高考数学二轮专题复习之小题强化练(八)

小题强化练(八)　

一、单项选择题

1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{1，2}  B.{4，5}

C．{1，2，3}  D．{3，4，5}

2．已知i为虚数单位，z＝，设是z的共轭复数，则在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B.第二象限

C．第三象限  D．第四象限

3．已知点M在函数y＝log3x的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M，则tan θ＝(　　)

A．－  B.±

C．－3  D．±3

4．(一题多解)在等差数列{an}中，a1＝1，＝2，则公差d的值是(　　)

A．－  B.

C．－  D．

5．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则(　　)

A．若α∥β，则l∥m  B.若m∥α，则α∥β

C．若m⊥α，则α⊥β  D．若α⊥β，则l⊥m

6．已知函数f(x)＝xln|x|＋1，则f(x)的极大值与极小值之和为(　　)

A．0  B.1

C．2－  D．2

7.

如图，F1，F2是椭圆C1：＋＝1(m>n>0)与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的公共焦点，将C1，C2的离心率分别记为e1，e2，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若C2的一条渐近线是线段AF1的垂直平分线，则＝(　　)

A．2  B.

C．  D．4

8．已知定义在上的函数f(x)＝sin(ω>0)的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为(　　)

A．4  B.3

C．2  D．1

二、多项选择题

9．设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则(　　)

A．|a|＝|b|  B.(a－b)∥b

C．(a－b)⊥b  D．a与b的夹角为

10．下列命题正确的是(　　)

A．若随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝20，则D＝5

B．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，f(1)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为

C．已知x∈R，则“x>0”是“|x－1|<1”的充分不必要条件

D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为＝0.3x－m，若样本点的中心为(m，－2.8)，则m＝4

11．设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)≤1

B．|f(x)|≤4|x|

C．曲线y＝f(x)存在对称轴

D．曲线y＝f(x)存在对称中心

12.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论正确的是(　　)

A．三棱锥A­BEF的体积为定值

B．当E向D1运动时，二面角A­EF­B逐渐变小

C．EF在平面ABB1A1内的射影长为

D．当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为

三、填空题

13．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．

14．已知O为坐标原点，点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)渐近线上位于第一象限内的一点，A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，若△PA1A2是以P为直角顶点的直角三角形且|PA2|＝a，则该双曲线的离心率为________．

15．某学校开展爱国主义教育活动，现要在6名男生和3名女生中选出5名学生进行关于庆祝新中国成立70周年阅兵式知识的初赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分．已知6名男生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名女生每人得2分的概率均为.现选择2名男生和3名女生，每人答一题，则所选队员得分之和为6分的概率为________．

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2an＝2＋Sn，若bn＝，若{bn}的前n项和Tn满足Tn<a恒成立，则a的取值范围为________．

小题强化练(八)

1．解析：选A.由Venn图可知阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A，

又A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，

因为∁UB＝{x|x<3}，

所以(∁UB)∩A＝{1，2}，

则图中阴影部分表示的集合是{1，2}．

2．解析：选D.依题意得z＝＝，

所以＝－i，

故在复平面内对应的点的坐标是，点位于第四象限，选D.

3．解析：选C.因为点M在函数y＝log3x的图象上，

所以a＝log3＝－1，

即M，

所以tan θ＝＝－3，故选C.

4．解析：选A.方法一：由＝2，得a6＝2a5，所以a1＋5d＝2(a1＋4d)，又a1＝1，所以d＝－.故选A.

方法二：由a6－a5＝d，＝2，得a5＝d，又a5＝a1＋4d，所以d＝a1＋4d，又a1＝1，所以d＝－，故选A.

5．解析：选C.因为l⊂α，m⊂β，若α∥β，则l∥m或l与m异面，故选项A错误；

若m∥α，又m⊂β，则α∥β或α与β相交，故选项B错误；

若m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，故选项C正确；

若α⊥β，又l⊂α，m⊂β，所以l与m不一定垂直，故选项D错误．综上可知，选C.

6．解析：选D.当x>0时，函数f(x)＝xln x＋1，

则f′(x)＝ln x＋1，

令ln x＋1＝0，

解得x＝，故当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)是减函数，当x>时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故当x＝时函数取得极小值1－；

当x<0时，函数f(x)＝xln(－x)＋1，

则f′(x)＝ln(－x)＋1，

令ln(－x)＋1＝0，

解得x＝－，

当－<x<0时，f′(x)<0，函数f(x)是减函数，

当x<－时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故x＝－时，函数f(x)取得极大值1＋.故函数的极大值与极小值之和为1＋＋1－＝2.故选D.

7．解析：选A.设椭圆焦距为2c，椭圆的长轴长为2m，双曲线的实轴长为2a，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，①

由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2m.②

因为C2的一条渐近线是线段AF1的中垂线，

所以∠F1AF2＝90°，

所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2.③　

联立①②得|AF1|2＋|AF2|2＝2a2＋2m2，④

将④代入③得a2＋m2＝2c2，

即＝＝＝2.故选A.

8．解析：选C.当－>，即ω>时，f(x)max＝1＝，解得ω＝3；

当－≤，即0<ω≤时，f(x)max＝sin＝，令g(ω)＝sin，h(ω)＝，如图，易知y＝g(ω)，y＝h(ω)的图象有两个交点A(ω1，y1)，B(ω2，y2)，

所以方程sin＝有两个实根ω1，ω2，

又g＝1>＝h，所以易知ω1<<ω2，

所以此时存在一个实数ω＝ω1满足题意，

综上所述，存在两个正实数ω满足题意，故选C.

9．解析：选CD.因为a＝(2，0)，b＝(1，1)，

所以|a|＝2，|b|＝，选项A不正确；

a－b＝(1，－1)，与b不平行，选项B不正确；

(a－b)·b＝1×1＋(－1×1)＝0，选项C正确；

因为cos〈a，b〉＝＝＝，

所以a与b的夹角为，选项D正确．故选CD.

10．解析：选BD.选项A，因为X～B(100，p)，

所以E(X)＝100p＝20，

所以p＝，

所以D(X)＝100××＝16，

所以D＝D(X)＝4，A不正确；

选项B，f(log2x)>0⇔－1<log2x<1⇔<x<2，B正确；

选项C，|x－1|<1⇔－1<x－1<1⇔0<x<2，“x>0”是“0<x<2”的必要不充分条件，C不正确；

选项D，因为回归直线过样本点的中心，

所以－2.8＝0.3 m－m，

所以m＝4，D正确．故选BD.

11．解析：选ABC.选项A，因为sin πx≤1，x2－x＋＝＋1≥1，

所以f(x)＝≤1(当x＝时取等号)，A正确；

选项B，≤＝≤|πx|≤|4x|＝4|x|，B正确；

选项C，易知直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴，C正确；

选项D，因为f(a＋x)＋f(a－x)不可能是常数，

所以曲线y＝f(x)不是中心对称图形，D错误；故选ABC.

12．解析：选AC.选项A，连接AC，BD，

在正方体中，AC⊥平面BDD1B1，

易知△BEF的面积是定值，

所以三棱锥A­BEF的体积为定值，A正确；

选项B，连接AD1，AB1，二面角A­EF­B也就是二面角A­D1B1­B，

所以当E向D1运动时，二面角A­EF­B的大小不变，B不正确；

选项C，D1B1与平面ABB1A1所成的角是，

又EF＝，

所以EF在平面ABB1A1内的射影长为|EF|cos＝×＝，C正确；

选项D，取BD的中点O，连接D1O，则D1O綊BF，

所以∠OD1A就是AE与BF所成的角，又AO⊥平面BB1D1D，

所以AO⊥OD1，在Rt△AD1O中，OA≠OD1，

所以∠OD1A≠，D不正确．

13．解析：因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以集合{x|x>m}是集合{x|x>2}的真子集，所以m>2.

答案：(2，＋∞)

14．解析：由题意可知，在Rt△PA1A2中，|OP|＝|OA2|＝a，又|PA2|＝a，

所以△POA2为正三角形，∠POA2＝60°.因此tan 60°＝，

即＝，故e＝＝＝＝2.

答案：2

15．解析：由题意知，得分之和为6分有以下三种情况：“男生得0分，女生得6分”，设为事件A；“男生得2分，女生得4分”，设为事件B；“男生得4分，女生得2分”，设为事件C.

P(A)＝×C××＝；

P(B)＝×C××＝；

P(C)＝×C××＝.

故所选队员得分之和为6分的概率P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.

答案：

16．解析：因为2an＝2＋Sn，所以2an＋1＝2＋Sn＋1，两式相减可得＝2(n∈N*)．

又2a1＝2＋a1，所以a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n(n∈N*)，bn＝＝＝18.

则Tn＝18

＝18＝18.

易知Tn<6，故要使Tn<a恒成立，

需a≥6，故a的取值范围为[6，＋∞)．

答案：[6，＋∞)