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    2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷

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    这是一份2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷,共30页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷
    一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序号填入答题卡相应位置,每小题2分,共20分)
    1.(2分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    2.(2分)下面的数中,与﹣3的和为0的是(  )
    A.3 B.﹣3 C. D.
    3.(2分)如图是由三个相同的小正方体组成的几何体,则该几何体的左视图是(  )

    A. B. C. D.
    4.(2分)下列运算结果正确的是(  )
    A.3x﹣2x=1 B.x3÷x2=x
    C.x3•x2=x6 D.x2+y2=(x+y)2
    5.(2分)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的直角边互相垂直,则∠1的度数是
    (  )

    A.95° B.100° C.105° D.110°
    6.(2分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    7.(2分)下列事件为必然事件的是(  )
    A.打开电视机,正在播放新闻
    B.任意画一个三角形,其内角和是180°
    C.买一张电影票,座位号是奇数号
    D.掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上
    8.(2分)如果关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是(  )
    A.m>2 B.m<2 C.m>2且m≠1 D.m<2且m≠1
    9.(2分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)(  )

    A.8﹣π B.16﹣2π C.8﹣2π D.8﹣π
    10.(2分)如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8,则该直线的函数表达式是(  )

    A.y=﹣x+4 B.y=x+4 C.y=x+8 D.y=﹣x+8
    二、填空题(每小题3分,共18分)
    11.(3分)因式分解:3ax2﹣3ay2=   .
    12.(3分)方程x2=2x的解是   .
    13.(3分)一次数学测试,某小组5名同学的成绩统计如表(有两个数据被遮盖):
    组员





    平均成绩
    众数
    得分
    81
    77

    80
    82
    80

    则被遮盖的两个数据依次是   .
    14.(3分)计算的结果等于   .
    15.(3分)如图,平面直角坐标系中,等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=(x>0)的图象上.若AB=1,则k的值为   .

    16.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=60°,CE∥AB交AD于点E,AB=8,CE=6,点F在CE上,且EF:FC=2:1,连接AF,则AF的长为   .

    三、解答题(第17题6分,第18、19题各8分,共22分)
    17.(6分)计算:.
    18.(8分)一只不透明的袋子中,装有三个大小、质地都相同的乒乓球,球面上分别标有字母A、O、K.搅匀后先从袋中任意摸出一个球,将对应字母记入图中的左边方格内;然后将球放回袋中搅匀,再从袋中任意摸出一个球,将对应字母记入图中的右边方格内.
    (1)第一次摸到字母A的概率为   ;
    (2)用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率.

    19.(8分)如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.
    (1)求证:四边形BEDF为菱形;
    (2)如果∠A=90°,∠C=30°,BD=12,求菱形BEDF的面积.

    四、(第20、21题各8分,共16分)
    20.(8分)某校有学生3000人,现欲开展学校社团活动,准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团.每名学生最多只能报一个社团,也可以不报.为了估计各社团人数,现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查,得到了如图所示的两个不完全统计图.

    结合以上信息,回答下列问题:
    (1)本次抽样调查的样本容量是   ;
    (2)请你补全条形统计图,并在图上标明具体数据;
    (3)求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数;
    (4)请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动.
    21.(8分)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.
    (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
    (2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?
    五、(满分10分)
    22.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.
    (1)求证:∠A=∠ADE;
    (2)若AD=8,DE=5,求BC的长.

    六、(满分10分)
    23.(10分)如图1,已知▱ABCD,AB∥x轴,AB=6,点A的坐标为(1,﹣4),点C的坐标为(3,4),AD交x轴于点E,交y轴于点G,点B在第四象限,点P是▱ABCD边上一个动点.
    (1)求线段OG的长;
    (2)若点P在边AD上,点P关于坐标轴对称的点Q,落在直线y=x﹣上,求点P的坐标.
    (3)若点P在边AB,AD,CD上,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案).

    七、(满分12分)
    24.(12分)如图1,已知菱形ABCD,∠ABC=120°,点E为BC延长线上一点(点E不与点C重合),连接AE,以AE为边,在AE左侧向上作等边△AEF.
    (1)如果∠AEB=15°则∠FAB的度数是   ;
    (2)求证:点F在∠ABC的平分线上;
    (3)将△AEF绕着点A逆时针旋转;
    ①当点E落在AD延长线上时,如图2所示,连接CF,点G是FC中点,连接DG、EG,求证:∠DEG=30°;
    ②在①的条件下,继续旋转△AEF,其他条件不变,当AF与AB在同一条直线上时,若AB=8,EF=20,直接写出DG的长.

    八、(满分12分)
    25.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=与x轴交于点A、B,与y轴交于点E,经过点A的一次函数y=的图象与y轴正半轴交于点C.且与抛物线的另一个交点为D,点D到y轴的距离为4.
    (1)求△ABD的面积;
    (2)过点B做BF⊥x轴,交AD于点F,连接BE,如图2所示.证明:四边形BECF是平行四边形;
    (3)若点P为抛物线上任意一点,当∠ABP=2∠DAB时,直接写出BP所在直线的函数解析式.


    2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序号填入答题卡相应位置,每小题2分,共20分)
    1.(2分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.
    【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意;
    B、不是轴对称图形,是中心对称图形,符合题意;
    C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不合题意;
    D、既是轴对称图形,又是中心对称图形,不合题意.
    故选:B.
    2.(2分)下面的数中,与﹣3的和为0的是(  )
    A.3 B.﹣3 C. D.
    【分析】设这个数为x,根据题意可得方程x+(﹣3)=0,再解方程即可.
    【解答】解:设这个数为x,由题意得:
    x+(﹣3)=0,
    x﹣3=0,
    x=3,
    故选:A.
    3.(2分)如图是由三个相同的小正方体组成的几何体,则该几何体的左视图是(  )

    A. B. C. D.
    【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置,根据左视图是从左面看到的图形判定则可.
    【解答】解:从左边看竖直叠放2个正方形.
    故选:C.
    4.(2分)下列运算结果正确的是(  )
    A.3x﹣2x=1 B.x3÷x2=x
    C.x3•x2=x6 D.x2+y2=(x+y)2
    【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别分析得出答案.
    【解答】解:A、3x﹣2x=x,故此选项错误;
    B、x3÷x2=x,正确;
    C、x3•x2=x5,故此选项错误;
    D、x2+2xy+y2=(x+y)2,故此选项错误;
    故选:B.
    5.(2分)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的直角边互相垂直,则∠1的度数是
    (  )

    A.95° B.100° C.105° D.110°
    【分析】根据题意求出∠2、∠4,根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可.
    【解答】解:由题意得,∠2=45°,∠4=90°﹣30°=60°,
    ∴∠3=∠2=45°,
    由三角形的外角性质可知,∠1=∠3+∠4=105°,
    故选:C.

    6.(2分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
    【解答】解:解不等式x﹣1>0得x>1,
    解不等式5﹣2x≥1得x≤2,
    则不等式组的解集为1<x≤2,
    故选:C.
    7.(2分)下列事件为必然事件的是(  )
    A.打开电视机,正在播放新闻
    B.任意画一个三角形,其内角和是180°
    C.买一张电影票,座位号是奇数号
    D.掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上
    【分析】必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件.
    【解答】解:∵A,C,D选项为不确定事件,即随机事件,故不符合题意.
    ∴一定发生的事件只有B,任意画一个三角形,其内角和是180°,是必然事件,符合题意.
    故选:B.
    8.(2分)如果关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是(  )
    A.m>2 B.m<2 C.m>2且m≠1 D.m<2且m≠1
    【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=22﹣4(m﹣1)>0,然后求出两个不等式的公共部分即可.
    【解答】解:根据题意得m﹣1≠0且△=22﹣4(m﹣1)>0,
    解得m<2且m≠1.
    故选:D.
    9.(2分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)(  )

    A.8﹣π B.16﹣2π C.8﹣2π D.8﹣π
    【分析】根据S阴=S△ABD﹣S扇形BAE计算即可.
    【解答】解:S阴=S△ABD﹣S扇形BAE=×4×4﹣=8﹣2π,
    故选:C.
    10.(2分)如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8,则该直线的函数表达式是(  )

    A.y=﹣x+4 B.y=x+4 C.y=x+8 D.y=﹣x+8
    【分析】设P点坐标为(x,y),由坐标的意义可知PC=x,PD=y,根据围成的矩形的周长为8,可得到x、y之间的关系式.
    【解答】解:如图,过P点分别作PD⊥x轴,PC⊥y轴,垂足分别为D、C,
    设P点坐标为(x,y),
    ∵P点在第一象限,
    ∴PD=y,PC=x,
    ∵矩形PDOC的周长为8,
    ∴2(x+y)=8,
    ∴x+y=4,
    即该直线的函数表达式是y=﹣x+4,
    故选:A.

    二、填空题(每小题3分,共18分)
    11.(3分)因式分解:3ax2﹣3ay2= 3a(x+y)(x﹣y) .
    【分析】当一个多项式有公因式,将其分解因式时应先提取公因式,再对余下的多项式继续分解.
    【解答】解:3ax2﹣3ay2=3a(x2﹣y2)=3a(x+y)(x﹣y).
    故答案为:3a(x+y)(x﹣y)
    12.(3分)方程x2=2x的解是 x1=0,x2=2 .
    【分析】先移项得到x2﹣2x=0,再把方程左边进行因式分解得到x(x﹣2)=0,方程转化为两个一元一次方程:x=0或x﹣2=0,即可得到原方程的解为x1=0,x2=2.
    【解答】解:∵x2﹣2x=0,
    ∴x(x﹣2)=0,
    ∴x=0或x﹣2=0,
    ∴x1=0,x2=2.
    故答案为x1=0,x2=2.
    13.(3分)一次数学测试,某小组5名同学的成绩统计如表(有两个数据被遮盖):
    组员





    平均成绩
    众数
    得分
    81
    77

    80
    82
    80

    则被遮盖的两个数据依次是 80 .
    【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分,再根据众数的意义进行分析即可得出答案.
    【解答】解:根据题意得:
    80×5﹣(81+77+80+82)=80(分),
    则丙的得分是80分;
    众数是80,
    故答案为80,80.
    14.(3分)计算的结果等于 2 .
    【分析】同分母分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
    【解答】解:原式===2.
    故答案为2.
    15.(3分)如图,平面直角坐标系中,等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=(x>0)的图象上.若AB=1,则k的值为 1 .

    【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AC=AB=,∠BAC=45°,再判断△OAB为等腰直角三角形得到OA=,从而得到C(,),然后把C点坐标代入y=中可求出k的值.
    【解答】解:∵△ABC为等腰直角三角形,
    ∴AC=AB=,∠BAC=45°,
    ∵CA⊥x轴,
    ∴∠OAB=45°,
    ∴△OAB为等腰直角三角形,
    ∴OA=AB=,
    ∴C(,),
    把C(,)代入y=得k=×=1.
    故答案为1.
    16.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=60°,CE∥AB交AD于点E,AB=8,CE=6,点F在CE上,且EF:FC=2:1,连接AF,则AF的长为 2 .

    【分析】通过辅助线并利用三角形全等的性质得出各角的大小,再构造直角,利用勾股定理即可求得答案.
    【解答】解:如图所示:连接AC,过A作AM⊥CE于点M;

    ∵AB=AD,BC=CD,AC=AC;
    ∴△ABC≌△ADC(SSS)
    ∴∠CAD=∠CAB=∠BAD=30°,
    ∵CE∥AB,
    ∴∠ACE=∠BAC=30°=∠CAE,
    ∴△ACE为等腰三角形,
    ∴AE=CE=6,
    在Rt△AEM中,
    ∠AEM=∠BAD=60°,
    ∴EM=cos60°×AE=3,
    AM=sin560°×AE=3,
    在Rt△AFM中,
    AM=3,MF=7,
    则AE==.
    故答案为:2.
    三、解答题(第17题6分,第18、19题各8分,共22分)
    17.(6分)计算:.
    【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案.
    【解答】解:原式=2﹣﹣2×+3﹣3﹣2
    =2﹣﹣+3﹣3﹣2
    =﹣﹣.
    18.(8分)一只不透明的袋子中,装有三个大小、质地都相同的乒乓球,球面上分别标有字母A、O、K.搅匀后先从袋中任意摸出一个球,将对应字母记入图中的左边方格内;然后将球放回袋中搅匀,再从袋中任意摸出一个球,将对应字母记入图中的右边方格内.
    (1)第一次摸到字母A的概率为  ;
    (2)用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率.

    【分析】(1)共有3种可能出现的结果,其中是A的只有1种,可求出概率;
    (2)用树状图表示所有可能出现的结果,进而求出相应的概率.
    【解答】解:(1)共有3种可能出现的结果,其中是A的只有1种,
    因此第1次摸到A的概率为,
    故答案为:;
    (2)用树状图表示所有可能出现的结果如下:

    共有9种可能出现的结果,其中从左到右能构成“OK”的只有1种,
    ∴P(组成OK)=.
    19.(8分)如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.
    (1)求证:四边形BEDF为菱形;
    (2)如果∠A=90°,∠C=30°,BD=12,求菱形BEDF的面积.

    【分析】(1)根据平行四边形的和菱形的判定证明即可;
    (2)根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可.
    【解答】证明:(1)∵DE∥BC,DF∥AB,
    ∴四边形BFDE是平行四边形,
    ∵BD是△ABC的角平分线,
    ∴∠EBD=∠DBF,
    ∵DE∥BC,
    ∴∠EDB=∠DBF,
    ∴∠EBD=∠EDB,
    ∴BE=ED,
    ∴平行四边形BFDE是菱形;
    (2)连接EF,交BD于O,

    ∵∠BAC=90°,∠C=30°,
    ∴∠ABC=60°,
    ∵BD平分∠ABC,
    ∴∠DBC=30°,
    ∴BD=DC=12,
    ∵DF∥AB,
    ∴∠FDC=∠A=90°,
    ∴DF=,
    在Rt△DOF中,OF=,
    ∴菱形BFDE的面积=.
    四、(第20、21题各8分,共16分)
    20.(8分)某校有学生3000人,现欲开展学校社团活动,准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团.每名学生最多只能报一个社团,也可以不报.为了估计各社团人数,现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查,得到了如图所示的两个不完全统计图.

    结合以上信息,回答下列问题:
    (1)本次抽样调查的样本容量是 50 ;
    (2)请你补全条形统计图,并在图上标明具体数据;
    (3)求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数;
    (4)请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动.
    【分析】(1)利用摄影社团的人数除以摄影社团所占的百分比即可得到结论;
    (2)求出参与篮球社的人数和国学社的人数,补全条形统计图即可;
    (3)利用科技制作社团所占的百分比乘以360°即可得到结论;
    (4)利用全校学生数乘以参加篮球社团所占的百分比即可得到结论.
    【解答】解:(1)本次抽样调查的样本容量是=50,
    故答案为:50;
    (2)参与篮球社的人数=50×20%=10人,
    参与国学社的人数为50﹣5﹣10﹣12﹣8=15人,
    补全条形统计图如图所示;
    (3)参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为360°×=86.4°;
    (4)3000×20%=600名,
    答:全校有600学生报名参加篮球社团活动.

    21.(8分)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.
    (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
    (2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?
    【分析】(1)利用用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案;
    (2)根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案.
    【解答】解:(1)设乙图书每本价格为x元,则甲图书每本价格是2.5x元,
    根据题意可得:﹣=24,
    解得:x=20,
    经检验得:x=20是原方程的根,
    则2.5x=50,
    答:乙图书每本价格为20元,则甲图书每本价格是50元;

    (2)设购买甲图书本数为a,则购买乙图书的本数为:2a+8,
    故50a+20(2a+8)≤1060,
    解得:a≤10,
    故2a+8≤28,
    答:该图书馆最多可以购买28本乙图书.
    五、(满分10分)
    22.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.
    (1)求证:∠A=∠ADE;
    (2)若AD=8,DE=5,求BC的长.

    【分析】(1)只要证明∠A+∠B=90°,∠ADE+∠B=90°即可解决问题;
    (2)首先证明AC=2DE=10,在Rt△ADC中,DC=6,设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+62,在Rt△ABC中,BC2=(x+8)2﹣102,可得x2+62=(x+8)2﹣102,解方程即可解决问题.
    【解答】(1)证明:连接OD,

    ∵DE是切线,
    ∴∠ODE=90°,
    ∴∠ADE+∠BDO=90°,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠A+∠B=90°,
    ∵OD=OB,
    ∴∠B=∠BDO,
    ∴∠ADE=∠A.
    (2)解:连接CD.
    ∵∠ADE=∠A
    ∴AE=DE,
    ∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°,
    ∴EC是⊙O的切线,
    ∴ED=EC,
    ∴AE=EC,
    ∵DE=5,
    ∴AC=2DE=10,
    在Rt△ADC中,DC=6,
    设BD=x,
    在Rt△BDC中,BC2=x2+62,
    在Rt△ABC中,BC2=(x+8)2﹣102,
    ∴x2+62=(x+8)2﹣102,
    解得x=,
    ∴BC==.
    六、(满分10分)
    23.(10分)如图1,已知▱ABCD,AB∥x轴,AB=6,点A的坐标为(1,﹣4),点C的坐标为(3,4),AD交x轴于点E,交y轴于点G,点B在第四象限,点P是▱ABCD边上一个动点.
    (1)求线段OG的长;
    (2)若点P在边AD上,点P关于坐标轴对称的点Q,落在直线y=x﹣上,求点P的坐标.
    (3)若点P在边AB,AD,CD上,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案).

    【分析】(1)由题意可知A、D点的坐标,用待定系数法求出直线AD解析式,进而求出G点坐标,即得OG长;
    (2)分P、Q分别关系x轴y轴对称两种情况分别求出P点坐标即可;
    (3)分点P在边AB,AD,CD上三种情况分别计算出P点坐标即可.
    【解答】解:(1)∵点A的坐标为(1,﹣4),点C的坐标为(3,4),AB=6,四边形ABCD为平行四边形,
    ∴B(7,﹣4),D(﹣3,4),
    设直线AD的解析式为y=kx+b,
    ∴,
    解得,
    ∴直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2,
    当x=0时,y=﹣2,
    ∴G(0,﹣2),
    即OG=2;
    (2)由(1)可设P(s,﹣2s﹣2),
    ∵P在AD上,
    ∴﹣3≤s≤1,
    ①当P在AD边上关于x轴的对称点在直线y=x﹣上时,
    即Q(s,2s+2)在直线y=x﹣上,
    ∴s﹣=2s+2,
    解得s=﹣,
    ∴Q(﹣,﹣5),
    此时P点坐标为(﹣,5),
    ②当P在AD边上关于y轴的对称点在直线y=x﹣上时,
    即Q(﹣s,﹣2s﹣2)在直线y=x﹣上,
    ∴﹣s﹣=﹣2s﹣2,
    解得s=﹣,
    ∴Q(,﹣1),
    此时P点坐标为(﹣,﹣1),
    综上,P点的坐标为(﹣,5)或(﹣,﹣1);
    (3)①P在CD上时,设P(m,4)且﹣3≤m≤3,设M的对应点为M',
    在Rt△PNM'中,
    ∵PM=PM'=6,PN=4,
    ∴NM'==2,
    在Rt△OGM'中,
    ∵OG2+OM'2=GM'2,
    ∴22+(2+m)2=m2,
    解得m=﹣,
    ∴P(﹣,4),
    根据对称性可知,P(,4)也满足条件,
    ②当点P在AB上时,易知四边形PMGM'是正方形,边长为2,
    此时P(2,﹣4),
    ③当点P在线段AD上时,设AD交x轴于R,
    ∵MG∥x轴,
    ∴∠PRN=∠RGM,
    又∵∠RGM=∠M'GR,∠PRN=∠M'RG,
    ∴∠M'RG=∠M'GR,
    推出M'R=M'G=GM,
    设M'R=M'G=GM=x,
    ∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2,
    ∴R(﹣1,0),
    在Rt△OGM'中,有x2=22+(x﹣1)2,
    解得x=,
    ∴P(﹣,3),
    综上,点P的坐标为(2,﹣4)或(﹣,3)或(,4)或(﹣,4).
    七、(满分12分)
    24.(12分)如图1,已知菱形ABCD,∠ABC=120°,点E为BC延长线上一点(点E不与点C重合),连接AE,以AE为边,在AE左侧向上作等边△AEF.
    (1)如果∠AEB=15°则∠FAB的度数是 105° ;
    (2)求证:点F在∠ABC的平分线上;
    (3)将△AEF绕着点A逆时针旋转;
    ①当点E落在AD延长线上时,如图2所示,连接CF,点G是FC中点,连接DG、EG,求证:∠DEG=30°;
    ②在①的条件下,继续旋转△AEF,其他条件不变,当AF与AB在同一条直线上时,若AB=8,EF=20,直接写出DG的长.

    【分析】(1)利用三角形内角和定理求出∠EAB,可得结论.
    (2)利用全等三角形的性质证明∠ADF+∠ADB=180°,可得结论.
    (3)①延长EG交CD的延长线于H.利用全等三角形的性质证明DE=DH,可得结论.
    ②分两种情形:如图4﹣1中,当点F在BA的延长线上时,延长DG交BF于H,过点D作DK⊥AB于K.如图4﹣2中,当点F在AB的延长线上时,延长DG交BF的延长线于H,过点D作DK⊥AB于K.分别利用勾股定理求解即可.
    【解答】(1)解:如图1中,

    ∵∠ABE=120°,∠AEB=15°,
    ∴∠EAB=180°﹣120°﹣15°=45°,
    ∵△AEF是等边三角形,
    ∴∠EAF=60°,
    ∴∠FAB=∠EAF+∠EAB=105°,
    故答案为:105°.

    (2)证明:如图2中,

    ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
    ∴AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠CBD=60°,
    ∴△ADB是等边三角形,
    ∵∠EAF=∠DAB=60°,
    ∴∠FAD=∠EAB,
    ∵AF=AE,AD=AB,
    ∴△FAD≌△EAB(SAS),
    ∴∠ADF=∠ABE=120°,
    ∵∠ADB=60°,
    ∴∠ADF+∠ADB=180°,
    ∴B,D,F共线.

    (3)①证明:延长EG交CD的延长线于H.

    ∵∠AEF=∠EAB=60°,
    ∴EF∥AB,
    ∵AB∥CD,
    ∴EF∥CH,
    ∴∠GEF=∠H,
    ∵∠EGF=∠HGC,GF=GC,
    ∴△GEF≌△GHC(AAS),
    ∴EF=CH=AE,
    ∵AD=CD,
    ∴DE=DH,
    ∵∠EDH=∠ADC=120°,
    ∴∠DEG=∠H=30°.

    ②解:如图4﹣1中,当点F在BA的延长线上时,延长DG交BF于H,过点D作DK⊥AB于K.

    ∵CD∥FH,
    ∴∠DCG=∠HFG,
    ∵∠CGD=∠FGH,CG=FG,
    ∴△CDG≌△FHG(ASA),
    ∴CD=FH=8,DG=GH,
    ∴BH=BF﹣FH=20,
    ∵DA=DB,DK⊥AB,
    ∴AK=KB=4,
    ∴DK=4,
    ∴KH=16,
    ∴DH===4
    ∴DG=DH=2.
    如图4﹣2中,当点F在AB的延长线上时,延长DG交BF的延长线于H,过点D作DK⊥AB于K.同法可得DG=2,

    综上所述,DG的长为2或2.
    八、(满分12分)
    25.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=与x轴交于点A、B,与y轴交于点E,经过点A的一次函数y=的图象与y轴正半轴交于点C.且与抛物线的另一个交点为D,点D到y轴的距离为4.
    (1)求△ABD的面积;
    (2)过点B做BF⊥x轴,交AD于点F,连接BE,如图2所示.证明:四边形BECF是平行四边形;
    (3)若点P为抛物线上任意一点,当∠ABP=2∠DAB时,直接写出BP所在直线的函数解析式.

    【分析】(1)由抛物线的解析式求出抛物线与x轴两个交点的坐标,连接这两点的线段就是△ABD的底边,点D到y轴的距离就是这边上的高,由三角形的面积公式求出△ABD的面积;
    (2)求出直线BE的解析式,与直线AD的解析式比较,可得两个一次函数的一次项系数(即k值)相等,可判断BE与CF平行;由BF⊥x轴可得BF∥CE,由此可证明四边形BECF是平行四边形;
    (3)通过作辅助线构造与2∠DAB相等的角,使角的一边与直线BP平行,求该边所在直线的解析式,再利用直线BP与该直线的平行关线求直线BP的解析式,再求出直线BP关于x轴对称的直线的解析式,就是BP存在的另一种情况.
    【解答】解:(1)如图1,作DK⊥x轴于点K,则DK=4.
    当y=0时,由=0,得x1=﹣1,x2=3,
    ∴A(﹣1,0),B(3,0),
    ∴AB=3﹣(﹣1)=4,
    ∴S△ABD=AB•DK=×4×4=8.
    (2)证明:如图2,对于y=,当x=0时,y=,
    ∴E(0,).
    设直线BE的解析式为y=kx,则3k=0,解得k=,
    ∴y=x,
    ∵CF所在直线的解析式为y=,
    ∴BE∥CF.
    又∵BF⊥x轴,CE⊥x轴,
    ∴BF∥CE,
    ∴四边形BECF是平行四边形.
    (3)如图3,在OB上取一点G,连接EG,使EG=BG,则∠GEB=∠GBE=∠DAB.
    ∴∠AGE=∠GEB+∠GBE=2∠GBE=2∠DAB;
    作BP∥EG,交抛物线于点P,则∠ABP=∠AGE=2∠DAB.
    ∵∠EOG=90°,OE=,OG=3﹣BG,
    ∴()2+(3﹣BG)2=BG2,
    解得BG=,
    ∴OG=3=,
    ∴G(,0).
    设直线EG的解析式为y=ax﹣,则a=0,解得a=,
    ∴y=x,
    设直线BP的解析式为y=x+b,则4+b=0,解得b=﹣4,
    ∴y=x﹣4;
    设直线BP交y轴于点M,在y轴上另取一点N,使点N与点M关于x轴对称,作直线BN交抛物线于另一点P′,
    ∵M(0,﹣4),
    ∴N(0,4).
    设直线BP′的解析式为y=mx+4,则3m+4=0,解得m=,
    y=x+4.
    综上所述,BP所在直线的函数解析式为,y=x﹣4或y=x+4.





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