高考数学二轮专题复习之小题强化练(九)

小题强化练(九)　

一、单项选择题

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－1<0}，B＝{x|2x≤x2}，则A∩(∁UB)＝(　　)

A．[－1，0)　　　　　　　　  B.(0，1)

C．[0，1]  D．[－1，0]

2．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则f＝(　　)

A.  B.

C．－  D．

3．为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间[50，100]上，分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，其频率分布直方图如图所示．规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为(　　)

A．15  B.16

C．17  D．18

4．已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点A，B，其中x1<0<x2，则cos(2α－β)＝(　　)

A．－  B.

C.  D．

5．已知单位向量a，存在向量b满足(a－b)⊥(a－2b)，则向量a在向量b方向上的投影的最小值是(　　)

A.  B.

C．  D．

6．(一题多解)如图，已知正方体的棱长为2，在正方体的顶点A所在的三条棱上分别取点P，Q，R，其中点P，Q分别为所在棱的中点，若三棱锥A­PQR的体积为，则三角形PQR的面积为(　　)

A.  B.

C．  D．

7．已知f(x)＝x2－ax－a2ln x，对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥0，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D．[－2e，0)

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线分别为l1，l2，点A是x轴上与坐标原点O不重合的一点，以OA为直径的圆交直线l1于点O，B，交直线l2于点O，C，若2|BC|＝|OA|，则该双曲线的离心率是(　　)

A.或  B.2

C.或2  D．

二、多项选择题

9．已知复数z满足＝1－i，则(　　)

A．|z|＝

B．＝1－2i

C．＋z·i的虚部为1

D．＋z·i在复平面内对应的点位于第三象限

10．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)

A．y＝f(x)是偶函数

B．y＝f(x)的最小正周期为π

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

D．y＝f(x)的图象关于点对称

11．已知实数a>0，b>0，则(　　)

A．若实数a，b满足a2－b2＝1，则a－b<1

B．若a＋b＝ab，则a＋b的最小值为

C．若存在正实数c满足0<a<b<1<c，则cb>ca

D．若a2＋2ab＝3，则2a＋b的最小值为3

12．若存在两个不相等的实数x1，x2，使x1，x2，均在函数f(x)的定义域内，且满足f＝，则称函数f(x)具有性质T.下列函数具有性质T的是(　　)

A．f(x)＝2x  B.f(x)＝|x2－2x|

C．f(x)＝lg x  D．f(x)＝x＋sin x

三、填空题

13．《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从6，7，8，9，10这5个正整数中随机抽取3个数，则恰好构成勾股数的概率为________．

14．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，且离心率e＝，点P是椭圆上位于第二象限内的一点，若△PF1F2是腰长为4的等腰三角形，则△PF1F2的面积为________．

15．积木玩具是培养、锻炼儿童智力较好的早教玩具，可锻炼儿童的想象力、结构思维、创新能力等．某儿童现欲将5个不同颜色(2个黄色，2个红色，1个蓝色)、不同大小的小正方体积木块随机排成一列，要求颜色相同的积木块都不相邻，则可能的排列方法有________种．(用数字作答)

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝an＋，若Sn≤nan＋t恒成立，则实数t的取值范围为________．

小题强化练(九)

1．解析：选B.A＝{x|x2－1<0}＝(－1，1)，B＝{x|2x≤x2}＝{x|x2－2x≥0}＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，

则∁UB＝(0，2)，A∩(∁UB)＝(0，1)，故选B.

2．解析：选D.log2＝－，f(log2)＝f，

因为函数f(x)是奇函数，

所以f＝－f.

又当x>0时，f(x)＝x2－x，

所以f＝－＝－，

因此f(log2)＝，故选D.

3．解析：选A.由频率分布直方图可知，评分在区间[50，60)上的频率为1－(0.007＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝0.03.

所以评分在区间[50，60)上的客户有0.03×500＝15(人)，

即对该公司的服务质量不满意的客户有15人．

4．解析：选C.由题意可知，sin α＝，sin β＝，

由x1<0<x2可知cos α＝－＝－，cos β＝＝，

所以cos 2α＝－＝，

sin 2α＝2××＝－，

所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝.

5．解析：选A.由(a－b)⊥(a－2b)，

得(a－b)·(a－2b)＝0，

即a2－3a·b＋2b2＝0.

设向量a与向量b的夹角为θ，

因为向量a是单位向量，

所以2|b|2－3|b|cos θ＋1＝0，

显然|b|≠0，

则cos θ＝＝≥，

当且仅当|b|＝时等号成立．

又向量a在向量b方向上的投影是|a|cos θ＝cos θ，

所以向量a在向量b方向上的投影的最小值是，故选A.

6．解析：选B.设AR＝x，则VA­PQR＝VR­APQ＝×S△APQ×AR＝××1×1×x＝x＝，故x＝.

所以PQ＝，PR＝QR＝.

方法一：在△PQR中，由余弦定理得，cos∠PRQ＝＝，

所以sin∠PRQ＝，

所以三角形PQR的面积为×××sin∠PRQ＝.

方法二：过点R作RM⊥PQ，垂足为M，易知M为PQ的中点，则RM＝＝＝，

所以三角形PQR的面积为××＝.

7．解析：选A.f(x)＝x2－ax－a2ln x，

则f′(x)＝2x－a－＝＝，

当a>0时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增，

所以f(x)min＝f(a)＝－a2ln a≥0，所以0<a≤1；

当a<0时，

f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以f(x)min＝f＝＋－a2ln≥0，

所以－2e≤a<0；

当a＝0时，f(x)＝x2，x∈(0，＋∞)时，f(x)>0，符合题意，故－2e≤a≤1，选A.

8．解析：选C.由题意，不妨设l1：y＝x，

l2：y＝－x，

设∠BOA＝θ，则tan θ＝，设|OA|＝4m(m>0)，

由2|BC|＝|OA|，得|BC|＝2m.

由对称性知，

BC⊥OA，且线段BC被OA平分，如图，

设BC与OA交于点D，则|BD|＝m.

连接AB，由于OA为直径，所以OB⊥AB，则|AB|＝|OA|sin θ＝4msin θ，|OB|＝|OA|cos θ＝4mcos θ，

由|OA|·|BD|＝|OB|·|AB|，

得4m2＝16m2sin θcos θ，sin 2θ＝，

因为0<θ<，

所以2θ＝或2θ＝，

即θ＝或θ＝.

又tan θ＝，

所以＝或＝.

当＝时，a2＝3b2，

则a2＝3c2－3a2，离心率e＝；

当＝时，b2＝3a2，

则c2－a2＝3a2，离心率e＝2.故选C.

9．解析：选ABD.由题可知，z＝＝＝1＋2i，

所以|z|＝，

＝1－2i，

所以A，B正确；

＋z·i＝(1－2i)＋(1＋2i)·i＝－1－i，

所以＋z·i的虚部为－1，C错误；

＋z·i在复平面内对应点(－1，－1)，位于第三象限，D正确．

10．解析：选AD.将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝f(x)＝sin＝cos x的图象，

所以y＝f(x)是偶函数，A正确；

y＝f(x)的最小正周期T＝＝2π，B错误；

y＝f(x)的图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，C错误；

y＝f(x)的图象关于点(k∈Z)对称，D正确．故选AD.

11．解析：选ACD.对于A，若a2－b2＝1，

则(a－b)(a＋b)＝1，又a>0，b>0，

所以0<a－b<a＋b，a－b＝<，

所以a－b<，

所以a－b<1，故A正确；

对于B，a＋b＝ab≤，

所以a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，

当且仅当a＝b＝2时取等号，故B错误；

对于C，不妨取a＝，b＝，c＝2，

则cb＝2>2＝ca，

所以C正确；

对于D，由a2＋2ab＝3，

得b＝，

所以2a＋b＝2a＋＝＝＋≥2 ＝3，

当且仅当＝，

即a＝1时取等号，故D正确．故选ACD.

12．解析：选BD.对于A，因为函数f(x)的定义域为R，f(x)＝2x>0，

所以＝≥＝2＝f，

由于x1≠x2，

所以>f恒成立，故A不具有性质T；

对于B，函数f(x)的定义域为R，取x1＝1－，x2＝1＋，则＝1，

所以f(x1)＝f(x2)＝f＝1，

所以f＝成立，故B具有性质T；

对于C，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当x1>0，x2>0时，≥ ，

由于x1≠x2，

所以>，

易知函数f(x)＝lg x在区间(0＋∞)上单调递增，

所以<f恒成立，故C不具有性质T；

对于D，函数f(x)的定义域为R，

易知f(x)为奇函数，取x2＝－x1≠0，

则＝0，所以f(x2)＋f(x1)＝0，

f＝f(0)＝0，

所以f＝成立，故D具有性质T.

13．解析：从6，7，8，9，10这5个正整数中随机抽取3个数，可能的情况有(6，7，8)，(6，7，9)，(6，7，10)，(6，8，9)，(6，8，10)，(6，9，10)，(7，8，9)，(7，8，10)，(7，9，10)，(8，9，10)，共10种，其中恰好构成勾股数的情况有1种，为(6，8，10)，

所以所求概率P＝.

答案：

14．解析：由题意知，2c＝4，则c＝2.

又e＝＝，所以a＝3.

由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，

又△PF1F2是腰长为4的等腰三角形，且点P在第二象限，

所以|PF2|＝4，|PF1|＝2，过点F2作F2D⊥PF1于点D，则|PD|＝1，|DF2|＝，所以△PF1F2的面积为×2×＝.

答案：

15．解析：将这5个不同颜色、不同大小的小正方体积木块随机排成一列共有A＝120种不同的方法，其中2个黄色的积木块相邻，且2个红色的积木块相邻的排列方法的种数为AAA＝24；只有2个黄色的积木块相邻或只有2个红色的积木块相邻的排列方法的种数为C(CAA＋ACA)＝48.故符合条件的排列方法的种数为120－24－48＝48.

答案：48

16．解析：由a1＝2，an＋1＝an＋，得an＋1－1＝(an－1)，a1－1＝1，

所以数列{an－1}是首项为1，公比为的等比数列，

所以an－1＝1×＝，an＝＋1，

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n＋＝n＋＝n＋2.

又nan＝n＋，所以t≥Sn－nan＝n＋2－＝2恒成立，即t≥4，n∈N*恒成立．

令bn＝，则bn＋1－bn＝－＝－<0，

所以{bn}是递减数列，所以0<≤1，0≤1－<1，

所以t≥4，即t的取值范围为[4，＋∞)．

答案：[4，＋∞)