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2021年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷
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这是一份2021年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数是无理数的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．π D．
2．（2分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000用科学记数法可表示为（ ）
A．4.5×1010 B．4.5×109 C．4.5×108 D．45×108
3．（2分）如图，是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+2a＝3a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据1，3，5，3，4的中位数是5
B．为了解全国中小学生的心理健康状况，应选用普查方式
C．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
D．若甲、乙两人六次跳远成绩平均数相同，S2甲＝0.1，S2乙＝0.3，则甲的成绩较稳定
6．（2分）化简+的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
7．（2分）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为（ ）
A． B． C．π D．
9．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
10．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：xy2﹣4x＝ ．
12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
13．（3分）在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有 个白球．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，过点A作y轴的垂线交y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是 ．
15．（3分）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝12时，PQ的长是 ．
16．（3分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为 ．
三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2cos30°+（﹣）﹣2+|5﹣|﹣（π﹣3.14）0．
18．（8分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛奶，E：核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
19．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：AD＝EB；
（2）若∠DCE＝15°，AB＝2，请直接写出DE的长．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）网络学习越来越受到学生的青睐，某校为学生提供了四种课后辅助学习方式：A网上测试，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生需从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，m的值是 ，D对应的扇形圆心角的度数是 度；
（3）根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校800名学生中最喜欢方式D的学生人数．
21．（8分）某零件生产厂生产的某型号零件1月份平均日产量为2000个，由于市场需求量大增，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到2420个．假设该型号零件2，3，4每个月平均日产量增长率相同．
（1）求该型号零件日产量的月平均增长率；
（2）预计4月份该型号零件平均日产量为多少个？
五、（本题10分）
22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．
（1）求∠DEB的度数；
（2）若⊙O的半径为2，点F在AB的延长线上，且BF＝2，求证：DF与⊙O相切．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的表达式；
（2）点P是直线l2上的一个动点，过点P作EF⊥x轴于点E，交直线l1于点F，
①若PF＝AB，求点P的坐标．
②过点P作PQ⊥l1于点Q，若PQ＝2PE，请直接写出点P的坐标．
七、（本题12分）
24．（12分）正方形ABCD，点E在射线CD上，连接AE，以AE为斜边，作Rt△AEF，FE＝FA（点F，B在直线AE的两侧），连接DF．
（1）如图，点E在线段CD上．
①求∠ADF的度数．
②求证：CE＝DF．
（2）若DE＝2，以A，E，D，F为顶点的四边形的面积为6时，请直接写出DF的长．
八、（本题12分）
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）经过点P（3，8），与x轴交于点A，B（7，0），对称轴直线l交x轴于点M，过点C（3，0）作射线CD交直线l于点D（D在x轴上方），AE∥CD交直线l于点E，EF∥x轴交射线CD于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，当MD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当MD＝1时，过点F作FG⊥x轴于点G，点H为射线FG上一点，连接CE，当直线AH与直线CE的夹角为45°时，请直接写出FH的长．
2021年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数是无理数的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．π D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣3是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、π是无理数，故本选项符合题意；
D、＝2，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（2分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000用科学记数法可表示为（ ）
A．4.5×1010 B．4.5×109 C．4.5×108 D．45×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：450000000用科学记数法表示为：4.5×108．
故选：C．
3．（2分）如图，是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+2a＝3a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
【分析】A选项考查的是同底数幂的除法，底数不变，指数相减．B选项不是同类项，不能相加减．C选项是积的乘方，底数不变，指数分别相乘．D选项中考了多项式的乘方或者看成完全平方和公式．
【解答】解：A．a6÷a2＝a6﹣2＝a4．
B．a2+2a不是同类项，无法运算．
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6．
D．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
故选：C．
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据1，3，5，3，4的中位数是5
B．为了解全国中小学生的心理健康状况，应选用普查方式
C．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
D．若甲、乙两人六次跳远成绩平均数相同，S2甲＝0.1，S2乙＝0.3，则甲的成绩较稳定
【分析】利用中位数的定义、调查方式的选择、事件的性质的判断及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组数据1，3，5，3，4的中位数是3，故原命题错误，不符合题意；
B、为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽查的方式，故原命题错误，不符合题意；
C、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故原命题错误，不符合题意；
D、若甲、乙两人六次跳远成绩平均数相同，S2甲＝0.1，S2乙＝0.3，则甲的成绩较稳定，正确，符合题意，
故选：D．
6．（2分）化简+的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝+＝＝，
故选：B．
7．（2分）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
8．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为（ ）
A． B． C．π D．
【分析】根据已知条件得到∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴扇形AOB的面积＝＝，
故选：B．
9．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选：D．
10．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝＝2，
∵点A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），
又∵5＞3＞2，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣4x，
＝x（y2﹣4），
＝x（y+2）（y﹣2）．
12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13．（3分）在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有 30 个白球．
【分析】根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
袋中球的总数为：10÷＝40，
则白球约为40﹣10＝30（个），
故答案为30．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，过点A作y轴的垂线交y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是 4 ．
【分析】由△ABC的面积＝AC×（yA﹣yB）＝×m×（n+n）＝mn＝4，即求解．
【解答】解：设点A的坐标为（m，n），
∵点A在反比例函数图象上，则mn＝4，
∵点A、B在直线y＝kx上，则点A、B关于原点对称，
则点B（﹣m，﹣n），
则△ABC的面积＝AC×（yA﹣yB）＝×m×（n+n）＝mn＝4，
故答案为4．
15．（3分）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝12时，PQ的长是 ．
【分析】由图象可知：AE＝6，BE＝8，∠DAE＝∠CEB＝α，设：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，conα＝，在Rt△BCE中，sinα＝＝，由（sinα）2+（conα）2＝1，即可求解．
【解答】解：由图象可知：
AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，
设：AD＝BC＝a，
在Rt△ADE中，cosα＝，
在Rt△BCE中，sinα＝＝，
由（sinα）2+（cosα）2＝1，解得：，
当x＝12时，即EN＝6，则y＝MN•sin∠CEB＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为 ﹣1或1 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当AG＝AH时，如图2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当AG＝AH时，
∵AG＝AH，
∴∠AHG＝∠AGH，
∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，
∴∠AHG＝∠A1BG，
∴∠A1GB＝∠A1BG，
∴AB＝AG＝5，
∴GC1＝A1G﹣C1G＝1，
∵∠BC1G＝90°，
∴BG＝＝＝，
∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5﹣，
∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5﹣）＝﹣1．
如图2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．
同法可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，则有x2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝，
∴BG＝，AG＝5﹣＝，
∵GM∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
∵GA＝GH，GM⊥AH，
∴AM＝HM，
∴AH＝3，
∴CH＝AC﹣AM＝1．
综上所述，满足条件的CH的值为﹣1或1．
三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2cos30°+（﹣）﹣2+|5﹣|﹣（π﹣3.14）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×+4+3﹣5﹣1
＝+4+3﹣5﹣1
＝4﹣2．
18．（8分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛奶，E：核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
A
B
C
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
由表知，共有6种等可能结果，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种结果，
所以两人选购到同一种类奶制品的概率为＝．
19．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：AD＝EB；
（2）若∠DCE＝15°，AB＝2，请直接写出DE的长．
【分析】（1）此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△ECB，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．
（2）根已知条件得到：∠CBE＝∠ADB＝30°，利用含30度角的直角三角形的性质求得相关线段的长度即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，CE⊥BD于E，
∴∠A＝∠CEB＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠ADB．
在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AD＝BE；
（2）解：∵∠DCE＝15°，CE⊥BD于E，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠BCE＝60°，∠CBE＝∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AB＝2．
∴BD＝4，AD＝BE＝2．
∴DE＝BD﹣BE＝4﹣2．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）网络学习越来越受到学生的青睐，某校为学生提供了四种课后辅助学习方式：A网上测试，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生需从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）在扇形统计图中，m的值是 30 ，D对应的扇形圆心角的度数是 72 度；
（3）根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校800名学生中最喜欢方式D的学生人数．
【分析】（1）用A的人数除以A的百分比即可；
（2）用C的人数除以样本容量即可得m的值，求出D所占的比例乘以360即可得D对应的扇形圆心角的度数；
（3）求出B的人数补全统计图即可；
（4）用800乘以D的百分比即可．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（名）；
故答案为：50；
（2）15÷50×100%＝30%，即m＝30；×360°＝72°；
故答案为：30，72°；
（3）50﹣20﹣15﹣10＝5（名）；
（4）800×＝160（名）．
答：该校最喜欢方式D的学生约有160名．
21．（8分）某零件生产厂生产的某型号零件1月份平均日产量为2000个，由于市场需求量大增，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到2420个．假设该型号零件2，3，4每个月平均日产量增长率相同．
（1）求该型号零件日产量的月平均增长率；
（2）预计4月份该型号零件平均日产量为多少个？
【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
2000（1+x）2＝2420，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）2420（1+0.1）＝2662（个）．
答：预计4月份平均日产量为2662个．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．
（1）求∠DEB的度数；
（2）若⊙O的半径为2，点F在AB的延长线上，且BF＝2，求证：DF与⊙O相切．
【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；
（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．
【解答】解：（1）连接OB，如图，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，如图，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝2，OB＝2，
∴tan∠BOF＝＝，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的表达式；
（2）点P是直线l2上的一个动点，过点P作EF⊥x轴于点E，交直线l1于点F，
①若PF＝AB，求点P的坐标．
②过点P作PQ⊥l1于点Q，若PQ＝2PE，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据题意先求出C点坐标，再用待定系数法即可求出；
（2）①设出P点坐标，分情况根据PF＝AB求出即可，
②设出P点坐标（n，﹣2n+6）再求出Q点的坐标，根据PQ＝2PE的数量关系求出n值进而求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）由题知点C（1，m）在直线l1上，
∴将点C代入y＝x+，
得m＝+＝4，
故C（1，4），
设l2的解析式为y＝kx+b，代入A、C点坐标，
得，
解得，
∴l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）①设P点的坐标为（n，﹣2n+6），
则E点的坐标为（n，0），F点的坐标为（n，n+），
令y＝0，得0＝x+，
∴B（﹣2，0），
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，
若P在F上方时：﹣2n+6﹣（n+）＝5，解得n＝﹣，
即P（﹣，7），
若P在F下方时：n+﹣（﹣2n+6）＝5，解得n＝，
即P（，1），
综上，若PF＝AB，P点的坐标为（﹣，7）或（，1）；
②设P点的坐标为（n，﹣2n+6），设直线l1于y轴交于点D，设PQ交x轴于M，交y轴于N，
由题知PQ⊥l1于点Q，
∴∠DBO+∠NMO＝90°，
又∵∠BDO+∠DBO＝90°，
∴∠NMO＝∠BDO，
又∵∠BOD＝∠BQM＝90°，
∴△BOD∽△NOM，
∴＝，
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
则OM＝﹣，ON＝b，
由题知OB＝2，OD＝，
∴＝，即＝，
解得k＝﹣，
∴直线PQ的解析式可写为y＝﹣x+b，
将P代入PQ解析式得﹣2n+6＝﹣n+b，
解得b＝﹣n+6，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣n+6，①
又∵直线l1：y＝x+，②
联立①②解得Q点坐标（﹣n+，﹣n+），
PQ2＝[n﹣（﹣n+）]2+[（﹣2n+6）﹣（﹣n+）]2＝4（n﹣1）2，
（2PE）2＝4PE2＝4（﹣2n+6）2，
∵PQ＝2PE，
∴4（n﹣1）2＝4（﹣2n+6）2，
解得n＝或n'＝5，
故P（，）或（5，﹣4）．
七、（本题12分）
24．（12分）正方形ABCD，点E在射线CD上，连接AE，以AE为斜边，作Rt△AEF，FE＝FA（点F，B在直线AE的两侧），连接DF．
（1）如图，点E在线段CD上．
①求∠ADF的度数．
②求证：CE＝DF．
（2）若DE＝2，以A，E，D，F为顶点的四边形的面积为6时，请直接写出DF的长．
【分析】（1）①设EF与AD交于点G，先证明△DEG≌△AFG，从而得，再证明△AEGO∽△FDG，进而即可得到答案；
②连接AC，可证明△CAE≌△DAF，进而即可得到论；
（2）分两种情况：①当点E在线段CD上时，过点F作FH⊥AD，设正方形ABCD的边长为a，列出方程，进而即可求解；
②当点E在CD的延长线上时，过点F作FM⊥AE，FN⊥AD，连接AC，设正方形ABCD边长为a，列出方程，进而即可求解．
【解答】解：（1）①设EF与AD交于点G，
在正方形ABCD中，∠EDG90°，
又在R△AEF中，∠AFE＝90°，
∴∠EDG＝∠AFE，
∵∠DGE＝∠FGA，
∴△DFG∽△FAG，
∴，
又∵∠EGA＝∠DGF，
∴△AEG∽△FDG，
∴∠ADF＝∠AFF＝45°．
②连接AC，则∠ECA＝∠FDA＝45°，
∵∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠CAE＝45°，
∴∠CAE＝∠DAF，
∴△CAE∽△DAF，
∴＝，
∴CE＝DF；
（2）①当点E在线段CD上时，
则S△ADE+S△ADF＝6，
过点F作FH⊥AD，
∵∠ADF＝45°，
∴HF＝DF，
设方形ABCD的边长为a，
则CE＝a﹣2，DF＝CE＝（a﹣2），
∴2a+a×（a﹣2）×＝6，
解得：a＝4，
∴CE＝4﹣2＝2，
∴DF＝CE＝×2＝，
②当点E在CD的延长线上时，
则S△ADE+S△AEF＝6，
过点F作 FM⊥AE，FN⊥AD，连接AC，
设正方形ABCD的边长为a，
则AE＝＝，
MF＝，
∴×2a+×＝6，
解得a＝2﹣2或a＝﹣2﹣2（舍去），
∴CE＝2﹣2+2＝2，
同（1）题可得：△CAE∽△DAF，
∴＝，
∴DF＝CE＝×2＝2，
综上所述：DF＝或2．
八、（本题12分）
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）经过点P（3，8），与x轴交于点A，B（7，0），对称轴直线l交x轴于点M，过点C（3，0）作射线CD交直线l于点D（D在x轴上方），AE∥CD交直线l于点E，EF∥x轴交射线CD于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，当MD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当MD＝1时，过点F作FG⊥x轴于点G，点H为射线FG上一点，连接CE，当直线AH与直线CE的夹角为45°时，请直接写出FH的长．
【分析】（1）将P（3，8）、B（7，0）代入y＝ax2+bx﹣7，列方程组求出a、b的值即可；
（2）先求抛物线的对称轴的解析式，再由平行四边形的性质求出点F的横坐标并且将此横坐标代入抛物线的解析式，求出点F的纵坐标，再由相似三角形的性质求出MD的长；
（3）设AH与CE交于点Q，由∠ANQ＝∠ECA＝45°，证明△ACQ∽△ECA，由相似三角形的性质先求出CQ的长，再求HG的长，从而求出FH的长；用同样的方法求出点H的FG的延长线上时FH的长．
【解答】解：（1）把P（3，8）、B（7，0）代入y＝ax2+bx﹣7，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8x﹣7．
（2）∵y＝ax2+bx﹣7＝﹣（x﹣4）2+9，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝4；
由ax2+bx﹣7＝0，得x1＝1，x2＝7，
∴A（1，0）．
∵C（3，0），
∴AC＝3﹣1＝2．
∵AE∥CD，EF∥AC，
∴四边形ACFE是平行四边形，
∴EF＝AC＝2，
∴点F的横坐标是x＝4+2＝6．
如图1，当点F恰好落在抛物线上，则y＝﹣62+8×6﹣7＝5，
∴EM＝5，DE＝5﹣MD．
∵∠CMD＝∠FED＝90°，∠DCM＝∠DFE，CM＝4﹣3＝1，
∴＝tan∠DFE，，
解得MD＝，
∴当MD＝时，点F恰好落在抛物线上．
（3）∵MD＝MC＝1，∠DEF＝∠CMD＝90°．
∴∠EDF＝∠MDC＝∠MCD＝45°，∠EFD＝45°，
∴EF＝DE＝2，ME＝3，F（6，3）．
如图2，点H在FG上，AH交CE于点Q，∠AQC＝45°，作QN⊥x轴于点N．
∵MA＝4﹣1＝3＝ME，
∴∠EAC＝45°＝∠AQC，
∵∠ECA＝∠ACQ（公共角），
∴△ECA∽△ACQ，
∴，
∵CE＝＝，
∴CQ＝＝＝．
∵＝sin∠ECM，
∴NQ＝＝＝，
∵，
∴CN＝NQ＝＝，AN＝2+＝．
∵＝tan∠HAG，AG＝3+2＝5，
∴＝＝，
FH＝3﹣＝；
如图3，点H在FG的延长线上，AH交EC的延长线于点Q．
同理，△ECA∽△EAQ，
∴，
∴＝＝，
∴＝，
由，得NQ＝×＝，
由，得CN＝NQ＝×＝，
∴AN＝3﹣1﹣＝，
∵＝tan∠HAG，得HG＝＝＝10，
∴FH＝3+10＝13．
综上所述，FH的长为或13．
2021年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数是无理数的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．π D．
2．（2分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000用科学记数法可表示为（ ）
A．4.5×1010 B．4.5×109 C．4.5×108 D．45×108
3．（2分）如图，是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+2a＝3a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据1，3，5，3，4的中位数是5
B．为了解全国中小学生的心理健康状况，应选用普查方式
C．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
D．若甲、乙两人六次跳远成绩平均数相同，S2甲＝0.1，S2乙＝0.3，则甲的成绩较稳定
6．（2分）化简+的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
7．（2分）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为（ ）
A． B． C．π D．
9．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
10．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：xy2﹣4x＝ ．
12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
13．（3分）在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有 个白球．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，过点A作y轴的垂线交y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是 ．
15．（3分）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝12时，PQ的长是 ．
16．（3分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为 ．
三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2cos30°+（﹣）﹣2+|5﹣|﹣（π﹣3.14）0．
18．（8分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛奶，E：核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
19．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：AD＝EB；
（2）若∠DCE＝15°，AB＝2，请直接写出DE的长．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）网络学习越来越受到学生的青睐，某校为学生提供了四种课后辅助学习方式：A网上测试，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生需从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，m的值是 ，D对应的扇形圆心角的度数是 度；
（3）根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校800名学生中最喜欢方式D的学生人数．
21．（8分）某零件生产厂生产的某型号零件1月份平均日产量为2000个，由于市场需求量大增，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到2420个．假设该型号零件2，3，4每个月平均日产量增长率相同．
（1）求该型号零件日产量的月平均增长率；
（2）预计4月份该型号零件平均日产量为多少个？
五、（本题10分）
22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．
（1）求∠DEB的度数；
（2）若⊙O的半径为2，点F在AB的延长线上，且BF＝2，求证：DF与⊙O相切．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的表达式；
（2）点P是直线l2上的一个动点，过点P作EF⊥x轴于点E，交直线l1于点F，
①若PF＝AB，求点P的坐标．
②过点P作PQ⊥l1于点Q，若PQ＝2PE，请直接写出点P的坐标．
七、（本题12分）
24．（12分）正方形ABCD，点E在射线CD上，连接AE，以AE为斜边，作Rt△AEF，FE＝FA（点F，B在直线AE的两侧），连接DF．
（1）如图，点E在线段CD上．
①求∠ADF的度数．
②求证：CE＝DF．
（2）若DE＝2，以A，E，D，F为顶点的四边形的面积为6时，请直接写出DF的长．
八、（本题12分）
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）经过点P（3，8），与x轴交于点A，B（7，0），对称轴直线l交x轴于点M，过点C（3，0）作射线CD交直线l于点D（D在x轴上方），AE∥CD交直线l于点E，EF∥x轴交射线CD于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，当MD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当MD＝1时，过点F作FG⊥x轴于点G，点H为射线FG上一点，连接CE，当直线AH与直线CE的夹角为45°时，请直接写出FH的长．
2021年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数是无理数的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．π D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣3是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、π是无理数，故本选项符合题意；
D、＝2，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（2分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000用科学记数法可表示为（ ）
A．4.5×1010 B．4.5×109 C．4.5×108 D．45×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：450000000用科学记数法表示为：4.5×108．
故选：C．
3．（2分）如图，是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+2a＝3a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
【分析】A选项考查的是同底数幂的除法，底数不变，指数相减．B选项不是同类项，不能相加减．C选项是积的乘方，底数不变，指数分别相乘．D选项中考了多项式的乘方或者看成完全平方和公式．
【解答】解：A．a6÷a2＝a6﹣2＝a4．
B．a2+2a不是同类项，无法运算．
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6．
D．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
故选：C．
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据1，3，5，3，4的中位数是5
B．为了解全国中小学生的心理健康状况，应选用普查方式
C．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
D．若甲、乙两人六次跳远成绩平均数相同，S2甲＝0.1，S2乙＝0.3，则甲的成绩较稳定
【分析】利用中位数的定义、调查方式的选择、事件的性质的判断及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组数据1，3，5，3，4的中位数是3，故原命题错误，不符合题意；
B、为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽查的方式，故原命题错误，不符合题意；
C、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故原命题错误，不符合题意；
D、若甲、乙两人六次跳远成绩平均数相同，S2甲＝0.1，S2乙＝0.3，则甲的成绩较稳定，正确，符合题意，
故选：D．
6．（2分）化简+的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝+＝＝，
故选：B．
7．（2分）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
8．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为（ ）
A． B． C．π D．
【分析】根据已知条件得到∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴扇形AOB的面积＝＝，
故选：B．
9．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选：D．
10．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝＝2，
∵点A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），
又∵5＞3＞2，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣4x，
＝x（y2﹣4），
＝x（y+2）（y﹣2）．
12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13．（3分）在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有 30 个白球．
【分析】根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
袋中球的总数为：10÷＝40，
则白球约为40﹣10＝30（个），
故答案为30．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，过点A作y轴的垂线交y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是 4 ．
【分析】由△ABC的面积＝AC×（yA﹣yB）＝×m×（n+n）＝mn＝4，即求解．
【解答】解：设点A的坐标为（m，n），
∵点A在反比例函数图象上，则mn＝4，
∵点A、B在直线y＝kx上，则点A、B关于原点对称，
则点B（﹣m，﹣n），
则△ABC的面积＝AC×（yA﹣yB）＝×m×（n+n）＝mn＝4，
故答案为4．
15．（3分）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝12时，PQ的长是 ．
【分析】由图象可知：AE＝6，BE＝8，∠DAE＝∠CEB＝α，设：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，conα＝，在Rt△BCE中，sinα＝＝，由（sinα）2+（conα）2＝1，即可求解．
【解答】解：由图象可知：
AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，
设：AD＝BC＝a，
在Rt△ADE中，cosα＝，
在Rt△BCE中，sinα＝＝，
由（sinα）2+（cosα）2＝1，解得：，
当x＝12时，即EN＝6，则y＝MN•sin∠CEB＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为 ﹣1或1 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当AG＝AH时，如图2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当AG＝AH时，
∵AG＝AH，
∴∠AHG＝∠AGH，
∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，
∴∠AHG＝∠A1BG，
∴∠A1GB＝∠A1BG，
∴AB＝AG＝5，
∴GC1＝A1G﹣C1G＝1，
∵∠BC1G＝90°，
∴BG＝＝＝，
∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5﹣，
∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5﹣）＝﹣1．
如图2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．
同法可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，则有x2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝，
∴BG＝，AG＝5﹣＝，
∵GM∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
∵GA＝GH，GM⊥AH，
∴AM＝HM，
∴AH＝3，
∴CH＝AC﹣AM＝1．
综上所述，满足条件的CH的值为﹣1或1．
三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2cos30°+（﹣）﹣2+|5﹣|﹣（π﹣3.14）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×+4+3﹣5﹣1
＝+4+3﹣5﹣1
＝4﹣2．
18．（8分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛奶，E：核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
A
B
C
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
由表知，共有6种等可能结果，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种结果，
所以两人选购到同一种类奶制品的概率为＝．
19．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：AD＝EB；
（2）若∠DCE＝15°，AB＝2，请直接写出DE的长．
【分析】（1）此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△ECB，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．
（2）根已知条件得到：∠CBE＝∠ADB＝30°，利用含30度角的直角三角形的性质求得相关线段的长度即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，CE⊥BD于E，
∴∠A＝∠CEB＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠ADB．
在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AD＝BE；
（2）解：∵∠DCE＝15°，CE⊥BD于E，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠BCE＝60°，∠CBE＝∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AB＝2．
∴BD＝4，AD＝BE＝2．
∴DE＝BD﹣BE＝4﹣2．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）网络学习越来越受到学生的青睐，某校为学生提供了四种课后辅助学习方式：A网上测试，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生需从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）在扇形统计图中，m的值是 30 ，D对应的扇形圆心角的度数是 72 度；
（3）根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校800名学生中最喜欢方式D的学生人数．
【分析】（1）用A的人数除以A的百分比即可；
（2）用C的人数除以样本容量即可得m的值，求出D所占的比例乘以360即可得D对应的扇形圆心角的度数；
（3）求出B的人数补全统计图即可；
（4）用800乘以D的百分比即可．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（名）；
故答案为：50；
（2）15÷50×100%＝30%，即m＝30；×360°＝72°；
故答案为：30，72°；
（3）50﹣20﹣15﹣10＝5（名）；
（4）800×＝160（名）．
答：该校最喜欢方式D的学生约有160名．
21．（8分）某零件生产厂生产的某型号零件1月份平均日产量为2000个，由于市场需求量大增，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到2420个．假设该型号零件2，3，4每个月平均日产量增长率相同．
（1）求该型号零件日产量的月平均增长率；
（2）预计4月份该型号零件平均日产量为多少个？
【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
2000（1+x）2＝2420，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）2420（1+0.1）＝2662（个）．
答：预计4月份平均日产量为2662个．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．
（1）求∠DEB的度数；
（2）若⊙O的半径为2，点F在AB的延长线上，且BF＝2，求证：DF与⊙O相切．
【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；
（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．
【解答】解：（1）连接OB，如图，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，如图，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝2，OB＝2，
∴tan∠BOF＝＝，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的表达式；
（2）点P是直线l2上的一个动点，过点P作EF⊥x轴于点E，交直线l1于点F，
①若PF＝AB，求点P的坐标．
②过点P作PQ⊥l1于点Q，若PQ＝2PE，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据题意先求出C点坐标，再用待定系数法即可求出；
（2）①设出P点坐标，分情况根据PF＝AB求出即可，
②设出P点坐标（n，﹣2n+6）再求出Q点的坐标，根据PQ＝2PE的数量关系求出n值进而求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）由题知点C（1，m）在直线l1上，
∴将点C代入y＝x+，
得m＝+＝4，
故C（1，4），
设l2的解析式为y＝kx+b，代入A、C点坐标，
得，
解得，
∴l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）①设P点的坐标为（n，﹣2n+6），
则E点的坐标为（n，0），F点的坐标为（n，n+），
令y＝0，得0＝x+，
∴B（﹣2，0），
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，
若P在F上方时：﹣2n+6﹣（n+）＝5，解得n＝﹣，
即P（﹣，7），
若P在F下方时：n+﹣（﹣2n+6）＝5，解得n＝，
即P（，1），
综上，若PF＝AB，P点的坐标为（﹣，7）或（，1）；
②设P点的坐标为（n，﹣2n+6），设直线l1于y轴交于点D，设PQ交x轴于M，交y轴于N，
由题知PQ⊥l1于点Q，
∴∠DBO+∠NMO＝90°，
又∵∠BDO+∠DBO＝90°，
∴∠NMO＝∠BDO，
又∵∠BOD＝∠BQM＝90°，
∴△BOD∽△NOM，
∴＝，
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
则OM＝﹣，ON＝b，
由题知OB＝2，OD＝，
∴＝，即＝，
解得k＝﹣，
∴直线PQ的解析式可写为y＝﹣x+b，
将P代入PQ解析式得﹣2n+6＝﹣n+b，
解得b＝﹣n+6，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣n+6，①
又∵直线l1：y＝x+，②
联立①②解得Q点坐标（﹣n+，﹣n+），
PQ2＝[n﹣（﹣n+）]2+[（﹣2n+6）﹣（﹣n+）]2＝4（n﹣1）2，
（2PE）2＝4PE2＝4（﹣2n+6）2，
∵PQ＝2PE，
∴4（n﹣1）2＝4（﹣2n+6）2，
解得n＝或n'＝5，
故P（，）或（5，﹣4）．
七、（本题12分）
24．（12分）正方形ABCD，点E在射线CD上，连接AE，以AE为斜边，作Rt△AEF，FE＝FA（点F，B在直线AE的两侧），连接DF．
（1）如图，点E在线段CD上．
①求∠ADF的度数．
②求证：CE＝DF．
（2）若DE＝2，以A，E，D，F为顶点的四边形的面积为6时，请直接写出DF的长．
【分析】（1）①设EF与AD交于点G，先证明△DEG≌△AFG，从而得，再证明△AEGO∽△FDG，进而即可得到答案；
②连接AC，可证明△CAE≌△DAF，进而即可得到论；
（2）分两种情况：①当点E在线段CD上时，过点F作FH⊥AD，设正方形ABCD的边长为a，列出方程，进而即可求解；
②当点E在CD的延长线上时，过点F作FM⊥AE，FN⊥AD，连接AC，设正方形ABCD边长为a，列出方程，进而即可求解．
【解答】解：（1）①设EF与AD交于点G，
在正方形ABCD中，∠EDG90°，
又在R△AEF中，∠AFE＝90°，
∴∠EDG＝∠AFE，
∵∠DGE＝∠FGA，
∴△DFG∽△FAG，
∴，
又∵∠EGA＝∠DGF，
∴△AEG∽△FDG，
∴∠ADF＝∠AFF＝45°．
②连接AC，则∠ECA＝∠FDA＝45°，
∵∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠CAE＝45°，
∴∠CAE＝∠DAF，
∴△CAE∽△DAF，
∴＝，
∴CE＝DF；
（2）①当点E在线段CD上时，
则S△ADE+S△ADF＝6，
过点F作FH⊥AD，
∵∠ADF＝45°，
∴HF＝DF，
设方形ABCD的边长为a，
则CE＝a﹣2，DF＝CE＝（a﹣2），
∴2a+a×（a﹣2）×＝6，
解得：a＝4，
∴CE＝4﹣2＝2，
∴DF＝CE＝×2＝，
②当点E在CD的延长线上时，
则S△ADE+S△AEF＝6，
过点F作 FM⊥AE，FN⊥AD，连接AC，
设正方形ABCD的边长为a，
则AE＝＝，
MF＝，
∴×2a+×＝6，
解得a＝2﹣2或a＝﹣2﹣2（舍去），
∴CE＝2﹣2+2＝2，
同（1）题可得：△CAE∽△DAF，
∴＝，
∴DF＝CE＝×2＝2，
综上所述：DF＝或2．
八、（本题12分）
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）经过点P（3，8），与x轴交于点A，B（7，0），对称轴直线l交x轴于点M，过点C（3，0）作射线CD交直线l于点D（D在x轴上方），AE∥CD交直线l于点E，EF∥x轴交射线CD于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，当MD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当MD＝1时，过点F作FG⊥x轴于点G，点H为射线FG上一点，连接CE，当直线AH与直线CE的夹角为45°时，请直接写出FH的长．
【分析】（1）将P（3，8）、B（7，0）代入y＝ax2+bx﹣7，列方程组求出a、b的值即可；
（2）先求抛物线的对称轴的解析式，再由平行四边形的性质求出点F的横坐标并且将此横坐标代入抛物线的解析式，求出点F的纵坐标，再由相似三角形的性质求出MD的长；
（3）设AH与CE交于点Q，由∠ANQ＝∠ECA＝45°，证明△ACQ∽△ECA，由相似三角形的性质先求出CQ的长，再求HG的长，从而求出FH的长；用同样的方法求出点H的FG的延长线上时FH的长．
【解答】解：（1）把P（3，8）、B（7，0）代入y＝ax2+bx﹣7，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8x﹣7．
（2）∵y＝ax2+bx﹣7＝﹣（x﹣4）2+9，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝4；
由ax2+bx﹣7＝0，得x1＝1，x2＝7，
∴A（1，0）．
∵C（3，0），
∴AC＝3﹣1＝2．
∵AE∥CD，EF∥AC，
∴四边形ACFE是平行四边形，
∴EF＝AC＝2，
∴点F的横坐标是x＝4+2＝6．
如图1，当点F恰好落在抛物线上，则y＝﹣62+8×6﹣7＝5，
∴EM＝5，DE＝5﹣MD．
∵∠CMD＝∠FED＝90°，∠DCM＝∠DFE，CM＝4﹣3＝1，
∴＝tan∠DFE，，
解得MD＝，
∴当MD＝时，点F恰好落在抛物线上．
（3）∵MD＝MC＝1，∠DEF＝∠CMD＝90°．
∴∠EDF＝∠MDC＝∠MCD＝45°，∠EFD＝45°，
∴EF＝DE＝2，ME＝3，F（6，3）．
如图2，点H在FG上，AH交CE于点Q，∠AQC＝45°，作QN⊥x轴于点N．
∵MA＝4﹣1＝3＝ME，
∴∠EAC＝45°＝∠AQC，
∵∠ECA＝∠ACQ（公共角），
∴△ECA∽△ACQ，
∴，
∵CE＝＝，
∴CQ＝＝＝．
∵＝sin∠ECM，
∴NQ＝＝＝，
∵，
∴CN＝NQ＝＝，AN＝2+＝．
∵＝tan∠HAG，AG＝3+2＝5，
∴＝＝，
FH＝3﹣＝；
如图3，点H在FG的延长线上，AH交EC的延长线于点Q．
同理，△ECA∽△EAQ，
∴，
∴＝＝，
∴＝，
由，得NQ＝×＝，
由，得CN＝NQ＝×＝，
∴AN＝3﹣1﹣＝，
∵＝tan∠HAG，得HG＝＝＝10，
∴FH＝3+10＝13．
综上所述，FH的长为或13．
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