高考数学二轮专题复习之小题强化练(三)　

小题强化练(三)　

一、单项选择题

1．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|y＝}，则A∪B＝(　　)

A．{x|－1≤x≤2}　　　　 B.{x|0≤x≤2}

C．{x|x≥－1}  D．{x|x≥0}

2．“∀x∈R，x2－x＋1>0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，x2－x＋1≤0

B．∃x0∈R，x－x0＋1<0

C．∀x∈R，x2－x＋1<0

D．∃x0∈R，x－x0＋1≤0

3．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦AB的长为(　　)

A．2  B.3 

C．4  D．5

4.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)

A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减

B．函数f(x)在x＝－1处取得极大值

C．函数f(x)在x＝－4处取得极值

D．函数f(x)只有一个极值点

5．已知函数f(x)＝ln|x|＋x2，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象大致为(　　)

6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝且S△ABC＝6，则b＝(　　)

A．2  B.3 

C．4  D．5

7．已知数列{an}满足a1＝1，(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1且an＋1>an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝(　　)

A．2n  B.n2 

C．n＋2  D．3n－2

8．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝1，以M为圆心的圆过A，B两点且与直线2y－1＝0相切．若存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值，则点P的坐标为(　　)

A.  B.

C.  D．

二、多项选择题

9．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是(　　)

A．平均数≤3

B．平均数≤3且标准差s≤2

C．平均数≤3且极差小于或等于2

D．众数等于1且极差小于或等于4

10．已知函数f(x)＝sin(3x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则(　　)

A．函数f为奇函数

B．函数f(x)在上单调递增

C．若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最小值为

D．函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝－cos 3x的图象

11.

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则(　　)

A．直线BD1⊥平面A1C1D

B．三棱锥P­A1C1D的体积为定值

C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]

D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为

12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则(　　)

A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8

B．以PQ为直径的圆与准线l相切

C．设M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥

D．过点M(0，1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条

三、填空题

13．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则a＝________．

14．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]，由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65)范围内的频率为________；这20名工人中一天生产该产品的数量在[55，75)的人数是________．

15．(一题多解)在△ABC中，C＝90°，点D在AB上，＝3，||＝4，则·＝________．

16．设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在区间上的所有零点的和为________．

小题强化练(三)

1．解析：选C.由题意，得集合A＝{x|－1≤x≤2}，

集合B＝{x|x≥0}，

所以A∪B＝{x|x≥－1}，故选C.

2．解析：选D.全称命题的否定必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“>”，故命题“∀x∈R，x2－x＋1>0”的否定是∃x0∈R，x－x0＋1≤0，故选D.

3．解析：选A.将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，

得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，

所以圆C的圆心坐标为(3，0)，半径为2.

因为线段AB的中点坐标为D(2，)，

所以|CD|＝＝，

所以|AB|＝2＝2.故选A.

4．解析：选D.由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；

当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．

所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．

当x＝2时函数取得极大值，故B错误．

当x＝－4时函数无极值，故C错误．

只有当x＝2时函数取得极大值，故D正确．故选D.

5．解析：选D.因为函数f(x)＝ln|x|＋x2，

所以f(－x)＝ln|－x|＋(－x)2＝ln|x|＋x2＝f(x)，

故函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，

故函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称，排除B，C.

当x>0时，函数f(x)＝ln x＋x2，f′(x)＝＋2x>0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数g(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增，排除A.故选D.

6．解析：选C.利用正弦定理，得2b＝a＋c，　①

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac×

＝(a＋c)2－ac，　②

由cos B＝得sin B＝，

所以S△ABC＝ac×＝6，　③

由①②③得b＝4，故选C.

7．解析：选B.因为a1＝1，an＋1>an，

所以 >.

由(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1得an＋1＋an－1＝2，

所以(－)2＝1，

所以－＝1，

所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以＝n，即an＝n2，故选B.

8．解析：选C.依题意可知|OA|＝|OB|＝.设M(x，y)，圆M的半径为r.由于以M为圆心的圆过A，B两点且与直线y＝相切，根据圆的几何性质可知|OA|2＋|OM|2＝r2＝，化简得x2＝－y，即点M在以为焦点，y＝为准线的抛物线上．

M到焦点的距离等于M到准线的距离．

存在定点P，

使得|MA|－|MP|＝－＝为定值．故选C.

9．解析：选CD.A错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数＝2≤3，不符合指标．B错，举反例，0，3，3，3，3，3，6，其平均数＝3，且标准差s＝≤2，不符合指标．C对，若极差等于0或1，在≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能(1)0，2，(2)1，3，(3)2，4，符合指标．D对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．故选CD.

10．解析：选AC.因为直线x＝是函数f(x)的对称轴，

所以3×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，则φ＝－＋kπ(k∈Z)，

因为－<φ<，故φ＝－，则f(x)＝sin.

对于选项A，f＝sin＝sin 3x，

因为sin(－3x)＝－sin 3x，所以f为奇函数，故A正确；

对于选项B，－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ(k∈Z)，

即－＋π≤x≤＋π(k∈Z)，

当k＝0时，f(x)在上单调递增，故B错误；

对于选项C，若|f(x1)－f(x2)|＝2，

则|x1－x2|的最小值为半个周期，T＝＝，×＝，故C正确；

对于选项D，函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin(3x－π)

＝－sin 3x的图象，故D错误，故选AC.

11．解析：选ABD.对于选项A，连接B1D1，则A1C1⊥B1D1，

因为BB1⊥平面A1B1C1D1，

所以BB1⊥A1C1，

所以A1C1⊥平面BD1B1，故A1C1⊥BD1；同理，连接AD1，易证A1D⊥BD1，则BD1⊥平面A1C1D，故A正确；

对于选项B，VP­A1C1D＝VC1­A1PD，

因为点P在线段B1C上运动，

所以S△A1DP＝A1D·AB为定值且点C1到平面A1PD的距离即为点C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故体积为定值，故B正确；

对于选项C，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成的角取得最小值为60°，故C错误；

对于选项D，因为直线BD1⊥平面A1C1D，

所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，

则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大，

则点P运动到B1C中点处，

即所成角为∠C1BD1，设棱长为1，在Rt△D1C1B中，cos∠C1BD1＝＝＝，故D正确，故选ABD.

12．解析：选ABC.对于选项A，因为p＝2，所以|PQ|＝x1＋x2＋2＝8，故A正确；

对于选项B，设N为PQ的中点，点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，

则由梯形性质可得|NN1|＝＝＝，故B正确；

对于选项C，因为F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；

对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点．

设过M的直线为y＝kx＋1，

联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，

令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误，故选ABC.

13．解析：依题意，得双曲线－y2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，

因为x＋y＝0是双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线，所以a＝1.

答案：1

14．解析：由直方图可知，产品数量在[55，65)的频率为1－(0.005＋0.010＋0.020＋0.025)×10＝0.4，这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数为20×(0.040＋0.025)×10＝13.

答案：0.4　13

15．解析：方法一：由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，

所以·＝·＝·＋＝0＋×42＝12.

方法二：以CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，

如图所示．则由||＝4知B(4，0)，设A(0，t)，D(x0，y0)．

由＝3知(x0，y0－t)＝3(4－x0，－y0)，则x0＝3，y0＝.

故＝，＝(4，0)．故·＝(4，0)·＝4×3＋0＝12.

答案：12

16．解析：由f(－x)＝f(x)，知函数f(x)是偶函数，由f(x)＝f(2－x)，可知函数

f(x)的图象的对称轴为直线x＝1.

由于函数f(x)与函数y＝|cos(πx)|均为偶函数，

所以在区间上g(x)的零点之和为0，

只需求在区间上的零点和．在同一个直角坐标系中画出函数y＝|cos(πx)|，y＝f(x)在区间上的图象如图，

在区间上，(1，1)为两函数图象的交点，另外两个交点关于x＝1对称，

所以在区间上，g(x)的零点和为3，故所有零点的和为3.

答案：3