课时跟踪检测（十四） 离散型随机变量的方差

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则下列结论正确的是( )
A．E(X)＝－eq \f(1,3) B．E(X＋4)＝－eq \f(1,3)
C．D(3X＋1)＝5 D．P(X>0)＝eq \f(1,6)
解析：选ACD E(X)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，E(X＋4)＝eq \f(11,3)，故A正确，B错误．D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9)，D(3X＋1)＝9D(X)＝5，故C正确．P(X>0)＝P(X＝1)＝eq \f(1,6)，故D正确．
2．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1当取到白球时，,0当取到红球时，))则X的方差D(X)＝( )
A.eq \f(21,100) B.eq \f(7,50)
C.eq \f(1,10) D.eq \f(3,10)
解析：选A 显然X服从两点分布，P(X＝0)＝eq \f(7,10)，P(X＝1)＝eq \f(3,10).故X的分布列为
所以E(X)＝eq \f(3,10)，故D(X)＝eq \f(7,10)×eq \f(3,10)＝eq \f(21,100).
3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( )
A.甲 B．乙
C．一样 D．无法比较
解析：选B E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，
D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.564．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1，P2，P3，P4，且eq \i\su(i＝1,4,P)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A．P1＝P4＝0.1，P2＝P3＝0.4
B．P1＝P4＝0.4，P2＝P3＝0.1
C．P1＝P4＝0.2，P2＝P3＝0.3
D．P1＝P4＝0.3，P2＝P3＝0.2
解析：选B A项，E(X)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，所以D(X)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；B项，E(X)＝2.5，D(X)＝1.85；C项，E(X)＝2.5，D(X)＝1.05；D项，E(X)＝2.5，D(X)＝1.45.故选B.
5．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则D(X)等于( )
A．3.36 B.eq \f(7,15)
C．7.8 D．3.6
解析：选A 由题知X＝6,9,12.
P(X＝6)＝eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝9)＝eq \f(C\\al(2,8)C\\al(1,2),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝12)＝eq \f(C\\al(1,8)C\\al(2,2),C\\al(3,10))＝eq \f(1,15).
∴X的分布列为
∴E(X)＝6×eq \f(7,15)＋9×eq \f(7,15)＋12×eq \f(1,15)＝7.8.
D(X)＝(6－7.8)2×eq \f(7,15)＋(9－7.8)2×eq \f(7,15)＋(12－7.8)2×eq \f(1,15)＝3.36.
6．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．
解析：X的分布列为
则E(X)＝1×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,2)＋5×eq \f(1,6)＝eq \f(8,3)，D(X)＝eq \f(17,9).
答案：eq \f(17,9)
7．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为________．
解析：因为X服从两点分布，
所以E(X)＝p＝0.5，
D(X)＝p(1－p)＝0.25.
答案：0.5和0.25
8．随机变量X的取值为0,1,2.若P(X＝0)＝eq \f(1,5)，E(X)＝1，则D(X)＝________.
解析：由题意设P(X＝1)＝p，
则X的分布列如下：
由E(X)＝1，可得p＝eq \f(3,5)，
所以D(X)＝12×eq \f(1,5)＋02×eq \f(3,5)＋12×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5).
答案：eq \f(2,5)
9．袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
解：(1)X的分布列为
则E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,20)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,20)＋4×eq \f(1,5)＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×eq \f(1,2)＋(1－1.5)2×eq \f(1,20)＋(2－1.5)2×eq \f(1,10)＋(3－1.5)2×eq \f(3,20)＋(4－1.5)2×eq \f(1,5)＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又E(Y)＝aE(X)＋b，所以，
当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝4.))
10．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：
其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．
解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于E(X)＝E(Y)，D(X)1．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq \f(2,3)，P(X＝x2)＝eq \f(1,3)，且x1A.eq \f(5,3) B.eq \f(7,3)
C．3 D.eq \f(11,3)
解析：选C 由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1·\f(2,3)＋x2·\f(1,3)＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(4,3)))2·\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(4,3)))2·\f(1,3)＝\f(2,9).))
解得x1＝1，x2＝2(x1＝eq \f(5,3)，x2＝eq \f(2,3)舍去)，
所以x1＋x2＝3，故选C.
2．设10≤x1A．D(ξ1)>D(ξ2)
B．D(ξ1)＝D(ξ2)
C．D(ξ1)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
解析：选A 由题意可知E(ξ1)＝eq \f(1,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，
E(ξ2)＝eq \f(1,5)eq \f(x1＋x2,2)＋eq \f(x2＋x3,2)＋eq \f(x3＋x4,2)＋eq \f(x4＋x5,2)＋eq \f(x5＋x1,2)＝eq \f(1,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，期望相等，都设为m，
∴D(ξ1)＝eq \f(1,5)[(x1－m)2＋…＋(x5－m)2]，
D(ξ2)＝eq \f(1,5)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)－m))2＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x5＋x1,2)－m))2))，
∵10≤x1∴D(ξ1)>D(ξ2)．故选A.
3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为
则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________．
解析：由分布列的性质可知p∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，则E(X)＝p＋1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，故E(X)的最大值为eq \f(3,2).∵D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－p))(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋eq \f(1,2)(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＋\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，又p∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，∴当p＝0时，D(X)取得最大值1.
答案：eq \f(3,2) 1
4．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)因为f(x)＝Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,100)·Y1))＋Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(100－x,100)·Y2))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,100)))2D(Y1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(100－x,100)))2D(Y2)
＝eq \f(4,1002)[x2＋3(100－x)2]
＝eq \f(4,1002)(4x2－600x＋3×1002)，
所以当x＝eq \f(600,2×4)＝75时，f(x)取最小值3.
5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．
(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)
解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝eq \f(15,50)＝0.3.
(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.
所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,4))＝eq \f(1,6)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,2),C\\al(2,4))＝eq \f(2,3)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,4))＝eq \f(1,6).
所以ξ的分布列为
故ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(1,6)＝1.
(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
0
1
P
eq \f(7,10)
eq \f(3,10)
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
X
6
9
12
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
X
1
3
5
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
P
eq \f(1,5)
p
eq \f(4,5)－p
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,20)
eq \f(1,10)
eq \f(3,20)
eq \f(1,5)
X
0
1
2
P
eq \f(1,2)－p
p
eq \f(1,2)
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
ξ
0
1
2
P
eq \f(1,6)
eq \f(2,3)
eq \f(1,6)