新人教B版 选择性必修2 高中数学模块素养检测二（含解析）

www.ks5u.com模块素养检测(二)

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)

1.二项式(x-2y)5的展开式中x2y3的系数为 (　　)

A.10   B.-10   C.80   D.-80

【解析】选D.(x-2y)5展开式的通项为Tr+1

=x5-r(-2y)r，取r=3得到x2y3的系数为·

(-2)3=-80.

2.将5个相同名额分给3个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是 (　　)

A.60   B.50   C.10   D.6

【解析】选D.将5个相同元素分成3组，采用隔板法：即每班至少得到一个名额的不同分法种数是=6.

3.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱贫的户数占当年贫困户总数的比)为70%，2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比(参加户数占2019年贫困总户数的比)及该项目的脱贫率见表：

那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的

________倍 (　　) 

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.由表可得，2019年的年脱贫率为：0.45×0.96+0.45×0.96+0.1×0.9=0.954，

所以2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的=倍.

4.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是              (　　)

A.12   B.24   C.36   D.48

【解析】选B.先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法.由分步乘法计数原理可得所有的排法为=24种.

5.两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是(　　)

A.y=a·xb    B.y=a·eb

C.y=a+bln x   D.y=a·

【解析】选C.由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合，而选项A、B、D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图.

6.由“0”“1”“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.P(A|B)===.

7.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.则某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.若从甲地到乙地，遇到1次红灯，则概率为××+××+××=，

没有遇到红灯的概率为××=，

故某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为1--=.

8.在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为              (　　)

A.36   B.72   C.24   D.48

【解析】选A.根据题意，分2步进行分析：

①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有=6种分组方法；②将分好的3组对应3名任课教师，有=6种情况；

根据分步乘法计数原理可得共有6×6=36种不同的问卷调查方案.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9.对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有 (　　)

A.存在n∈N*，展开式中有常数项

B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项

C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项

D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项

【解析】选AD.设二项式(n∈N*)展开式的通项公式为Tr+1，

则Tr+1=(x3)r=x4r-n，

不妨令n=4，则r=1时，展开式中有常数项，故选项A正确，选项B错误；

令n=3，则r=1时，展开式中有x的一次项，故C选项错误，D选项正确.

10.下列各对事件中，为相互独立事件的是 (　　)

A.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”

B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”

C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”

D.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”

【解析】选ABD.在A中，样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，事件M={2，4，6}，事件N={3，6}，事件MN={6}，所以P(M)==，P(N)==，P(MN)=×=，

即P(MN)=P(M)P(N)，故事件M与N相互独立，A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.

11.下列命题中正确的是 (　　)

A.标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大

B.在回归直线方程=-0.4x+3中，当解释变量x每增加1个单位时，则预报变量y减少0.4个单位

C.对分类变量X与Y来说，它们的随机变量χ2的值越小，“X与Y有关系”的把握程度越大

D.在回归分析模型中，相关系数绝对值越大，说明线性模型的拟合效果越好

【解析】选BD.标准差越小，则反映样本数据的离散程度越小，因此A不正确；在回归直线方程=-0.4x+3中，当解释变量x每增加1个单位时，则预报变量y减少0.4个单位，B正确；

对分类变量X与Y来说，它们的随机变量χ2越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，因此C不正确；在回归分析模型中，相关系数的绝对值越大，说明线性模型的拟合效果越好，D正确.

12.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是 (　　)

A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法

B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法

C.分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法

D.分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法

【解析】选ABC.对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有=90种，故A正确；

对B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有=90种，故B正确；

对C，6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙、丁，有种方法.

所以不同的分配方法有=180种，故C正确；对D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有·种方法；

再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有··=1 080种，故D错误.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中随机摸出3个小球，记摸到黑球的个数为X，则P(X=2)=________，E(X)=________. 

【解析】P(X=2)==，P(X=0)==，

P(X=1)==，P(X=3)==，

所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.

答案：　

14.有两个分类变量x和y，其中一组观测值为如下的2×2列联表：

其中a，15-a均为大于5的整数，则a=________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“x和y之间有关系”. 

附：χ2=

【解析】由题意知：χ2≥6.635，

则=≥6.635，

解得a≥8.65或a≤0.58，

因为a>5且15-a>5，a∈Z，

综上得8.65≤a<10，a∈Z，所以a=9.

答案：9

15.(2020·天津高考)在的展开式中，x2的系数是________. 

【解析】因为的展开式的通项公式为Tr+1

=x5-r=·2r·x5-3r(r=0，1，2，3，4，5)，

令5-3r=2，解得r=1.

所以x2的系数为×2=10.

答案：10

16.国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为________. 

【解析】设事件Ai(i=1，2，3，4)表示“该软件能通过第i轮考核”，由已知得P(A1)=，P(A2)=，

P(A3)=，P(A4)=，

设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则

P(C)=P(+A1+A1A2)

=P()+P(A1)+P(A1A2)

=+×+××=.

答案：

四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知(1+2x)n的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大，

(1)求n的值；

(2)求展开式中系数最大的项.

【解析】(1)因为第六项和第七项的二项式系数最大即=且最大，所以n=11；

(2)设(1+2x)11展开式中系数最大的项为第r+1项，Tr+1=2rxr，令tr+1=2r，则，解得r=7或r=8，当r=7时T8=27x7=42 240x7，

当r=8时，T9=28x8=42 240x8，

展开式中系数最大的项有两项，即第八项42 240x7和第九项42 240x8.

18.(12分)现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：

(1)甲、乙不能相邻；

(2)甲、乙相邻且都不站在两端；

(3)甲、乙之间仅相隔1人；

(4)按高个子站中间，两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列.

【解析】(1)先将除甲、乙外三人全排列，有种；再将甲、乙插入4个空档中的2个，有种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为N=·=6×12=72种；

(2)将甲、乙两人“捆绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有·种；再将其余3人全排列有种，故共有N=··=24种不同排法；

(3)先从另外三人中选一人插在甲、乙之间，则甲、乙之间仅相隔1人共有N=··=36种不同排法；

(4)按高个子站中间，两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列共有N=··=6种不同的排法.

19.(12分)某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作.从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作.

(1)设M为事件：“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；

(2)设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望.

【解析】(1)从8人中随机抽取4人负责文明宣传的基本事件的总数为=70，事件M包含基本事件的个数为，则P(M)===.

(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3.

则P(X=0)===，P(X=1)===，

P(X=2)===，

P(X=3)===，

因此X的分布列为

X的数学期望是E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=.

20.(12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：

(1)从空气质量指数属于[0，50]，(50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.

(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y=假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为，，，，，，9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.

①记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；

②试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.

【解析】(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，

则P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=+=.

(2)①X的可能取值为0，220，1 480，

P(X=0)=P(0≤x≤100)==，

P(X=220)=P(100<x≤250)==，

P(X=1 480)=P(250<x≤300)==，

则X的分布列为

②由①知E(X)=0×+220×+1 480×=

302(元)，

故该企业9月的经济损失的数学期望为30E(X)=9 060(元).

设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，则P(Y=0)=+=，P(Y=220)=++=，P(Y=1 480)=，

所以E(Y)=0×+220×+1 480×=

320(元)，

所以7月与8月因空气质量造成经济损失的总额为320×(31+31)=19 840(元).

因为19 840+9 060=28 900>2.88万，

所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.

21.(12分)流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：

(1)求y关于x的回归直线方程；

(2)计算变量x，y的相关系数r(计算结果精确到0.01)，并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强？(若|r|∈[0.75，1]，则x，y相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75)，则x，y相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则x，y相关性较弱.)参考数据：≈5.477.

参考公式：==，

相关系数r=.

【解析】(1)由题意得，==4，==17，==

=-3.2，=-=17+3.2×4=29.8，

故y关于x的回归直线方程为=-3.2x+29.8.

(2)r=

==≈-0.97，

因为r<0，说明x，y负相关，又|r|∈[0.75，1]，说明x，y相关性很强.

因此可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强.

22.(12分)生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.

(1)完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；

(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望.

附：

χ2=(其中n=a+b+c+d).

【解析】(1)因为头胎为女孩的频率为0.5，

所以头胎为女孩的总户数为200×0.5=100.

因为生二孩的概率为0.525，

所以生二孩的总户数为200×0.525=105.

2×2列联表如下：

χ2==>3.841，

故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.

(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X的可能取值为1，2，3，4.

P(X=1)==；P(X=2)==；

P(X=3)==；P(X=4)==.

X的分布列为

E(X)=1×+2×+3×+4×=.