新人教B版 选择性必修2 高中数学模块素养检测一（含解析）

www.ks5u.com模块素养检测(一)

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)

1.若随机变量X～N(3，σ2)，且P(X≥5)=0.2，则P(1≤X≤5)等于 (　　)

A.0.6   B.0.5   C.0.4   D.0.3

【解析】选A.由于X～N(3，σ2)，则正态密度曲线关于直线x=3对称，

所以P(1≤X≤5)=1-2P(X≥5)=1-2×0.2=0.6.

2.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量χ2≈4.892，参照附表，得到的正确结论是              (　　)

A.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【解析】选C.因为计算得到统计量χ2≈4.892>3.841，

参照题目中的数值表，得到正确的结论是：

在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”.

3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有              (　　)

A.120种　   B.90种　   C.60种　   D.30种

【解析】选C.甲场馆安排1名有种方法，乙场馆安排2名有种方法，丙场馆安排3名有种方法，所以由分步乘法计数原理得不同的安排方法共有=60种.

4.的展开式中x的系数为 (　　)

A.-80   B.-40   C.40   D.80

【解析】选D.的展开式的通项为

Tr+1=(2x)5-r=(-1)r25-rx5-2r，

令5-2r=1，得r=2，所以的展开式中x的系数为(-1)225-2=80.

5.概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是              (　　)

A.甲48枚，乙48枚    B.甲64枚，乙32枚

C.甲72枚，乙24枚    D.甲80枚，乙16枚

【解析】选C.根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率P1=+×=，乙获取96枚金币的概率P2=×=，则甲应该获得96×=72枚金币；乙应该获得96×=24枚金币.

6.先后投掷骰子(骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6个点)两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)=              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.事件A为“x+y为偶数”，所以x，y同奇同偶，共包含2×32=18个基本事件；事件A，B同时发生，则x，y都为偶数，且x≠y，则包含=6个基本事件，

所以P(B|A)===.

7.中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有              (　　)

A.12种   B.24种   C.36种   D.48种

【解析】选C.由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有=2种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有=6种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3×2×6=36种.

8.已知变量y关于x的回归方程为=ebx-0.5，其一组数据如下表所示：

若x=5，则预测y的值可能为 (　　)

A.e5   B.

C.e7   D.

【解析】选D.由=ebx-0.5，得ln =bx-0.5，

令z=ln ，则z=bx-0.5.

==2.5，==3.5，

因为(，)满足z=bx-0.5，

所以3.5=b×2.5-0.5，

解得b=1.6，

所以z=1.6x-0.5，

所以=e1.6x-0.5，当x=5时，=e1.6×5-0.5=.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9.若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则 (　　)

A.a0=1

B.a0=0

C.a0+a1+a2+…+a10=310

D.a0+a1+a2+…+a10=3

【解析】选AC.因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，令x=0得a0=1，故A正确.令x=1得a0+a1+a2+…+a10=310，故C正确.

10.甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是              (　　)

A.P(B)=

B.事件B与事件A1相互独立

C.事件B与事件A2相互独立

D.A1，A2互斥

【解析】选AD.根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数

因此P==，P==，P(B)==，A正确；又P(A1B)=，

因此P≠PP(B)，B错误；同理C错误；A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确.

11.已知由样本数据点(xi，yi)(i=1，2，…，n)求得的回归直线方程为=1.5x+0.5，且=3，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则              (　　)

A.变量x与y具有正相关关系

B.去除后的回归方程为=1.2x+1.4

C.去除后y的估计值增加速度变快

D.去除后相应的相关系数绝对值增大

【解析】选ABD.因为回归直线方程为=1.5x+0.5，1.5>0，

所以变量x与y具有正相关关系，故A正确.

当=3时，=3×1.5+0.5=5，

样本点中心为(3，5)，去掉两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)后，样本点中心还是(3，5)，

又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，

所以5=3×1.2+a，解得a=1.4，

所以去除后的回归方程为=1.2x+1.4，故B正确.

因为1.5>1.2，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C错误.

因为去除两点后相关性更强，所以相关系数的绝对值变大，故D正确.

12.将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有              (　　)

A.    B.

C.    D.18

【解析】选BC.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：

(1)分2步进行分析：

①先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；则没有空盒的放法有种；

(2)分2步进行分析：

①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；则没有空盒的放法有种.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其概率分布如表，数学期望E(X)=2，则ab=________. 

【解析】根据题意可得方程组：，解得，从而ab=.

答案：

14.《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨.每一期的比赛包含以下环节：“个人追逐赛”“攻擂资格争夺赛”和“擂主争霸赛”，其中“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼.“擂主争霸赛”共有九道抢答题，抢到并答对者得一分，答错则对方得一分，率先获得五分者即为该场擂主.在《中国诗词大会》的某一期节目中，若进行“擂主争霸赛”的甲、乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是0.5，则抢答完七道题后甲成为擂主的概率为________. 

【解析】抢答完七道题后甲成为擂主，则第7题甲得1分，前6题甲得4分乙得2分，

甲最后以5∶2获胜，概率为P=0.54×0.52×0.5=.

答案：

15.下列说法中，正确的有________. 

①回归直线=x+恒过点(，)，且至少过一个样本点；②根据2×2列联表中的数据计算得出χ2≥6.635，而P(χ2≥6.635)≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；

③χ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当χ2的值很小时可以推断两类变量不相关；

④某项测量结果ξ服从正态分布N(1，a2)，则P(ξ≤5)=0.81，则P(ξ≤-3)=0.19.

【解析】①回归直线=x+恒过点(，)，不一定过样本点，故错误.②独立性检验是选取一个假设H0条件下的小概率事件，故正确.③当χ2的值很小时推断两类变量相关的把握小，但不能说不相关，故错误.④因为ξ服从正态分布N(1，a2)，且=1，所以P(ξ≤-3)=P(ξ≥5)=1-0.81=0.19，故正确.

答案：②④

16.二项式的展开式中x6项的系数为________；常数项为________. 

【解析】由题得Tr+1=(x2)6-r

=(-1)rx12-3r，令12-3r=6，解得r=2，

所以二项式的展开式中x6项的系数为(-1)2=15.令12-3r=0，得r=4，

所以常数项为T4+1=(-1)4x0=15.

答案：15　15

四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)高一学年结束后，要对某班的50名学生进行文理分班，为了解数学对学生选择文理科是否有影响，有人对该班的分科情况做了如下的数据统计：

(1)根据数据关系，完成2×2列联表；

(2)通过计算判断能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为数学对学生选择文理科有影响.

附：χ2=

【解析】(1)根据数据关系，得2×2的列联表：

(2)因为χ2=≈6.349>5.024.

故可以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为数学对学生选择文理科有影响.

18.(12分)现有9名学生，其中女生4名，男生5名.

(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？

(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？

(3)从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？

【解析】(1)从中选2名代表，没有女生的选法有=10种，所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有-=26种.

(2)从中选出男、女各2名的不同选法有=60种.

(3)男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有-=91种，

将这4人安排到四个不同的岗位共有=24种方法，

故共有(-)=2 184种安排方法.

19.(12分)已知=56，且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.

(1)求n的值；

(2)求++…+的值.

【解析】(1)因为=56，

所以n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

=56，

整理可得=1，

即n2-11n-60=0，故(n-15)(n+4)=0，

解得n=15或n=-4(舍去)；

(2)由(1)n=15得

(1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，

令x=0，可得a0=1；令x=，可得=a0+++…+，

所以a0+++…+=0，

可得++…+=-1.

20.(12分)2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A，B，C，D，E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立.比赛采用5局3胜制，先赢3局者获得胜利.

(1)在比赛中，中国队以3∶1获胜的概率是多少？

(2)求比赛局数的分布列及数学期望.

【解析】(1)若中国队以3∶1获胜，则前三局中赢两局输1局，第四局比赛胜利，设中国队以3∶1获胜为事件A，则P(A)=×0.2×0.82×0.75=0.288.

(2)设比赛局数为X，则X的取值分别为3，4，5，

则P(X=3)=0.83+0.23=0.520，

P(X=4)=×0.2×0.82×0.75+×0.22×0.8×0.25=0.312，

P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=0.168，

则X的分布列为

E(X)=3×0.520+4×0.312+5×0.168=3.648.

21.(12分)某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到折线图：

(1)由图可以看出，这种酶的活性y与温度x具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；

(2)求y关于x的回归直线方程，并预测当温度为30 ℃时，这种酶的活性指标值.(计算结果精确到0.01)

参考数据：yi=52.5，(xi-)(yi-)=85，=5.5，≈2.65.

参考公式：相关系数r=.回归直线方程=+x，=，=-.

【解析】(1)由题可知=(8+11+14+20+23+26)=17，

(xi-)2=(8-17)2+(11-17)2+(14-17)2+(20-17)2+(23-17)2+(26-17)2=252，

则r==

=≈0.97，

因为|r|非常接近1，所以酶的活性y与温度x具有较强的线性相关性.

(2)由题可知，=yi==8.75，

==≈0.34，=-=8.75-×17≈3.02，

所以y关于x的回归直线方程为=3.02+0.34x，当x=30时，=3.02+0.34×30=13.22.

故预测当温度为30 ℃时，这种酶的活性指标值为13.22.

22.(12分)某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.

(1)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；

(2)若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为Y，求Y的分布列及数学期望和方差.

【解析】(1)参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，

所以甲通过自主招生初试的概率P1=+=.

参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，

在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，

所以乙通过自主招生初试的概率P2=+=，

因为>，所以甲通过自主招生初试的可能性更大.

(2)根据题意，乙答对题的个数X的可能取值为0，1，2，3，4.X～B，

P(X=k)=(k=0，1，2，3，4)且Y=5X，

所以Y的概率分布列为：

所以E(Y)=5np=5×4×=15，

D(Y)=25np(1-p)=25×4××=.