高考数学二轮专题复习之小题强化练(十二)

小题强化练(十二)

一、单项选择题

1．已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝(　　)

A．－2　　　　　　　　　  B.－

C．  D．2

2．已知复数z满足＝2i，则z的共轭复数＝(　　)

A．－－i  B.＋i

C．－＋i  D．－－i

3．已知实数a满足0<a<1，则“|x－2|<1”是“函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)单调递减”的(　　)

A．充分不必要条件  B.必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

4．2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组．已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，则这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为(　　)

A.  B.

C．  D．

5．已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k2的值为(　　)

A．3  B.4

C．5  D．6

6．若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线．曲线C1：y＝x2和曲线C2：y＝4ex－2的公切线方程为(　　)

A．4x－y－4＝0  B.x－2y－4＝0

C．x－y＋1＝0  D．2x－y－2＝0

7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，O是坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为A，B，且∠OAB为直角，记△OAF和△OBF的面积分别为S△OAF，S△OBF，若＝，则双曲线C的离心率为(　　)

A.或  B.

C.  D．

8．在棱长为1的正方体ABCD­A′B′C′D′中，已知点P是正方形AA′D′D内部(不含边界)的一个动点，若直线AP与平面AA′B′B所成角的正弦值和异面直线AP与DC′所成角的余弦值相等，则线段DP长度的最小值是(　　)

A.  B.

C．  D．

二、多项选择题

9．采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一，对国家经济活动的监测和预测具有重要作用．制造业PMI在50%以上，通常反映制造业总体扩张，低于50%，通常反映制造业总体衰退．如图是2018年10月至2019年10月我国制造业PMI的统计图，下列说法正确的是(　　)

A．大部分月份制造业总体衰退

B．2019年3月制造业总体扩张最大

C．2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长

D．2019年10月份，PMI为49.3%，比上月下降0.5个百分点

10．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则(　　)

A．|b|＝

B．(2a＋b)∥(a＋2b)

C．向量2a－b与a－2b的夹角为

D．向量a在b方向上的投影为

11．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则(　　)

A．sin∠BCD＝

B．△ABC的面积为8

C．△ABC的周长为8＋4

D．△ABC的钝角三角形

12．已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，满足f(x)>0且f(x)＋f′(x)<0(f′(x)为函数f(x)的导函数)，若0<a<1<b且ab＝1，则下列不等式不成立的是(　　)

A．f(a)>(a＋1)f(b)  B.f(b)>(1－a)f(a)

C．af(a)>bf(b)  D．af(b)>bf(a)

三、填空题

13．已知α为第二象限角，sin(π－α)＝，则tan＝________．

14．在二项式的展开式中，已知第5项为常数项，则x3项的系数为________．

15．在三棱锥D­ABC中，DA⊥平面ABC，AB＝AC＝3，BC＝6，若三棱锥D­ABC的外接球球O的表面积为244π，则点A到平面DBC的距离为________．

16．已知O为坐标原点，A，B分别是双曲线C：－＝1的左、右顶点，M是双曲线C上不同于A，B的动点，直线AM，BM与y轴分别交于点P，Q，则|OP|·|OQ|＝________．

小题强化练(十二)

1．解析：选C.因为A∩B＝∅，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝.故选C.

2．解析：选B.因为＝2i，所以z＝＝＝－i，所以z的共轭复数＝＋i.

3．解析：选A.由|x－2|<1，得1<x<3.由x2＋2x－3>0，得x>1或x<－3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令y＝x2＋2x－3，则易知y＝x2＋2x－3在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增，又0<a<1，所以函数y＝logax单调递减，由复合函数的单调性知，函数f(x)在区间(－∞，－3)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以“|x－2|<1”是“函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)单调递减”的充分不必要条件，故选A.

4．解析：选C.记“这三名同学中至少有一名同学被选上”为事件A.由题意知恰有一名同学被选上的概率P1＝××＋××＋××＝，恰有两名同学被选上的概率P2＝××＋××＋××＝＝，三名同学都被选上的概率P3＝××＝.所以P(A)＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.

5．解析：选A.圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB为等边三角形，所以点C到直线kx＋y＋1＝0的距离为，即＝，解得k2＝3，故选A.

6．解析：选A.设曲线C1，C2的公切线与曲线C1的切点为(x1，x)，则切线的斜率为2x1，与曲线C2的切点为(x2，4ex2－2)，则切线的斜率为4ex2－2，所以2x1＝4ex2－2.当曲线C1与曲线C2的切点相同时，x1＝x2，x＝4ex2－2，得x1＝x2＝2，所以切点的坐标为(2，4)，此时公切线的方程为4x－y－4＝0.当曲线C1与曲线C2的切点不同时，x1≠x2，2x1＝，可得x1＝2x2－2，所以4x2－4＝4ex2－2，即x2－1＝ex2－2，所以x2＝2，此时x1＝2，与x1≠x2矛盾，故不存在两切点不同的情况．综上，切点的坐标为(2，4)，公切线的方程为4x－y－4＝0.

7．解析：选A.不妨设点A在渐近线y＝x上，点B在渐近线y＝－x上．因为∠OAB为直角，所以直线AB的方程为y＝－(x－c)．由得点A的纵坐标yA＝.

由得点B的纵坐标yB＝，所以＝＝＝，解得＝或4.又离心率e＝，所以双曲线C的离心率为或.

8．解析：选C.建立如图1所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)．设P(x，y，0)(0<x<1，0<y<1)，则＝(x－1，y，0)，＝(0，1，1)．易知n＝(1，0，0)是平面AA′B′B的一个法向量，因为直线AP与平面AA′B′B所成角的正弦值与异面直线AP，DC′所成角的余弦值相等，所以|cos〈n，〉|＝|cos〈，〉|，即＝，化简得y＝－x＋，即P点的轨迹如图2中线段AQ(不含端点)所示，所以当DP与AQ垂直时，DP最短，故|DP|min＝＝，故选C.

9．解析：选ABD.根据折线图可知，大部分月份制造业总体衰退，A正确；2019年3月制造业总体扩张最大，B正确；2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长，C错误；2019年10月PMI为49.3%，比上月下降0.5个百分点，D正确．故选ABD.

10．解析：选AC.将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝＝，故A正确；因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝＝，所以θ＝，故C正确；向量a在b方向上的投影为＝＝，故D错误．

11．解析：选BCD.设CD＝x(x>0)，则CB＝2x，cos∠CDB＝＝＝－，得x＝或x＝－(舍去)，所以CD＝，CB＝2，因为cos∠CDB＝－，所以sin∠CDB＝＝，由正弦定理得sin∠BCD＝＝，故A错误；由余弦定理，得cos∠CBD＝＝，sin∠CBD＝＝，故S△ABC＝CB·BA·sin∠CBD＝8，故B正确；在△ABC中，由余弦定理得AC＝＝2，所以△ABC的周长为8＋4，故C正确；在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝－，所以∠ACB为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确．

12．解析：选ABD.构造函数F(x)＝exf(x)，则F′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，即F(x)单调递减，所以F(a)>F(b)，即eaf(a)>ebf(b)，即>eb－a＝e－a.选项可变形为：A.>a＋1，B.<，C.>＝，D.<a2.对于选项A，当a＝时，e－a＝e＜a＋1＝＋1＝，则选项A不成立．对于选项C，以下证明<e－a，即证－a＋2ln a>0(a∈(0，1))成立，令h(a)＝－a＋2ln a(0<a≤1)，则h′(a)＝－－1＋＝－≤0，所以h(a)在(0，1]上单调递减，所以h(a)≥h(1)＝0，所以当0<a<1时，－a＋2ln a>0成立，则选项C一定成立．若选项B成立，则必有>e－a，即－a＋ln(1－a)<0(a∈(0，1))成立，取a＝，则e－＋ln＝e－＋ln(e－1)－1>0，矛盾，则选项B不成立；同理选项D不成立．故选ABD.

13．解析：因为sin(π－α)＝，所以sin α＝，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－，所以tan＝＝＝－.

答案：－

14．解析：在二项式的展开式中，第5项为C(2x)n－4·(x－)4＝C2n－4xn－6，因为第5项为常数项，所以n－6＝0，即n＝6，所以展开式的通项Tr＋1＝C(2x)6－r(x－)r＝C26－rx6－.令6－＝3，得r＝2，所以x3项的系数为C×24＝240.

答案：240

15．解析：取BC的中点E，连接AE，则AE＝＝9.设△ABC的外心为O1，外接圆半径为r，则点O1在线段AE上，且O1E2＋BE2＝r2，故(9－r)2＋32＝r2，解得r＝5.设三棱锥D­ABC外接球的半径为R，易知R2＝r2＋＝25＋AD2，所以由外接球球O的表面积为244π，得4π·＝244π，解得AD＝12.连接DE，则DE＝＝15.过点A作AH⊥DE于点H，易证AH⊥平面DBC.在Rt△ADE中，由等面积法得AH＝＝＝，所以点A到平面DBC的距离为.

答案：

16．解析：由双曲线C的方程，得A(－2，0)，B(2，0)，设动点M(x0，y0)(x0≠±2)，则kAM＝，kBM＝，所以直线AM的方程为y＝(x＋2)，直线BM的方程为y＝(x－2)，由此可得直线AM，BM与y轴的交点P，Q，所以|OP|·|OQ|＝＝.又动点M(x0，y0)在C上，所以－＝1，所以4y＝3(x－4)，所以|OP|·|OQ|＝＝3.

答案：3