的性质知，∠DMA+∠AMP＝60°．
∴∠D＝∠AMP．

（2）如图1中，连接CD′．
∵∠ACB＝90°，AM＝BM，
∴CM＝AM＝BM，
∵∠B＝30°，
∴∠CAM＝60°，
∴△CAM是等边三角形，
∴∠ACM＝60°，
∵∠DMP＝∠AMC＝60°，
∴∠AMD＝∠CMP，
∵MA＝MD′，MA＝MC，
∴△MDA≌△MD′C（ASA），
∴AD＝CD′，∠MCD′＝∠MAD＝120°，
∴∠ACD′＝∠ACM＝∠CAM＝60°，
∴CD′∥AB，
∵BC＝3CP，
∴BP＝4CP，
∵CD′∥BM，
∴△CD′P∽△BMP．
∴＝＝，
设CD′＝AD＝t，则BM＝4t，AB＝8t．
在Rt△ABC中，cosB＝＝，
∴BC＝4t．
∴＝＝4．

（3）由（2）可知，∠ACD′＝60°，
∴点D′在直线CD′上运动，
作点A关于直线CD′的对称点A′，连接MA′交CD′于D″，AA′交CD′于J，此时MD″+AD″的值最小，此时△AMD′的周长最小，最小值＝AM+MA′．
∵△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC＝2，∠CAM＝60°，
∵AA′⊥CD′，
∴AJ＝JA′＝AC•sin60°＝，
∴AA′＝2，
∴A′M＝＝＝4，
∴AD+DM的最小值为4，
∴△AMD'周长的最小值为6．


12．如图，AB⊥AK，点A在直线MN上，AB、AK分别与直线EF交于点B、C，∠MAB+∠KCF＝90°．
（1）求证：EF∥MN；
（2）如图2，∠NAB与∠ECK的角平分线交于点G，求∠G的度数；
（3）如图3，在∠MAB内作射线AQ，使∠MAQ＝2∠QAB，以点C为端点作射线CP，交直线AQ于点T，当∠CTA＝60°时，直接写出∠FCP与∠ACP的关系式．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵AB⊥AK，
∴∠BAC＝90°，
∴∠MAB+∠CAN＝90°，
∵∠MAB+∠KCF＝90°，
∴∠CAN＝∠KCF，
∴EF∥MN．

（2）解：如图2中，

∵∠NAB与∠ECK的角平分线交于点G，
∴可以假设∠GCK＝∠GCB＝x，∠GAC＝y，则∠GAD＝∠GAN＝90°﹣y，
∴∠CAN＝90°﹣2y，
∵EF∥MN，
∴∠KCF＝∠CAN＝90°﹣2y，
∴90°﹣2y+2x＝180°，
∴x﹣y＝45°，
∵∠G＝∠GCK﹣∠GAC＝x﹣y，
∴∠G＝45°．

（3）如图3﹣1中，当点T在QA的延长线上时，设∠QAB＝x，则∠MAQ＝2x，设MN交CP于J．

∵EF∥MN，
∴∠FCP＝∠AJC＝∠TAJ+∠ATC＝2x+60°，
∴∠ACP＝180°﹣60°﹣2x﹣（90°﹣3x）＝30°+x，
∴∠FCP＝2∠ACP，

如图3﹣2中，当点T在AQ上时，设∠QAB＝x，则∠MAQ＝2x，

∵∠ACP＝180°﹣60°﹣（90°+x）＝30°﹣x，
∴∠FCP＝∠ACP+∠ACF＝30°﹣x+（180°﹣90°﹣3x）＝120°﹣4x，
∴∠ACF＝90°+3x，∠FCP＝∠ACP+∠ACF＝30°﹣x+90°+3x＝120°+2x，
∴∠FCP+2∠ACP＝180°．
综上所述，∠FCP＝2∠ACP或∠FCP+2∠ACP＝180°．
13．△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，点E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边作等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，当点E和点F在直线AC两侧时，EF与AC交于点M，连接MN，
①求证：ME＝MF；
②求线段MN的长；
（2）将图1中的△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，点M为线段EF的中点，连接BE，MN，DM，
①如图2，当α＝90°时，请直接写出的值；
②连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出tan∠DAN的值．

【解答】（1）①证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD＝CAB＝30°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠EAM＝∠FAM＝30°，
∴ME＝MF．

②∵AE＝AF，EM＝MF，
∴AM⊥EF，
∵AM＝AE•cos30°＝2×＝2，
∵AC＝6，
∴CM＝AC﹣AM＝6，
∵EM＝MF＝，
∴CE＝＝＝，
∵CN＝NE，
∴MN＝EC＝．

（2）①解：如图2中，延长BC交FE的延长线于R，过点E作EH⊥AF于H，过点D作DJ⊥FR于J．

∵α＝90°，
∴F，A，B共线，
∵△AEF，△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝8，AF＝EF＝2，∠F＝∠ABC＝60°，
∴∠R＝60°，
∴△BFR是等边三角形，
∴FB＝BR＝FR＝2+8，
∵AD⊥BC，
∴CD＝DB＝4，
∴CR＝2，DR＝2+4，
∵DJ⊥FR，
∴RJ＝DR•cos60°＝+2，DJ＝RJ＝3+2，
∵EM＝FM＝，
∴JM＝RF﹣FM﹣RJ＝6，
∴DM＝＝＝，
∵EH⊥AF，
∴FH＝AH＝，EH＝AH＝3，
∴BE＝＝2，
∴＝．

②解：如图3中，取AC的中点T，连接NT，BT．

∵CN＝NE，AT＝CT，
∴NT＝AE＝，
∵△ABC是等边三角形，CT＝AT，
∴BT⊥AC，
∴BT＝AT＝4，
∴BN≤NT+BT，
∴BN≤5，
∴BN的最大值为5，此时B，T，N共线（如图4中）
如图4中，连接AN，过点N作NQ⊥AD于Q，设AD交BN于R．

∵AD⊥BC，BT⊥AC，
∴AD，BT是△ABC的中线，
∴AR＝BR＝×4＝，RT＝×4＝，
∵NT＝，
∴NR＝NT+TR＝，
∵∠NRQ＝60°，
∴RQ＝NR＝，NQ＝RQ＝，
∵AQ＝AR﹣RQ＝﹣＝，
∴tan∠NAD＝＝＝．
14．在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于A（a，0）、B（0，b）两点，且满足+（a+2b﹣5）2＝0．

（1）求A、B两点坐标；
（2）如图1，把线段BA绕B点顺时针旋转，点A的对应点为C点，使BC⊥y轴，E为线段AC上一点，EN⊥AB于N，EM⊥BC于M，求EM+EN的值．
（3）如图2，点D为y轴上点B上方一点，DE⊥AD交直线CB于点E，∠DEC的平分线EF与∠DAO的邻补角的平分线AF交点F，请问：D点在运动的过程中∠AFE的大小是否变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1）∵+（a+2b﹣5）2＝0，
∴a+3＝0，a+2b﹣5＝0，
解得a＝﹣3，b＝4，
∴A（﹣3，0）、B（0，4）．
（2）如图1所示，过A作AQ⊥BC于Q，连接BE，
∵BC⊥y轴，AO⊥y轴，
∴BC∥AO，
∴AQ＝BO＝4，
∵EN⊥AB于N，EM⊥BC于M，
∴S△BCE＝BC×EM，S△ABE＝AB×EN，
∵S△ABC＝S△BCE+S△ABE，
∴BC×AQ＝BC×EM+AB×EN，
又∵AB＝CB，
∴AQ＝EM+EN＝4；
（3）∠F的度数不变．
如图2所示，过G作GP∥AF，交EF于P，则∠F＝∠GPE，
∵DE⊥AD，
∴∠EDG＝90°，
∵CB∥OH，
∴∠HAG＝∠CGD，
∵PG∥AF，AF平分∠HAG，
∴∠PGD＝∠FAD＝∠CGD，即PG平分∠CGD，
∴∠CGP＝∠CGD，
∵FE平分∠DEC，
∴∠PEC＝∠DEC，
∵∠PGC是△PEG的外角，
∴∠EPG＝∠PGC﹣∠PEC＝∠CGD﹣∠DEC＝（∠CGD﹣∠DEC）＝∠EDG＝90°＝45°，
∴D点在运动的过程中∠AFE的大小不变，其值为45°．


15．在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点M为射线CA上一个动点．过点M作ME⊥BM，交射线BA于E，将线段BM绕点B逆时针旋转90°得到线段BN，过点N作NF⊥BN交BC延长线于点F，连接EF．
（1）如图1，当点M在边AC上时，线段EM，EF，NF的数量关系为　EM+EF＝FN　；
（2）如图2，当点M在射线CA上时，判断线段EM，EF，NF的数量关系并说明理由；
（3）当点M在射线CA上运动时，能否存在△BEF为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM的长．

【解答】解：（1）结论：EM+EF＝FN．
理由：如图1中，延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE交FE的延长线于G，设FN交BT于K．

∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CA＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∴∠BAC＝∠BTC＝45°，
∴∠ABT＝90°，
∵ME⊥BM，BN⊥FN，
∴∠BME＝∠BNK＝90°，
∵∠ABT＝∠MBN＝90°，
∴∠EBM＝∠KBN，
∵BM＝BN，
∴△EBM≌△KBN（ASA），
∴BE＝BK，
∵∠EBF＝∠KBF＝45°，BE＝BK，BF＝BF，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFK，
∵BG⊥FG，BN⊥FN，
∴∠G＝∠BNF＝90°，
∵BF＝BF，
∴△BFG≌△BFN（AAS），
∴BG＝BN，FG＝FN，
∵BM＝BN，
∴BG＝BM，
∵∠G＝∠BME＝90°，BE＝BE，
∴Rt△BEG≌Rt△BEM（HL），
∵EG＝EM，
∴EM+EF＝FG＝FN．
故答案为：EM+EF＝FN．

（2）如图2中，结论：EF＝EM＝FN．
理由：延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE于G，延长FN交BT的延长线于K．

∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CA＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∴∠BAC＝∠BTC＝45°，
∴∠ABT＝90°，
∵ME⊥BM，BN⊥FN，
∴∠BME＝∠BNK＝90°，
∵∠ABT＝∠MBN＝90°，
∴∠EBM＝∠KBN，
∵BM＝BN，
∴△EBM≌△KBN（ASA），
∴BE＝BK，
∵∠EBF＝∠KBF＝45°，BE＝BK，BF＝BF，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFK，
∵BG⊥FG，BN⊥FN，
∴∠G＝∠BNF＝90°，
∵BF＝BF，
∴△BFG≌△BFN（AAS），
∴BG＝BN，FG＝FN，
∵BM＝BN，
∴BG＝BM，
∵∠BGE＝∠BME＝90°，BE＝BE，
∴Rt△BEG≌Rt△BEM（HL），
∵EG＝EM，
∴EF﹣EM＝EF﹣EG＝FG＝FN．

（3）①当点M与A重合时，EB＝EF，此时CM＝CA＝2．
②如图3中，当BE＝BF时，过点B作BG⊥EF于G．

由2可知，△FBN≌△FBG≌△EBG≌≌EBM，
∴∠ABM＝∠ABG＝∠GBF＝∠FBN＝22.5°，
∵∠BAC＝∠MBA+∠AMB＝45°，
∴∠AMB﹣∠ABM＝22.5°，
∴AB＝AM＝＝＝2，
∴CM＝2+2，
综上所述，满足条件的CM的值为2或2+2．
16．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一点（不与点B，C重合），连接AD．
（1）如图1，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，点D，F都在线段BC上，且∠DAF＝45°．
①求证：DF2＝BD2+CF2．
②若BD＝4，CF＝3，求△ADF的周长．

【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，
∴∠BAD＝90°﹣∠DAC＝∠CAE，AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CE；
（2）①∵将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，∠DAF＝45°，
∴∠DAF＝∠EAF＝45°，AD＝AE，
又AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS），
∴DF＝EF，
而BD⊥CE有CE2+CF2＝EF2，且BD＝CE，
∴DF2＝BD2+CF2；
（3）过A作AH⊥BC于H，

∵BD＝4，CF＝3，DF2＝BD2+CF2，
∴DF＝5，BC＝12，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，
∴AH＝BH＝CH＝BC＝6，
∴DH＝BH﹣BD＝2，HF＝CH﹣CF＝3，
Rt△ADH中，AD＝＝2，
Rt△AFH，AF＝＝3，
∴△ADF的周长为DF+AD+AF＝5+2+3．
17．如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC；AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：BD＝DE+CE；
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；
（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的位置关系．

【解答】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE+CE．

（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE﹣CE．

（3）同（2）的方法得出，BD＝DE﹣CE．

（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE．
当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
18．在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为AC上一点，AB＝AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．
（1）如图1，若点M与点G重合，AH＝2，BC＝，求CE的长；
（2）如图2，若AB＝BM，连接MH，∠HMG＝∠MAH，求证：AM＝2HM；
（3）如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．

【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AE，
∴△BAE为等腰直角三角形，
∵AG⊥BE，
∴AH是△BAE的中线，
∴BE＝2AH＝4，
∵∠BEA＝45°，
∴∠BEC＝135°，
在△BCE中，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，如图1，

∵∠DEC＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
设ED＝x，则DC＝x，CE＝x，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2+DC2，
即，
∴x1＝1或x2＝﹣5（舍去），
∴CE＝；
（2）如图2，过H作HD⊥HM交AM于点D，连接BD，

∵AB＝AE，∠BAC＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AG⊥BE，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴BH＝AH，∠BAN＝45°，∠BHA＝90°，
∵AB＝BM，
∴∠BAM＝∠BMA，
∵∠HMG＝∠MAH，
∴∠BAM﹣∠MAH＝∠BMA﹣∠HMG，
即∠BAH＝∠AMH＝45°，
∵HD⊥HM，
∴△DHM为等腰直角三角形，
∴DH＝HM，∠DHM＝90°，
∵∠BHD＝∠BHA+∠AHD，∠AHM＝∠DHM+∠AHD，
∴∠BHD＝∠AHM，
在△BHD与△AHM中，
，
∴△BHD≌△AHM（SAS），
∴∠DBH＝∠MAH，BD＝AM，
∴∠BHA＝∠BDA＝90°，
∵BA＝BM，
∴D是AM的中点，
∴AM＝2DM＝2HM，
即AM＝2HM；
（3）∵H是BE的中点，M是BC的中点，
∴MH是△BCE的中位线，
∴MH∥CE，
∴∠AMH＝∠MAC，
∵∠BAC＝90°，
∴AM＝BM，
∴∠MAB＝∠ABM，
∵点B与点N关于线段AM对称，
∴∠ABM＝∠ANM，AB＝AN，
∴AE＝AN，
∴∠AEN＝∠ANE，
在△AEN中，∠NAE+2∠ANE＝180°①，
∵∠ANE＝∠ANM+∠MNE，∠ABM＝∠ANM＝∠MAB＝90°﹣∠MAC，
∴∠ANE＝90°﹣∠MAC+∠MNE，
∴∠ANE＝90°﹣∠AMH+∠MNE②，
将②代入①，得：∠NAE+2×（90°﹣∠AMH+∠MNE）＝180°，
∴∠NAE+180°﹣2∠AMH+2∠MNE＝180°，
∴∠NAE+2∠MNE＝2∠AMH．
19．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．

（1）如图1，点D在BC边上．
①求证：AB＝BE+BD；
②若BE＝2BD＝2，求CD的长．
（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．
【解答】（1）①证明：如图1中，

由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°．过点D作DF⊥CB交AB于点F，则∠F＝90°，
∴∠C＝∠ADE＝∠F＝90°，
∴∠ADC+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DEF＝90°，
∴∠ADC＝∠DEF，
∴△ADC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF，CD＝EF，
∵AC＝BC，
∴BC＝DF，
∴CD＝BF，
∴EF＝BF，
∴BE＝EF＝CD，
∵AB＝BC，BC＝CD+BD，
∴AB＝CD+BD＝BE+BD．

②解：由①得，
在等腰直角△ABC中，
∴，．

（2）结论：BD＝BE+AB．理由如下：
如图2，过D作DF⊥DB交BA的延长线于点F，

∵∠BCA＝90°，AC＝CB，
∴∠F＝∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴DF＝DB，
由旋转可得，∠BDF＝∠EDA＝90°，AD＝ED，
∴∠FDA＝∠BDE，
∴△DAF≌△DEB（SAS），
∴AF＝BE，
又∵等腰Rt△BDF中，BF＝BD，BF＝BA+AF，
∴BD＝BE+AB．
20．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠APQ是△ABC的一个外角，
∴∠APQ＝∠B+∠BAP，
∵∠BAP＝15°，
∴∠APQ＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQB＝60°．

（2）①图形如图2所示．

②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．
理由：连接MC．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP＝CQ，
∵点Q关于直线AC的对称点为M，
∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，
∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，
∴∠BAC＝∠PAM＝90°，
在Rt△APM中，AP＝AM，∠PAM＝90°，
∴PM＝，
∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，
∴∠PCM＝90°，
在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，
∴PC2+CM2＝PM2，
∴PC2+BP2＝2AP2．