2021年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷

这是一份2021年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣的倒数是（　　）
A．﹣4 B．4 C． D．﹣
2．（2分）如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（2分）2021年1月7日，沈阳市举行新冠肺炎疫情防控工作第二十一场新闻发布会，第二轮全员核酸检测已完成近2500000人，均为阴性，将2500000用科学记数法表示为（　　）
A．25×105 B．2.5×106 C．2.5×107 D．0.25×108
4．（2分）如图，AB∥CD，EG平分∠BEF，若∠FGE＝62°，那么∠EFC的度数为（　　）

A．114° B．108° C．98° D．124°
5．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．（2a2）3＝6a6
C．2a•4a＝8a2 D．（a+b）2＝a2+ab+b2
6．（2分）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
B．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．任意一个五边形的外角和等于360°
7．（2分）2021年4月23日是第25个世界读书日，某中学为了解九年级学生假期的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
1
6
7
3
3
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）
A．3，7 B．3，3 C．2，7 D．7，3
8．（2分）一元二次方程3x2+5x+1＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无法判断 D．有两个相等的实数根
9．（2分）如图，一次函数y＝3x和y＝kx+4的图象相交于点A（a，3），不等式3x＞kx+4的解集为（　　）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
10．（2分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D是AB边上一点，若tan∠DCB＝，则线段DB的长度为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：3m2﹣6m+3＝　 　．
12．（3分）不等式4x＞2x﹣7的最小整数解是　 　．
13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为2，则k的值是　 　．

14．（3分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为　 　．

15．（3分）若点A（m﹣3，y1），B（m，y2），C（m+4，y3）都在二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝6，AB＝4，点E为线段BC的中点，动点F从点B出发，沿B→A→D的方向在BA，AD上运动，以每秒1个单位的速度从点B出发，设运动时间为t，将矩形沿EF折叠，点B的对应点为B′，当点B′恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），则t的值为　 　．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：．
18．（8分）在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AC边的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若∠FEA＝2∠ADE，CF＝2，CD＝1，请直接写出AE的长为　 　．

19．（8分）为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，沈阳某校积极筹备第十届校园艺术节，班级一、二班准备在“歌曲串烧”、民族舞蹈”、“民乐演奏”（用字母A，B，C表示这三个节目）分别选择一个节目进行表演．学校把这三个字母分别写在三张完全不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，一班同学随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）小明想了解本校九年级学生对“书画、器乐、艺术、棋类”四项“校本课程”的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图表示不完整的统计图．请结合统计图解答下列问题：

（1）本次抽样调查的学生有　 　人；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，a＝　 　，喜欢艺术活动的学生人数所对应圆心角的度数为　 　度；
（4）全校有学生1800人，估计全校喜欢器乐的学生人数是多少人？
21．（8分）某超市计划购进甲、乙两种文具，已知一件甲种文具进价比一件乙种文具进价少5元，用200元购进甲种文具的件数与400元购进乙种文具的件数相同．
（1）求甲、乙两种文具每件进价分别是多少元；
（2）超市计划用不超过400元资金购进甲、乙两种文具，考虑顾客需求，要求购进甲、乙两种文具共50件，销售一件甲种文具的利润为3元，一件乙种文具的利润为6元．若超市这次购进文具全部售完，请直接写出该超市总共获利最多　 　元．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，使AD＝CD，作以AD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F，过点E作EG⊥BC于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cosB＝，请直接写出EG的长度　 　．

六、（本题10分）
23．（10分）如图，直线l1：y＝﹣x+4与直线l2：y＝2x﹣2的图象交于点A，与x轴交于点B．
（1）填空：A的坐标　 　；B的坐标　 　；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→C→A的路线向点A运动，同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度．沿射线BA方向运动，过点Q作直线l∥y轴，交l2于点M．当点P到达点A时，点Q也停止运动，设动点P运动的时间为t秒，△PQM的面积为S．
①当P在OC上运动时，求S与t的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
②若S＝，请直接写出此时t的值　 　．

七、（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝α，点D是线段AC上一点（点D不与点A，C重合），点E是射线BC上一动点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转，旋转角为α，得到线段DF，连接EF，CF，EG∥AB交AC于点G．
（1）如图1，当α＝60°，点E在线段BC上时，
①线段CF与DG的数量关系是　 　；
②∠FCD的度数是　 　；
（2）如图2，当α＝90°时，点E在线段BC上时，请写出线段CF与DG的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，若AB＝6，AD＝1，CE＝4，请直接写出CF的长度　 　．

八、（本题12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线BC分别与x轴，y轴交于B（3，0），C两点，抛物线y＝ax2+bx﹣经过B，C两点，与x轴交于A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式　 　；
（2）点D是x轴下方抛物线上的一点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，当DE＝时，设点D的横坐标为m，求m的值；
（3）如图2，在y轴的正半轴上取点M，在射线CB上取点N，连接MN，点P为MN的中点，且CP＝，请直接写出CM+CN的最大值　 　．


2021年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣的倒数是（　　）
A．﹣4 B．4 C． D．﹣
【分析】根据负数的倒数是负数，结合倒数的定义直接求解．
【解答】解：﹣的倒数是﹣4，
故选：A．
2．（2分）如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形．
【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：A．
3．（2分）2021年1月7日，沈阳市举行新冠肺炎疫情防控工作第二十一场新闻发布会，第二轮全员核酸检测已完成近2500000人，均为阴性，将2500000用科学记数法表示为（　　）
A．25×105 B．2.5×106 C．2.5×107 D．0.25×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2500000＝2.5×106．
故选：B．
4．（2分）如图，AB∥CD，EG平分∠BEF，若∠FGE＝62°，那么∠EFC的度数为（　　）

A．114° B．108° C．98° D．124°
【分析】由平行线及角平分线的性质求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠FGE＝62°，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠FEG＝∠BEG＝62°，
∴∠EFC＝∠BEF＝∠BEG+∠FEG＝124°．
故选：D．
5．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．（2a2）3＝6a6
C．2a•4a＝8a2 D．（a+b）2＝a2+ab+b2
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、单项式乘单项式、完全平方公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
B、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；
C、2a•4a＝8a2，故此选项正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：C．
6．（2分）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
B．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．任意一个五边形的外角和等于360°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；
B、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件；
C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件；
D任意一个五边形的外角和等于360°，还必然事件；
故选：D．
7．（2分）2021年4月23日是第25个世界读书日，某中学为了解九年级学生假期的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
1
6
7
3
3
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）
A．3，7 B．3，3 C．2，7 D．7，3
【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：∵3出现了7次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3册；
把这些数从小大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是＝3（册）．
故选：B．
8．（2分）一元二次方程3x2+5x+1＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无法判断 D．有两个相等的实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义求解．
【解答】解：∵△＝52﹣4×3×1＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
故选：B．
9．（2分）如图，一次函数y＝3x和y＝kx+4的图象相交于点A（a，3），不等式3x＞kx+4的解集为（　　）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞1时，直线y＝3x都在直线y＝kx+4的上方，于是可得到不等式3x＞kx+4的解集．
【解答】解：把A（a，3）代入y＝3x得3a＝3，解得a＝1，则A点坐标为（1，3），
所以当x＞1时，3x＞kx+4，
即不等式3x＞kx+4的解集为x＞1．
故选：A．
10．（2分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D是AB边上一点，若tan∠DCB＝，则线段DB的长度为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．
【分析】作DE⊥BC于点E，根据tan∠DCB＝及tan45°＝1求出BE长度，再由BD＝BE求解．
【解答】解：作DE⊥BC于点E，

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，AB＝BC＝6，
∴BE＝DE，
∵tan∠DCB＝，
∴＝，
∴CE＝2DE＝2BE，
∴BC＝CE+BE＝3BE＝6，
∴BE＝2，
∴BD＝BE＝2．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：3m2﹣6m+3＝　3（m﹣1）2　．
【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：3m2﹣6m+3
＝3（m2﹣2m+1）
＝3（m﹣1）2．
故答案为：3（m﹣1）2．
12．（3分）不等式4x＞2x﹣7的最小整数解是　x＝﹣3　．
【分析】根据解不等式的方法可以求得等式4x＞2x﹣7的解集，从而可以得到不等式4x＞2x﹣7的最小整数解．
【解答】解：∵4x＞2x﹣7，
∴4x﹣2x＞﹣7，
∴2x＞﹣7，
∴x＞﹣3.5，
∴不等式4x＞2x﹣7的最小整数解是x＝﹣3，
故答案为：x＝﹣3．
13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为2，则k的值是　4　．

【分析】连接AO，将△ABC的面积转化为△ABO的面积，通过反比例函数系数k的几何意义求解．
【解答】解：连接AO，

∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴S△ABC＝S△ABO＝＝2，
∴k＝4．
故答案为：4．
14．（3分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为　1250平方米　．

【分析】设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，由含x代数式表示出菜园面积，再将解析式配方求解．
【解答】解：设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，矩形菜园ABCD面积为y．
由题意得：y＝x（100﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵25＜30，
∴当x＝25时，y＝1250为最大值，
故答案为：1250平方米．
15．（3分）若点A（m﹣3，y1），B（m，y2），C（m+4，y3）都在二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y2＜y1＜y3　．
【分析】先求出二次函数的开口方向，对称轴，再找到点A的对称点为（m+3，y1），由自变量范围m＜m+3＜m+4并结合函数的增减性来判断y2、y1、y3的大小．
【解答】解：由二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）可知，对称轴为直线x＝m，
∵a＝1＞0，
∴二次函数开口向上，当x＝m时，函数取得最小值，即y2最小，
且在x＞m时，y随x的增大而增大，
而点A的对称点为（m+3，y1），
∵m＜m+3＜m+4，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝6，AB＝4，点E为线段BC的中点，动点F从点B出发，沿B→A→D的方向在BA，AD上运动，以每秒1个单位的速度从点B出发，设运动时间为t，将矩形沿EF折叠，点B的对应点为B′，当点B′恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），则t的值为　2　．

【分析】连接BB'，由翻折及点E为BC中点可得B'E＝BE＝EC，即BB'分别垂直EF，AC，再由平行线分线段成比例计求解．
【解答】解：连接BB'，

由翻折可得B'E＝BE，
∵点E为BC中点，
∴B'E＝BE＝EC，
∴∠BB'C＝90°，
又∵BB'⊥EF，
∴EF∥AC，
∴F为AB中点，
∴BF＝AB＝2，
∴t＝2．
故答案为：2．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣（3﹣）+2×﹣1
＝2﹣3++﹣1
＝2﹣2．
18．（8分）在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AC边的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若∠FEA＝2∠ADE，CF＝2，CD＝1，请直接写出AE的长为　　．

【分析】（1）证△AEF≌△CED（AAS），得FE＝DE，再由AE＝CE，即可得出四边形ADCF是平行四边形；
（2）先证AE＝DE，再证平行四边形ADCF是矩形，得∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，然后由勾股定理求出AC＝3，即可求解．
【解答】（1）证明：∵E是AC边的中点，
∴AE＝CE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴FE＝DE，
又∵AE＝CE，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：∵∠FEA＝∠ADE+∠DAE，∠FEA＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴AE＝DE，
由（1）得：四边形ADCF是平行四边形，AE＝CE，FE＝DE，
∴AC＝DE，
∴平行四边形ADCF是矩形，
∴∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，
∴AC＝＝＝3，
∴AE＝AC＝，
故答案为：．
19．（8分）为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，沈阳某校积极筹备第十届校园艺术节，班级一、二班准备在“歌曲串烧”、民族舞蹈”、“民乐演奏”（用字母A，B，C表示这三个节目）分别选择一个节目进行表演．学校把这三个字母分别写在三张完全不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，一班同学随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与所有一班、二班同学表演不同节目的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种结果，其中一班、二班同学表演不同节目共6种，
∴一班、二班同学表演不同节目的概率为＝．

四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）小明想了解本校九年级学生对“书画、器乐、艺术、棋类”四项“校本课程”的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图表示不完整的统计图．请结合统计图解答下列问题：

（1）本次抽样调查的学生有　200　人；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，a＝　20　，喜欢艺术活动的学生人数所对应圆心角的度数为　72　度；
（4）全校有学生1800人，估计全校喜欢器乐的学生人数是多少人？
【分析】（1）从统计图中可知，样本中喜欢“棋类”的有30人，占调查人数的15%，从而可求出调查人数；
（2）由（1）求出“书画”的人数，补全条形统计图；
（3）样本中，“艺术”人数为40，进而求出a，因此相应的圆心角的度数用360°×a%进行计算即可；
（4）用样本估计总体，求出喜欢“器乐“的占比，再用1800乘对应的占比即可．
【解答】解：（1）30÷15%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）200﹣80﹣40﹣30＝50（人），
∴书画的人数为50，
∴条形统计图如图所示：
；
（3）40÷200＝20%；
∴a＝20%；
∴喜欢艺术活动的学生人数所对应圆心角的度数为360°×20%＝72°，
故答案为：20%；72；
（4）80÷200×100%＝40%，
∴全校喜欢器乐的学生人数是1800×40%＝720人．
21．（8分）某超市计划购进甲、乙两种文具，已知一件甲种文具进价比一件乙种文具进价少5元，用200元购进甲种文具的件数与400元购进乙种文具的件数相同．
（1）求甲、乙两种文具每件进价分别是多少元；
（2）超市计划用不超过400元资金购进甲、乙两种文具，考虑顾客需求，要求购进甲、乙两种文具共50件，销售一件甲种文具的利润为3元，一件乙种文具的利润为6元．若超市这次购进文具全部售完，请直接写出该超市总共获利最多　240　元．
【分析】（1）设乙种文具进价x元/件，则甲种文具进价为（x﹣5）元/件，根据“用200元购进甲种文具的件数与400元购进乙种文具的件数相同”列方程求解即可．
（2）设购进甲种文具a件，则购进乙种文具（50﹣a）件，根据购进这两种文具的总资金不超过400元，可列出不等式求解，求出a的取值范围；设总利润为w元，根据题意求出w与a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设乙种文具进价x元/件，则甲种文具进价为（x﹣5）元/件，
根据题意，得，
解得x＝10，
经检验，x＝10原方程的解，
x﹣5＝10﹣5＝5（元），
故甲种文具进价为5元/件，乙种文具进价10元/件；
（2）设购进甲种文具a件，则乙种文具（50﹣a）件，
由题意得，5a+10（50﹣a）≤400．
解得a≥20，
设利润为w元，则w＝3a+6（50x﹣a）＝﹣3a+300，
因为﹣3＜0，所以w随a的增大而减小，
所以当a＝20时利润最大，最大获利为：﹣3×20+300＝240（元）．
故答案为：240．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，使AD＝CD，作以AD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F，过点E作EG⊥BC于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cosB＝，请直接写出EG的长度　　．

【分析】（1）根据直径所对圆周角是直角和等腰三角形的性质，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；
（2）连接AF，直径所对圆周角是直角可证明AF⊥BD，再根据锐角三角函数和勾股定理可得AF的长，再证明EG是△CAF的中位线，进而可得EG的长度．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，DE，
∵AD为⊙O直径，
∵∠AED＝90°，
∴DE⊥AC，
∵AD＝CD，
∴E是AC的中点，
∵O是AD的中点，
∴OE是三角形ACD的中位线，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；

（2）如图，连接AF，
∵AD为⊙O直径，
∵∠AFB＝90°，
∵AB＝6，cosB＝＝，
∴BF＝，
∴AF＝＝＝，
∵EG⊥BC，AF⊥BC，
∴EG∥AF，
∵E是AC的中点，
∴EG是△CAF的中位线，
∴EG＝AF＝．
故答案为：．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，直线l1：y＝﹣x+4与直线l2：y＝2x﹣2的图象交于点A，与x轴交于点B．
（1）填空：A的坐标　（2，2）　；B的坐标　（4，0）　；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→C→A的路线向点A运动，同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度．沿射线BA方向运动，过点Q作直线l∥y轴，交l2于点M．当点P到达点A时，点Q也停止运动，设动点P运动的时间为t秒，△PQM的面积为S．
①当P在OC上运动时，求S与t的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
②若S＝，请直接写出此时t的值　　．

【分析】（1）联立两直线解析式即可求得A点坐标，将y＝0代入直线l2解析式即可求得B点坐标；
（2）①分别用带t的代数式表示出PQ和QM的长度即可得出函数关系式；
②分P点在OC和在CA上两种情况求t值即可．
【解答】解：（1）联立，
解得，
∴A点坐标为（2，2），
将y＝0代入直线l2：y＝2x﹣2中，
解得x＝4，
∴B点坐标为（4，0），
故答案为（2，2），（4，0）；
（2）①设MQ∥y轴交x轴于N，则∠QNB＝90°，
设l1与y轴交点为D，则点D坐标为（0，4），
∵OB＝OD＝4，∠DOB＝90°，
∴∠DBO＝45°，
∴△QBN是等腰直角三角形，NQ＝NB，
∵P、Q的运动速度分别为每秒1单位长度和每秒单位长度，
∴当运动t秒时，OP＝t，BQ＝t，
∴NQ＝NB＝t，ON＝OB﹣NB＝4﹣t，
将x＝4﹣t代入y＝2x﹣2，
得y＝6﹣2t，
∴点M的坐标为（4﹣t，6﹣2t），
即MN＝6﹣2t，
由题知：S＝PQ•QM＝ON•（MN﹣NQ）＝（4﹣t）（6﹣2t﹣t），
即S＝t2﹣9t+12，
②当P点在OC上时，S＝t2﹣9t+12＝，
解得t＝＞2，
∵OC＝2，
∴此时的t都不符合题意舍去，
当P点在CA上时，如图2，
∵OC＝OD，CA∥OB，
∴点A是BD中点，
若P点在CA上时，由P、Q的运动速度可知Q点已经过了A点，
如图所示，此时OP＝t﹣2，BQ＝t，NB＝NQ＝t，ON＝OB﹣NB＝4﹣t，
将x＝4﹣t代入y＝2x﹣2得M（4﹣t，6﹣2t），
即MN＝6﹣2t，
∴S＝PE•QM＝（CE﹣CP）•（NQ﹣MN）＝[t﹣（6﹣2t）]×[（4﹣t）﹣（t﹣2）]，
整理得S＝﹣3t2+15t﹣18＝，
解得t＝，
故答案为．


七、（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝α，点D是线段AC上一点（点D不与点A，C重合），点E是射线BC上一动点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转，旋转角为α，得到线段DF，连接EF，CF，EG∥AB交AC于点G．
（1）如图1，当α＝60°，点E在线段BC上时，
①线段CF与DG的数量关系是　CF＝DG　；
②∠FCD的度数是　60°　；
（2）如图2，当α＝90°时，点E在线段BC上时，请写出线段CF与DG的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，若AB＝6，AD＝1，CE＝4，请直接写出CF的长度　　．

【分析】（1）①结论：CF＝DG．证明△DEG≌△FEC（SAS），可得结论．
②利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论：CF＝DG．利用相似三角形的性质证明即可．
（3）证明CF＝DG，求出DG，可得结论．
【解答】解：（1）①结论：CF＝DG．
理由：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵EG∥AB，
∴∠B＝∠CEG＝60°，
∴∠CEG＝∠ECG＝∠CGE＝60°，
∴△CEG是等边三角形，
∴EG＝EC，
∵DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴ED＝EF，∠DEF＝60°，
∴∠DEF＝∠GEC，
∴∠DEG＝∠FEC，
∵ED＝EF，EG＝EC，
∴△DEG≌△FEC（SAS），
∴CF＝DG．
故答案为：CF＝DG．

②∵△DEG≌△FEC，
∴∠DGE＝∠FCE＝120°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠FCD＝∠ECF﹣∠BCA＝60°，
故答案为：60°．

（2）结论：CF＝DG．
理由：如图2中，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵EG∥AB，
∴∠B＝∠CEG＝45°，
∴∠CGE＝90°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴EC＝EG，
∵DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝ED，∠DEF＝45°，
∴∠DEF＝∠GEC，
∴∠DEG＝∠FEC，
∵＝＝，
∴△DEG∽△FEC，
∴＝＝，
∴CF＝DG．

（3）如图3中，

∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵EG∥AB，
∴∠GEC＝∠B＝30°，
∵DE＝DF，∠EDF＝120°，
∴∠DEF＝∠DFE＝30°，
∴∠DEF＝∠GEC，
∴∠DEG＝∠FEC，
∵＝＝，
∴△DEG∽△FEC，
∴＝＝，
∴CF＝DG，
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴BC＝AB＝6，
∵EG∥AB，
∴＝，
∵EC＝4，
∴＝，
∴CG＝4，
∴AG＝AC﹣CG＝6﹣4＝2，
∵AD＝1，
∴DG＝AG﹣AD＝1，
∴CF＝DG＝，
故答案为：．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线BC分别与x轴，y轴交于B（3，0），C两点，抛物线y＝ax2+bx﹣经过B，C两点，与x轴交于A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式　y＝　；
（2）点D是x轴下方抛物线上的一点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，当DE＝时，设点D的横坐标为m，求m的值；
（3）如图2，在y轴的正半轴上取点M，在射线CB上取点N，连接MN，点P为MN的中点，且CP＝，请直接写出CM+CN的最大值　4　．

【分析】（1）利用待定系数法将A，B坐标代入抛物线解析式y＝ax2+bx﹣中可求；利用抛物线y＝ax2+bx﹣求得点C坐标，用待定系数法可得直线BC的解析式；
（2）利用（1）中的结论，得到用m表示的D，E两点的坐标，分m＞0和m＜0两种情况求得线段DE的长度，列出关于m的方程，解方程即可求得m的值；
（3）利用（1）的结论可得线段OC，OB的长，利用直角三角形的边角关系可得∠OCB＝60°，从而可知当△CMN为等边三角形时，CM+CN最大．由已知和直角三角形的边角关系，结论可求．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx﹣中得：
．
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣﹣．
令x＝0，则y＝﹣．
∴C（0，﹣）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴．
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣．
故答案为：y＝x﹣．
（2）∵D是x轴下方抛物线上的一点，点D的横坐标为m，
∴D（m，）．
∵E在直线BC上且直线DE∥y轴，
∴E（m，）．
当m＞0时，设直线DE交x轴于点F，如图，

则EF＝﹣（）＝，
DF＝﹣（）＝﹣++．
∴DE＝DF﹣EF＝﹣+．
∵DE＝，
∴．
解得：．
当m＜0，设直线DE交x轴于点F，如图，

则EF＝﹣（）＝，
DF＝＝﹣（）＝﹣++．
∴DE＝EF﹣DF＝﹣＝．
∵DE＝，
∴．
解得：m＝（正数不合题意，舍去）．
∴m＝．
综上，m的值为：或．
（3）∵B（3，0），
∴OB＝3．
∵C（0，﹣），
∴OC＝．
在Rt△OBC中，
∵tan∠BCO＝，
∴∠BCO＝60°．
∴当△CMN为等边三角形时，CM+CN最大．

∵△CMN为等边三角形，点P为MN的中点，
∴CM＝CN，CP⊥MN，∠CNM＝60°．
在Rt△CPN中，sin∠CNM＝．
∵CP＝，
∴CN＝＝2．
∴CM+CN的最大值为4．
故答案为：4．