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2021年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学一模试题（word版 含答案）
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这是一份2021年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学一模试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30 成功定点于距离地球36 000公里的地球同步轨道．将36 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
5．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则S△ABC的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
7．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是_____．
12．如果将抛物线y＝x2向右平移2个单位，向上平移3个单位长度，那么所得新的抛物线的表达式是_____．
13．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．
14．我国快递业务逐年增加，2017年至2019年快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为_____________________．
15．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有____（填序号）．
16．已知，在等腰中，于点，且，则等腰底角的度数为_________．
三、解答题
17．先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣2．
18．某平台推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，同答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
19．某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
21．为响应“地球熄灯一小时”的号召，某饭店在当天晚上推出烛光晚餐活动．计划用2000元购进一定数量的蜡烛，因为是批量购买，每支蜡烛的价格比原价低20%，结果用相同的费用比原计划多购进25支，则每支蜡烛的原价为多少？
22．如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．
（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
23．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA任x轴上，OC在y轴上，B（4，3），点M从点A开始，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动，设△AOM的面积为S，点M运动的时间为t．
（1）当0＜t＜3时，AM＝ ，当7＜t＜10时，OM＝ ；（用t的代数式表示）
（2）当△AOM为等腰三角形时，t＝ ；
（3）当7＜t＜10时，求S关于t的函数关系式；
（4）当S＝4时，求t的值．
24．如图是有公共边AB的两个直角三角形，其中AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请写出线段AD，BD，CD的数量关系，并证明．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为直线1，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E为y轴上一点，当AE＝CE时，直接写出点E的坐标；
（3）设点P为直线BC上方抛物线上一点，
①连接OP交BC于点Q，过点P作PRy轴交BC于点R，若OQ＝2PQ，求点P的坐标；
②过P作PH⊥BC于点H，直接写出PH的最大值及取得最大值时P点坐标．
参考答案
1．C
【分析】
利用科学记数法表示数的方法求解即可．
【详解】
解：36 000用科学记数法表示为：3.6×104，
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键．
2．D
【分析】
根据该几何体的主视图与左视图、俯视图确定形状即可．
【详解】
解：由该几何体的主视图、左视图、俯视图均为一个矩形，且三个矩形大小不一，则该几何体是长方体．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是三视图的相关知识，具备丰富的空间想象力成为解答本题的关键．
3．C
【分析】
先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】
A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
4．D
【分析】
设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【详解】
解：设反比例函数解析式为y=，
将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=-．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
5．B
【分析】
因为，所以在4到5之间，由此可得出答案.
【详解】
解：∵，
∴．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
6．C
【分析】
利用割补法求△ABC面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可．
【详解】
解：在网格中添加字母如图，
S△AEB=，
S△AFC=，
S△BGC=，
S正方形=，
∴S△ABC= S正方形- S△AEB- S△AFC- S△BGC=9-1-3-．
故选择C．
【点睛】
本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键．
7．A
【分析】
利用加减消元法解出的值即可．
【详解】
解：
①+②得：，解得：，
把代入②中得：，解得：，
∴方程组的解为：；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的方法是解决本类题目的关键．
8．D
【分析】
根据切线的性质可得，再根据三角形内角和求出.
【详解】
∵AB是的切线
∴
∵
∴
故选D.
【点睛】
本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.
9．D
【分析】
利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可．
【详解】
解：∵O，D两点的坐标分别是，，
∴OD＝6，
∵四边形是正方形，
∴OB⊥BC，OB=BC=6
∴C点的坐标为：，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标和正方形的性质，正确求出OB，BC的长度是解决本题的关键．
10．D
【分析】
本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
【详解】
由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
11．
【分析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
a3﹣6a2b+9ab2
＝a（a2﹣6ab+9b2）
＝a（a﹣3b）2
故答案：．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，提公因式法和公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解完全。
12．．
【分析】
根据抛物线的平移变换规律：“上加下减，左加右减”，把变换后解析式化简即可得出结果．
【详解】
解:抛物线的平移变换规律为“上加下减，左加右减”，
将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移变换，属于基础题，熟练掌握抛物线的平移变换规律是解题的关键．
13．
【分析】
首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】
解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：，
∴tan∠ABF=，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=，
解得：PB=，
故AB=m，
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．
14．5000（1+x）2=7500
【分析】
设2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则年业务收入为元，年的业务收入为元，从而可得答案．
【详解】
解：设2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题，掌握利用一元二次方程解决增长率问题是解题的关键．
15．①④
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点以及过特殊点时，相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为x=1，过（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=1时，y=a+b+c，即（1，a+b+c）为最高点，
∴二次函数的最大值为a+b+c；因此①正确；
∵当x=-1时，y=a-b+c=0，因此②不正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac＞0，因此③不正确；
由图象可知，当y＞0时，-1＜x＜3，因此④正确；
综上所述，正确的有：①④，
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握抛物线的位置与相应的系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
16．45°或15°或75°
【分析】
分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；当AB=BC时，根据AD=BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数．
【详解】
①如图1，当AB=AC时，
∵AD⊥BC，∴BD=CD，
∵AD=BC，∴AD=BD=CD，∴底角为45°；
②如图2，当AB=BC时，
∵AD=BC，∴AD=AB，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角为75°．
③如图3，当AB=BC时，
∵AD=BC，AB=BC，∴AD=AB，∴∠DBA=30°，∴∠BAC=∠BCA=15°；
∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．
故答案为：45°或15°或75°．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
17．；．
【分析】
先把括号中两项通分并计算同时把除式分母因式分解，利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=-2代入计算即可．
【详解】
解：（1+）÷
=
=
=，
当a=－2时，原式=．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题关键．
18．（1）500；108；（2）B等级200（人），补全条形统计图见详解；（3）估计该校需要培训的学生人数为200人．
【分析】
（1）根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360°的30%即360°×30%即可；
（2）根据扇形统计图中B选项占40%，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可；
（3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为×100%，由此估计2000名学生所占的百分比也为×100%，进而求出该校需要培训的学生人数．
【详解】
解：（1）由条形统计图A等级比较熟练人数由150人，由扇形统计图A等级比较熟练人数占比例为30%，
∴样本容量=150÷30%=500（人），
∴扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角=360°×30%=108°，
故答案为：500；108；
（2）由扇形统计图可知B等级人数占40%，
B等级比较熟练的人数为=500×40%=200（人），补全条形统计图如下：
（3）由扇形统计图可知D等级“不太熟练或不熟练”的同学人数为50人，占样本50÷500×100%=10%
“不太熟练或不熟练”的同学人数=2000×10%=200（人）
∴估计该校需要培训的学生人数为200人．
【点睛】
本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、补画条形统计图，扇形统计图的圆心角，用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的之间的关系是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】
（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】
解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为，
故答案为：
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能，
所以：两名同学均来自八年级的概率
【点睛】
本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．
20．（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形
21．每支蜡烛的原价为20元．
【分析】
设每支蜡烛的原价为x元，根据等量关系是总费用除以每支蜡烛的原价+25=总费用除以每支蜡烛的价格比原价低20%的价格，列方程求解即可．
【详解】
解：设每支蜡烛的原价为x元，
根据题意得：，
整理得，
解得x=20元，
经检验x=20元符合题意，
答每支蜡烛的原价为20元．
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题步骤和方法，抓住等量关系是列方程是解题关键．
22．（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2）．
【分析】
（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
（1）AE与⊙O相切，理由如下：
连接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，则，
∴∠DAC=90°，
∴CD为⊙O的直径，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴，
∴，
∴，∠AOD=60°，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
23．（1）t，10-t；（2）5；（3）S=20-2t；（4）2或8．
【分析】
（1）利用路程，速度和时间的关系求解即可；
（2）由题意可知只有等MA=MO，此时点M在线段BC上，进一步CM=BM=2解答即可；
（3）当7
【详解】
解：（1）当0
故填：t，10-t；
（2）∵四边形ABCO是矩形，B（4，3）
∴OA=BC=4，AB=OC=3，
∵△AOM为等腰三角形，
∴只有当MA=MO，此时点M在线段BC上，CM=BM=2，
∴t=3+2=5
故填：5；
（3）∵当7
（4）①当点M在线段AB上时，4=×4t，解得t=2；
②当点M在线段BC上时，S=6，不符合题意；
当点M在线段OC上时，4=20-2t，解得t=8．
综上所述，满足条件的的值为2或8．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活应用所学知识并掌握分类讨论的思想成为解答本题的关键．
24．(1) ①CD=CE， CD⊥CE；证明见详解，②AD+BD=CD，证明见详解；(2) AD-BD=CD，证明见详解．
【分析】
(1)①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC=180°，推出∠DBC=∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD=CE，∠BCD=∠ACE，求得∠DCE=90°，根据垂直的定义得到结论；
②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形，求得DE=CD，根据线段的和差即可得到结论；
(2)如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠ABC=45°，求得∠CBD=∠CAE，根据全等三角形的性质得到CD=CE，∠BCD=∠ACE，求得∠DCE=90°，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】
(1)证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵∠EAC+∠DAC=180°，
∴∠DBC=∠EAC，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA=90°，
∴∠ACE+∠DCA=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠DCA =90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD=CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得DE=，
∴DE==CD，
∵DE=AD+AE，AE=BD，
∴DE=AD+BD，
∴AD+BD=CD；
(2)解：AD-BD=CD；
理由：如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DBC=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD，
∵∠EAC=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD，
∴∠DBC=∠EAC，
在△CBD和△CAE中，
∴△CBD≌△CAE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠BCE=90°，
即∠DCE=90°，
∴DE===CD，
∵DE=AD-AE=AD-BD，
∴AD-BD=CD．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（1）抛物线的解析式为；（2）点E（0，）；（3）①P（2，3），②PH最大=，P（2，3）．
【分析】
（1）利用待定系数法将A（﹣2，0）、B（4，0）两点坐标代入解析式得，解方程组即可；
（2）设点E（0，m）,由AE＝CE，由勾股定理可得 ，解方程即可；
（3）①设P（t, ）过P作直线PF平行y轴，交BC于F，利用待定系数法求BC解析式为，可得F（t, ）,PF=-()=，由OC∥PF，可证△COQ∽△FPQ，可求，列方程，解方程即可；
②先求出OC=3，OB=4，BC=5，由PF平行OC，可得∠HFP=∠OCB，由三角函数可得sin∠HFP=sin∠OCB=，可求，PH=，配方可得PH，由-1，二次函数开口向下，有最大值求出即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
∴，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设点E（0，m），则OE=m，
当x=0时，y=3,
∴C（0,3），
∵OA=2，OC=3，OE=m，AE＝CE，
∴AE=CE=3-m，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，即，
，
解得，
点E（0，）；
（3）①设P（t, ）过P作直线PF平行y轴，交BC于F，
设BC解析式为，
把B、C坐标代入得，
解得，
∴BC解析式为，
∴F（t, ）,
PF=-()=，
∵OC∥PF，
∴∠QCO=∠QFP，∠COQ=∠FPQ，
∴△COQ∽△FPQ，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴P（2，3），
②∵OC=3，OB=4，
∴BC=，
∵PF平行OC，
∴∠HFP=∠OCB，
∴sin∠HFP=sin∠OCB=，
∴，
∴PH=，
，
，
，
∵-1，二次函数开口向下，由最大值，
当t=2时，PH最大=，
．
P（2，3）．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，勾股定理，相似三角形判定与性质，锐角三角函数定义，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，勾股定理，相似三角形判定与性质，锐角三角函数定义，关键是利用勾股定理构造方程，利用相似三角形性质构造函数，利用锐角三角函数构造函数是解题关键．
2021年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30 成功定点于距离地球36 000公里的地球同步轨道．将36 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
5．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则S△ABC的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
7．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是_____．
12．如果将抛物线y＝x2向右平移2个单位，向上平移3个单位长度，那么所得新的抛物线的表达式是_____．
13．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．
14．我国快递业务逐年增加，2017年至2019年快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为_____________________．
15．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有____（填序号）．
16．已知，在等腰中，于点，且，则等腰底角的度数为_________．
三、解答题
17．先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣2．
18．某平台推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，同答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
19．某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
21．为响应“地球熄灯一小时”的号召，某饭店在当天晚上推出烛光晚餐活动．计划用2000元购进一定数量的蜡烛，因为是批量购买，每支蜡烛的价格比原价低20%，结果用相同的费用比原计划多购进25支，则每支蜡烛的原价为多少？
22．如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．
（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
23．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA任x轴上，OC在y轴上，B（4，3），点M从点A开始，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动，设△AOM的面积为S，点M运动的时间为t．
（1）当0＜t＜3时，AM＝ ，当7＜t＜10时，OM＝ ；（用t的代数式表示）
（2）当△AOM为等腰三角形时，t＝ ；
（3）当7＜t＜10时，求S关于t的函数关系式；
（4）当S＝4时，求t的值．
24．如图是有公共边AB的两个直角三角形，其中AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请写出线段AD，BD，CD的数量关系，并证明．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为直线1，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E为y轴上一点，当AE＝CE时，直接写出点E的坐标；
（3）设点P为直线BC上方抛物线上一点，
①连接OP交BC于点Q，过点P作PRy轴交BC于点R，若OQ＝2PQ，求点P的坐标；
②过P作PH⊥BC于点H，直接写出PH的最大值及取得最大值时P点坐标．
参考答案
1．C
【分析】
利用科学记数法表示数的方法求解即可．
【详解】
解：36 000用科学记数法表示为：3.6×104，
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键．
2．D
【分析】
根据该几何体的主视图与左视图、俯视图确定形状即可．
【详解】
解：由该几何体的主视图、左视图、俯视图均为一个矩形，且三个矩形大小不一，则该几何体是长方体．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是三视图的相关知识，具备丰富的空间想象力成为解答本题的关键．
3．C
【分析】
先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】
A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
4．D
【分析】
设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【详解】
解：设反比例函数解析式为y=，
将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=-．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
5．B
【分析】
因为，所以在4到5之间，由此可得出答案.
【详解】
解：∵，
∴．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
6．C
【分析】
利用割补法求△ABC面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可．
【详解】
解：在网格中添加字母如图，
S△AEB=，
S△AFC=，
S△BGC=，
S正方形=，
∴S△ABC= S正方形- S△AEB- S△AFC- S△BGC=9-1-3-．
故选择C．
【点睛】
本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键．
7．A
【分析】
利用加减消元法解出的值即可．
【详解】
解：
①+②得：，解得：，
把代入②中得：，解得：，
∴方程组的解为：；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的方法是解决本类题目的关键．
8．D
【分析】
根据切线的性质可得，再根据三角形内角和求出.
【详解】
∵AB是的切线
∴
∵
∴
故选D.
【点睛】
本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.
9．D
【分析】
利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可．
【详解】
解：∵O，D两点的坐标分别是，，
∴OD＝6，
∵四边形是正方形，
∴OB⊥BC，OB=BC=6
∴C点的坐标为：，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标和正方形的性质，正确求出OB，BC的长度是解决本题的关键．
10．D
【分析】
本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
【详解】
由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
11．
【分析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
a3﹣6a2b+9ab2
＝a（a2﹣6ab+9b2）
＝a（a﹣3b）2
故答案：．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，提公因式法和公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解完全。
12．．
【分析】
根据抛物线的平移变换规律：“上加下减，左加右减”，把变换后解析式化简即可得出结果．
【详解】
解:抛物线的平移变换规律为“上加下减，左加右减”，
将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移变换，属于基础题，熟练掌握抛物线的平移变换规律是解题的关键．
13．
【分析】
首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】
解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：，
∴tan∠ABF=，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=，
解得：PB=，
故AB=m，
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．
14．5000（1+x）2=7500
【分析】
设2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则年业务收入为元，年的业务收入为元，从而可得答案．
【详解】
解：设2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题，掌握利用一元二次方程解决增长率问题是解题的关键．
15．①④
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点以及过特殊点时，相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为x=1，过（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=1时，y=a+b+c，即（1，a+b+c）为最高点，
∴二次函数的最大值为a+b+c；因此①正确；
∵当x=-1时，y=a-b+c=0，因此②不正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac＞0，因此③不正确；
由图象可知，当y＞0时，-1＜x＜3，因此④正确；
综上所述，正确的有：①④，
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握抛物线的位置与相应的系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
16．45°或15°或75°
【分析】
分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；当AB=BC时，根据AD=BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数．
【详解】
①如图1，当AB=AC时，
∵AD⊥BC，∴BD=CD，
∵AD=BC，∴AD=BD=CD，∴底角为45°；
②如图2，当AB=BC时，
∵AD=BC，∴AD=AB，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角为75°．
③如图3，当AB=BC时，
∵AD=BC，AB=BC，∴AD=AB，∴∠DBA=30°，∴∠BAC=∠BCA=15°；
∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．
故答案为：45°或15°或75°．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
17．；．
【分析】
先把括号中两项通分并计算同时把除式分母因式分解，利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=-2代入计算即可．
【详解】
解：（1+）÷
=
=
=，
当a=－2时，原式=．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题关键．
18．（1）500；108；（2）B等级200（人），补全条形统计图见详解；（3）估计该校需要培训的学生人数为200人．
【分析】
（1）根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360°的30%即360°×30%即可；
（2）根据扇形统计图中B选项占40%，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可；
（3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为×100%，由此估计2000名学生所占的百分比也为×100%，进而求出该校需要培训的学生人数．
【详解】
解：（1）由条形统计图A等级比较熟练人数由150人，由扇形统计图A等级比较熟练人数占比例为30%，
∴样本容量=150÷30%=500（人），
∴扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角=360°×30%=108°，
故答案为：500；108；
（2）由扇形统计图可知B等级人数占40%，
B等级比较熟练的人数为=500×40%=200（人），补全条形统计图如下：
（3）由扇形统计图可知D等级“不太熟练或不熟练”的同学人数为50人，占样本50÷500×100%=10%
“不太熟练或不熟练”的同学人数=2000×10%=200（人）
∴估计该校需要培训的学生人数为200人．
【点睛】
本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、补画条形统计图，扇形统计图的圆心角，用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的之间的关系是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】
（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】
解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为，
故答案为：
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能，
所以：两名同学均来自八年级的概率
【点睛】
本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．
20．（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形
21．每支蜡烛的原价为20元．
【分析】
设每支蜡烛的原价为x元，根据等量关系是总费用除以每支蜡烛的原价+25=总费用除以每支蜡烛的价格比原价低20%的价格，列方程求解即可．
【详解】
解：设每支蜡烛的原价为x元，
根据题意得：，
整理得，
解得x=20元，
经检验x=20元符合题意，
答每支蜡烛的原价为20元．
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题步骤和方法，抓住等量关系是列方程是解题关键．
22．（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2）．
【分析】
（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
（1）AE与⊙O相切，理由如下：
连接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，则，
∴∠DAC=90°，
∴CD为⊙O的直径，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴，
∴，
∴，∠AOD=60°，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
23．（1）t，10-t；（2）5；（3）S=20-2t；（4）2或8．
【分析】
（1）利用路程，速度和时间的关系求解即可；
（2）由题意可知只有等MA=MO，此时点M在线段BC上，进一步CM=BM=2解答即可；
（3）当7
【详解】
解：（1）当0
故填：t，10-t；
（2）∵四边形ABCO是矩形，B（4，3）
∴OA=BC=4，AB=OC=3，
∵△AOM为等腰三角形，
∴只有当MA=MO，此时点M在线段BC上，CM=BM=2，
∴t=3+2=5
故填：5；
（3）∵当7
（4）①当点M在线段AB上时，4=×4t，解得t=2；
②当点M在线段BC上时，S=6，不符合题意；
当点M在线段OC上时，4=20-2t，解得t=8．
综上所述，满足条件的的值为2或8．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活应用所学知识并掌握分类讨论的思想成为解答本题的关键．
24．(1) ①CD=CE， CD⊥CE；证明见详解，②AD+BD=CD，证明见详解；(2) AD-BD=CD，证明见详解．
【分析】
(1)①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC=180°，推出∠DBC=∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD=CE，∠BCD=∠ACE，求得∠DCE=90°，根据垂直的定义得到结论；
②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形，求得DE=CD，根据线段的和差即可得到结论；
(2)如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠ABC=45°，求得∠CBD=∠CAE，根据全等三角形的性质得到CD=CE，∠BCD=∠ACE，求得∠DCE=90°，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】
(1)证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵∠EAC+∠DAC=180°，
∴∠DBC=∠EAC，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA=90°，
∴∠ACE+∠DCA=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠DCA =90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD=CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得DE=，
∴DE==CD，
∵DE=AD+AE，AE=BD，
∴DE=AD+BD，
∴AD+BD=CD；
(2)解：AD-BD=CD；
理由：如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DBC=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD，
∵∠EAC=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD，
∴∠DBC=∠EAC，
在△CBD和△CAE中，
∴△CBD≌△CAE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠BCE=90°，
即∠DCE=90°，
∴DE===CD，
∵DE=AD-AE=AD-BD，
∴AD-BD=CD．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（1）抛物线的解析式为；（2）点E（0，）；（3）①P（2，3），②PH最大=，P（2，3）．
【分析】
（1）利用待定系数法将A（﹣2，0）、B（4，0）两点坐标代入解析式得，解方程组即可；
（2）设点E（0，m）,由AE＝CE，由勾股定理可得 ，解方程即可；
（3）①设P（t, ）过P作直线PF平行y轴，交BC于F，利用待定系数法求BC解析式为，可得F（t, ）,PF=-()=，由OC∥PF，可证△COQ∽△FPQ，可求，列方程，解方程即可；
②先求出OC=3，OB=4，BC=5，由PF平行OC，可得∠HFP=∠OCB，由三角函数可得sin∠HFP=sin∠OCB=，可求，PH=，配方可得PH，由-1，二次函数开口向下，有最大值求出即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
∴，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设点E（0，m），则OE=m，
当x=0时，y=3,
∴C（0,3），
∵OA=2，OC=3，OE=m，AE＝CE，
∴AE=CE=3-m，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，即，
，
解得，
点E（0，）；
（3）①设P（t, ）过P作直线PF平行y轴，交BC于F，
设BC解析式为，
把B、C坐标代入得，
解得，
∴BC解析式为，
∴F（t, ）,
PF=-()=，
∵OC∥PF，
∴∠QCO=∠QFP，∠COQ=∠FPQ，
∴△COQ∽△FPQ，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴P（2，3），
②∵OC=3，OB=4，
∴BC=，
∵PF平行OC，
∴∠HFP=∠OCB，
∴sin∠HFP=sin∠OCB=，
∴，
∴PH=，
，
，
，
∵-1，二次函数开口向下，由最大值，
当t=2时，PH最大=，
．
P（2，3）．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，勾股定理，相似三角形判定与性质，锐角三角函数定义，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，勾股定理，相似三角形判定与性质，锐角三角函数定义，关键是利用勾股定理构造方程，利用相似三角形性质构造函数，利用锐角三角函数构造函数是解题关键．
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