2021年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试题（word版 含答案）

这是一份2021年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试题（word版 含答案），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在0.3，﹣3，0，﹣这四个有理数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．0.3C．0D．﹣
2．如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．截止到2021年4月6日，电影《你好，李焕英》累计票房达到53.96亿元，进入全球前100名，同时贾玲成为了全球票房最高的女导演，其中数据53.96亿用科学记数法表示为（ ）
A．53.96×108B．5.396×1010
C．0.5396×1010D．5.396×109
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（3a2）3＝9a6
C．5a2•4a2＝20a2D．2a4＋3a4＝5a
5．沈阳市三月份连续七天的最高气温分别为10，9，9，7，6，8，5（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．9℃，6℃B．8℃，9℃C．7℃，9℃D．9℃，8℃
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如图，将直尺与含60°角的三角尺叠放在一起，60°角的顶点落在直尺的一边上，其两边与直尺相交，若∠2＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
8．对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣2，﹣1）
B．若点P（﹣2，）和点Q（6，），在该图象上，则＜
C．其图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．y随x的增大而增大
9．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②a﹣b＋c＞0；③2a﹣b＝0；④b2＜4ac；⑤若m为任意实数，则a＋b≥am2＋bm．其中正确的是（ ）
A．①②B．②④C．③⑤D．①⑤
二、填空题
11．因式分解：_____．
12．不等式组的解集是______．
13．半径为5的正六边形的周长为_____．
14．计算的结果是_____．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，且∠ABE＝2∠CBE，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D，点F为DE的中点，连接AF，若DE＝，则AB的长为_____．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段AO，BC上，且满足BQ＝AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是_____．
三、解答题
17．计算：（﹣）﹣1＋＋（3.14﹣π）0﹣|2sin60°﹣1|．
18．如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止．
（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ．
（2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABEO是菱形；
（2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是 ．
20．为响应全推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请在答题卡上直接补全条形统计图；
（3）若该校共有学生800人，试估计该校学生中在本次检测中达到“C（合格）”或合格以上等级（包括“A（优秀）”和“B（良好）”）的学生人数．
21．在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方100m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为30°和45°，求桥AB的长度．（结果保留根号）
22．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，则图中阴影部分的面积是 ．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）经过点A（6，0）和点B（0，9），其图象与直线y＝x交于点C．
（1）求一次函数y＝kx＋b（k≠0）的表达式；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点M，N，设点P的横坐标为m．
①线段PM的长为 ；（用含m的代数式表示）
②当点P，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
③直线l上有一点Q，当∠PQA与∠AOC互余，且△PQA的周长为时，请直接写出点Q的坐标．
24．（1）思维探究：
如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，则三条线段EF，BE，DF满足的等量关系式是 ；小明的思路是：将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置，并说明点G，B，E在同一条直线上，然后证明△AEF≌ 即可得证结论；（只需填空，无需证明）
（2）思维延伸：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝45°，猜想三条线段BD，DE，EC应满足的等量关系，并说明理由；
（3）思维拓广：
如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝5，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝30°，当BD＝1时，请直接写出线段CE的长．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，点P（m，n）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）观察图象，当90°＜∠APB＜180°时，请直接写出m的取值范围；
（4）当点P在对称轴的右侧，且∠APB＝90°时，将抛物线沿x轴方向平移k个单位长度，点D，P平移后的对应点分别为D'，P'，是否存在一个k值，使四边形ABP'D'的周长最短？若存在，请直接写出平移方向（“向左”或“向右”）和k的值；若不存在，请说明理由．
等级
频数
频率
A
a
0.3
B
35
0.35
C
31
b
D
4
0.04
参考答案
1．A
【分析】
根据正数大于0，0大于负数，再比较两个负数大小即可．
【详解】
解：正数大于0大于负数，
和0不可能最小，
又，
根据负数绝对值大的反而小，
∴，
∴，
∴最小的数是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，掌握好有理数大小比较的基础知识是解决本题的关键．
2．A
【分析】
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【详解】
解：从上面可看到第一行有三个正方形，
第二行最左边有1个正方形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：53.96亿=5396000000=5.396×109；
故选：D．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．A
【分析】
根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项正确，符合题意；
B、，此项错误，不符题意；
C、，此项错误，不符题意；
D、，此项错误，不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题关键．
5．B
【分析】
根据中位数和众数的定义即可得．
【详解】
将这组数据按从小到大进行排序为（单位：），
则其中位数为，
因为出现的次数最多，
所以其众数为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了中位数和众数，熟记定义是解题关键．
6．B
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】
解：∵﹣1＜0，＞0，
∴点A（﹣1，）在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．C
【分析】
如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】
如图，由题意得：，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
8．C
【分析】
根据解析式，结合反比例函数的性质，计算判断
【详解】
∵反比例函数y＝﹣，
∴xy=-2，
∵-2×（-1）=2，
∴图象不经过点（﹣2，﹣1），
∴选项A错误；
∵反比例函数y＝﹣，
∴=1，=，
∴＞，
∴选项B错误；
∵反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，
∴选项C正确；
∵k=-2＜0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴选项D错误；
故选C
【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式，性质，增减性，图像的对称性，根据解析式熟练计算，灵活运用性质比较大小是解题的关键．
9．D
【分析】
根据点F是△ABC的两条中线CD和BE的交点，推得DE∥BC，判断出△DEF～△BCF，即可求出的值为多少．
【详解】
解：∵点F是△ABC的两条中线CD和BE的交点，
∴DE∥BC，而且，
∴△DEF∽△BCF，
∴．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
10．D
【分析】
根据二次函数的图象与性质逐个进行分析判断即可．
【详解】
解：由图象知：开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，对称轴是x=1
∴
∴
∴①正确，
③，故错误；
②当时，
由图象知，当时，，即
∴②a﹣b＋c＞0，错误；
④由函数图象与x轴有两个交点，
∴
即④，错误；
⑤由图象可知，当x=1时，函数有最大值
当x为任意实数m时，
由图象知：
∴，故正确，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答此题的关键．
11．．
【详解】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
12．
【分析】
分别解不等式，然后确定其解集的公共部分为不等式组的解集．
【详解】
解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为：．
【点睛】
本题考查解不等式组，掌握解不等式组的步骤正确计算是解题关键．
13．30
【分析】
先求出∠AOB，得出△AOB是等边三角形，再求出其边长，即可求解．
【详解】
解：如图所示：正六边形中，∠AOB=；
由OA=OB，
∴△AOB是等边三角形
∴AB=OA=5，
∴周长为：6×5=30；
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了正多边形的性质及其应用，解题的关键是牢记正六边形的性质，知道其中隐含的等边三角形等知识，即连接圆心和正六边形的六点顶点可得到六个正三角形，则正六边形的边长等于圆的半径，考查了学生对基础知识的理解与应用．
14．
【分析】
先通分，再将通分后的分子进行相减，最后化简即可．
【详解】
解： ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了异分母分式相减的知识，解题关键是掌握其合并的法则，即先通分，再将分子相减，最后化简分式，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与应用．
15．
【分析】
先利用直角三角形斜边上的中线性质得到AF=FD=，再利用平行得△AEF是等腰三角形即可得出结论
【详解】
∵AD//BC
∴ ∠BCE=∠D，∠C=∠CAD=90°
又∵在Rt△AED中，F是中点，
∴ AF=FD=EF
∴∠D=∠FAD
∴∠AFB=2∠D
又∵∠ABE=2∠BCE=2∠D
∴∠ABE=∠AFB
∴ AB=AF，又DE=
∴ AB= AF =DE=
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线性质、平行的性质、等腰三角形，灵活的进行等角的转换是关键，有中点联想到性质是重点．
16．
【分析】
根据正方形的性质可得AB，AC的长，从而可求出AC，AO的长，根据“点P，Q分别在线段AO，BC上”可分三种情况进行讨论，①当P1在A点时，可得Q点在B点处，根据“以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM”可知M1点在O点处；②当P3在O点时，可得Q3在C点，从而得到M3点在DC的中点处；③当P2在AO中点时，可得Q2在BC中点处，M2在P3M3中点处，当M2在P3M3中点，且∠P2M2Q2=90°，连结P3Q2，可得四边形OQ2Q3M3是正方形，所以可得OQ2，OM2的长，根据勾股定理可得OM2的长，过点P2作P2G⊥BC，可得P2G∥AB，根据相似三角形的判定与性质可得，即可得P2G的长，同理可得 CG，GQ2的长，根据勾股定理即可得出P2Q2，P2M2的长，所以可得M2点在OM3中点处，综上即可得出M点在OM3上运动，从而求出点M的运动路径长
【详解】
解：在正方形ABCD中，AB＝4，则AB=BC=4，
∴AC=
∴AO=4，
①当P1在A点时，AP=0，则BQ=AP=0，
∴Q点在B点处，
此时，∠BAO=∠ABO=45°，∠AOB=90°，
即M1点在O点处；
②当P3在O点时，AP3=4=AO，则BQ=AP=4，
即Q3在C点，
此时，∠ACD=∠CP3M3=45°，∠P3M3C=90°，
即M3点在DC的中点处；
③当P2在AO中点时，AP2=2，则BQ=AP=2，
即Q2在BC中点处，M2在P3M3中点处，证明如下：
当M2在P3M3中点，且∠P2M2Q2=90°，
连结P3Q2，
∵P3，Q2为中点，
∴OQ2⊥BC，
∴四边形OQ2Q3M3是正方形，
∵OQ2=AB=2=OM3，
∴OM2=OM3=，
∴Q2M2==，
过点P2作P2G⊥BC，
此时P2为AO的中点，且P2G∥AB，
即在△ABC中，，
∵CP2=AC-AP2=6，
即，
∴P2G=3，
同理可得 CG=3，GQ2=，
∴P2Q2=，
∴P2M2=，
故M2点在OM3中点处，
即M点在OM3上运动，
∴OM3=DC=2．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．考虑问题要全面，通过分情况讨论将所有情况进行分析得到最终结论．
17．
【分析】
由负整数指数幂、二次根式的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的意义进行化简，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：原式=
=
=
=．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂、二次根式的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
18．（1）；（2）
【分析】
（1）根据概率的公式计算，用偶数的等可能性除以所有等可能性即可；
（2）画树状图计算即可
【详解】
（1）∵指针一共有4种等可能性，其中指向偶数有2种等可能性，
∴转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是=；
故答案为：；
（2）根据题意，画树状图如下：
根据图，知一共有12种等可能性，数字之和为5的可能性有3种，
∴分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率是=．
【点睛】
本题考查了概率的计算公式，画树状图或列表法求概率，熟记公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）先根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据平行四边形的性质可得，再根据菱形的性质可得，然后利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后利用菱形的面积公式即可得．
【详解】
（1）证明：，
四边形是平行四边形，
点是平行四边形对角线的交点，且，
，
四边形是菱形；
（2）如图，连接，交于点，
四边形是平行四边形，且，
，
四边形是菱形，
，
在中，，
，
则四边形的面积为．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
20．（1）30，0.31；（2）见解析；（3）约768人
【分析】
（1）根据样本容量=，变形求出a,b；
（2）根据（1）a值补图即可；
（3）利用样本估计整体的思想计算即可
【详解】
（1）∵样本容量==100，
∴a=100×0.3=30（人）；
∴b==0.31；
故答案为：30；0.31；
（2）A等级的人数为：30人，故补全图形如下：
（3）∵D等级的频率为0.04，
∴人数为（人），
∴本次检测中达到“C（合格）”或合格以上等级（包括“A（优秀）”和“B（良好）”）的学生人数约为800-32=768（人）
答：本次检测中达到“C（合格）”或合格以上等级（包括“A（优秀）”和“B（良好）”）的学生人数约为768人.
【点睛】
本题考查了条形统计图，频数与频率，样本容量，样本估计整体，熟练掌握概念的意义，并能灵活进行相关计算是解题的关键．
21．
【分析】
过C地点作交AB于D点，根据桥两端A，B两点的俯角分别为30°和45°，可得，，利用特殊角的三角函数求解即可．
【详解】
解：如图示：过C点作交AB于D点，
∵EF∥AB，
∴，，
在Rt△ADC中，
∴m ，
在Rt△BDC中，
∴m，
∴ m．
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
22．（1）相切，理由见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，证明∠OBC=90°即可；
（2）连接OB，用求解
【详解】
（1）连接OB，
∵OC⊥OA，OB=OA，
∴∠OAP+∠APO =90°，∠OAP=∠OBP，
∴∠OBP+∠APO =90°，
∵CB=CP，
∴∠CBP=∠CPB=∠APO，
∴∠OBP+∠CBP =90°，
∴∠OBC=90°,
∴OB⊥BC，
∴BC是圆O的切线；
（2）连接OB，
∵∠A＝30°，OP＝1，
∴AP=2，OA=OB=，
∠ABO＝30°，∠APO=60°,
∵∠APO=∠POB+∠ABO，
∴∠POB=30°,
∵BC是圆O的切线，
∴∠OBC=90°,
∴BC=OBtan30°==1，
∴阴影部分的面积为：
=
=．
【点睛】
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，扇形的面积，图形面积的分割计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握切线的判定，活用图形的面积割补法计算是解题的关键．
23．（1）；（2）①；② 3或③或
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）①PM就是点M的纵坐标，把x=m代入直线BC的解析式求解即可；②分点N是中点，点M是中点两种情形求解；③分点Q在x轴的上方和下方两种情形求解
【详解】
（1）∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）经过点A（6，0）和点B（0，9），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为；
（2）①∵点P在平行于y轴的直线l，交直线AB，OC于点M，N，点P的横坐标为m，
∴点M的横坐标为m，
∵点M在直线上，
∴当x=m时，y=，
∴PM=，
故答案为：；
②当点N是中点时，根据题意，得点M（m，），点N（m，），
∴MN=-，PN=，
∴-=，
∴m=3；
当点M是中点时，根据题意，得点M（m，），点N（m，），
∴NM=-（）=，PM=，
∴=，
∴m=；
③当点Q在在x轴的上方时，
根据题意，得，
解得，
∴点C的坐标为（4，3），
过点C作CM⊥x轴，垂足为M，
则OM=4，CM=3，根据勾股定理，得OC==5，
∴cs∠COM=；
作线段AO的垂直平分线，与直线y＝x交于点D，则点D的坐标为（3，），
连接AD，交直线l于点，
∵DO=DA，
∴∠COM=∠DAO，
∵∠PA与∠DAO互余，
∴∠PA与∠AOC互余，
设直线AD的解析式为y=mx+n，根据题意，得：，
解得，
∴直线AD的解析式为y=，
∵点P的横坐标为m，
∴P=，AP=6-m，
∵cs∠COM= cs∠AP=，
∴
∵△PQA的周长为，
∴+6-m=,
解得m=，
∴P==，
∴点的坐标为（，）；
根据题意，点关于x轴的对称点也是符合题意的，
∴点的坐标为（，-）；
综上所述，符合题意的点Q的坐标为（，）或（，-）．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，直线的交点坐标，两点间的距离，三角函数，勾股定理，轴对称，线段的垂直平分线，熟练掌握待定系数法，构造线段的垂直平分线是解题的关键．
24．（1）BE＋DF＝EF，△AEG；（2），理由见解析；（3）或
【分析】
（1）由旋转的性质得AG=AF，∠GAB=∠FAD，∠ABG=∠D=90°，则有∠GAE=∠EAF=45°，进而证得△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证得GE=EF即可解答；
（2）将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，连接EG，可证得AG=AD，∠GAE=∠DAE=45°，∠GCE=90°，进而可证得△GAE≌△DAE，根据全等三角形的性质证得GE=DE，再根据勾股定理即可得出结论；
（3）当点D在点B右侧时，将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACG，可证得∠GAE=∠DAE=30°，∠GCE=120°，进而可证得△GAE≌△DAE，根据全等三角形的性质证得GE=DE，过G作GH⊥EC，交EC延长线于H，设CE=x，易求得GE=DE=4﹣x，EH= x+，GH=，在△GHE中，由勾股定理可求得CE的值；当点D在点B左侧时，同样的方法可求得CE的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，
∵将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG，
∴AG=AF， BG=DF，∠GAB=∠FAD，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABC=90°+90°=180°，
∴点G、B、E共线，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，即∠GAE =45°
∴∠GAE=∠FAE，又AG=AF，AE=AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）,
∴GE=EF，
∵GE=BE+BG=BE+DF，
∴BE+DF=EF，
故答案为：BE＋DF＝EF，△AEG；
（2）猜想：BD2+CE2=DE2，理由为：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
如图2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°至△ACG，连接EG，
∴AG=AD， CG=BD，∠GAC=∠DAB，∠ACG=∠ABC=45°，
∴∠ACG+∠ACB=45°+45°=90°，
∴GE2=CG2++CE2，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAB+∠EAC=45°，
∴∠GAC+∠EAC=45°，即∠GAE =45°
∴∠GAE=∠DAE，又AG=AD，AE=AE，
∴△GAE≌△DAE（SAS）,
∴GE=DE，
∵GE2=CG2++CE2=BD2+CE2，
∴BD2+CE2=DE2；
（3）∵△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝5，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
由题意，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝30°，
∴①当点D在点B右侧时，BD=1，如图3，
将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACG，连接EG，
∴AG=AD， CG=BD=1，∠GAC=∠DAB，∠ACG=∠ABC=60°，
∵∠DAE=30°，∠BAC=60°，
∴∠DAB+∠EAC=30°，
∴∠GAC+∠EAC=30°，即∠GAE =30°
∴∠GAE=∠DAE，又AG=AD，AE=AE，
∴△GAE≌△DAE（SAS）,
∴GE=DE，
过G作GH⊥EC，交EC延长线于H，
∵∠ECG=∠ACG+∠ACB=60°+60°=120°，
∴∠GCH=60°，
在Rt△GCH中，CH=CG·cs60°=，GH= CG·sin60°=，
设CE=x，易求得GE=DE=4﹣x，EH= x+，
在△GHE中，由勾股定理得：（4﹣x）2=( x+)2+（）2，
解得：x=，即CE=；
②当点D在点B左侧时，BD=1
同理，将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACG，连接EG，
易证△GAE≌△DAE，得GE=DE，
过G作GH⊥EC，交CE于H，
∵∠ACG=∠ADB=120°，∠ACB=60°，
∴∠GCH=60°，
在Rt△GCH中，CH=CG·cs60°=，GH= CG·sin60°=，
设CE=x，易求得GE=DE=6﹣x，EH= x﹣，
在△GHE中，由勾股定理得：（6﹣x）2=( x﹣)2+（）2，
解得：x=，即CE=，
综上，CE的长为或．
【点睛】
本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解一元一次方程、锐角三角函数等知识，综合性强，难度适中，熟练掌握相关知识的性质与运用，正确作出辅助线，借助旋转性质得出全等三角形是解答的关键．
25．（1），；（2）直角三角形，理由见解析；（3）－1＜m＜0或2＜m＜3；（4）向左，
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得顶点D的坐标；
（2）根据两点间的距离公式得出AB、AC、BC的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）根据抛物线的对称性得出点C关于对称轴的对称点是E(2，)，再结合图象即可得出答案；
（4）根据AB和D′P′的长为定值可得，当AD′+B P′的和最短时，四边形ABP'D'的周长最短，将点B向左平移1个单位，再向上平移个单位得到B′点，以过点D的直线y=为对称轴，作B′的对称点B″，连接AB″，交直线y=于点D′，此时，四边形ABP'D'的周长最短可，求出D′的坐标即可得出答案．
【详解】
解：（1）将A(-1，0)，B(3，0)代入解析式 中得
；
解得：；
∴抛物线的解析式为 ；
∴对称轴
∴
∴顶点D的坐标为(1，) ；
（2）由（1）知C点的坐标为(0，)，
∵A(-1，0) ，B(3，0) ，C(0，)，
∴ AB==4，
AC==2，
BC=，
∵ 即 ，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
（3）由（2）知，∠ACB=90°，
当P点在图像的AC段（不包含A点和C点）时，∠APB为钝角，此时；
C点关于对称轴的对称点是E(2，)，此时∠AEB=90°，
当P点在图像的BE段（不包含B点和E点）时，∠APB为钝角，此时.
综上所述，m点的取值范围是 或 ；
（4）由题意知，P点在对称轴的右侧，且∠APB=90°
∴P点坐标为(2，)，则DP=
∵点D，P平移后的对应点分别为D′，P′， ∴D′P′=，
将点B向左平移1个单位，再向上平移个单位得到B′点
以过点D的直线y=为对称轴，作B′的对称点B″，连接AB″，交直线y=于点D′，此时，四边形ABP'D'的周长最短．
∵B(3，0) ，∴B′点坐标为（2，），∴B″点坐标为（2，），
设直线A B″的解析式为y=kx+b，
∴，解得： ，
∴直线A B″的解析式为y=x+，
当y=时，x+=∴，
∴D′点坐标为（，），
∵顶点D的坐标为(1，)
∴，
∴存在，抛物线沿x轴向左平移个单位长度
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查的是二次函数的性质和平移、勾股定理的逆定理、路径最短等知识点，有一定的难度，