高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试课时作业

单元素养检测(一)(第九章)

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.在△ABC中,a=,A=60°,B=45°.则b= (　　)

A.   B.2 C.   D.2

【解析】选B.由正弦定理=,得b===2.

2.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= (　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】选A.由3sin A=5sin B,得3a=5b.

又因为b+c=2a,所以a=b,c=b,

所以cos C===

-.因为C∈(0,π),所以C=.

3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形解的情况是 (　　)

A.有一解  B.有两解

C.无解  D.有解但个数不能确定

【解析】选C.在△ABC中,b=40,c=20,C=60°,则由正弦定理=,

得sin B===>1,所以此三角形无解.

4.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,△ABC的面积为,则C= (　　)

A.30° B.45° C.60° D.75°

【解析】选C.由三角形面积公式得,×·|BC|·sin 30°=,所以|BC|=2.显然由勾股定理的逆定理得三角形为直角三角形,且A=90°,所以C=60°.

5.在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,则AC等于 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选A.方法一:在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,则由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C,得13=AC2+9-2AC×3×(-),

即AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).

方法二:在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,

则由正弦定理==,

得==,得sin A==,cos A=.sin B=sin(60°-A)=sin 60°cos A-cos 60°sin A=×-×=.

AC==××=1.

6.在△ABC中,A=45°,a=,b=2,则c= (　　)

A.2   B.-1或2

C.+1  D.+1或-1

【解析】选D.方法一:在△ABC中,A=45°,a=,b=2,则由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,

即3=4+c2-2×2ccos45°,得c2-2c+1=0,

解得c=±1,经验证都满足题意.

方法二:在△ABC中,A=45°,a=,b=2,则由正弦定理=,得sin B=

sin A=,

所以cos B=±=±,

sin C=sin(135°-B)=sin135°cos B-cos135°sin B=.由正弦定理=,得c==×=±1.

【补偿训练】

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cos B=,则c= (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

【解析】选D.因为cos B=,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a×2a×,解得a=2(负值舍去),所以c=4.

7.《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白,虽与著名的海伦公式形式上有所不同,但实质完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”把以上这段文字用数学公式表示,即S= (S,a,b,c分别表示三角形的面积及三边长).现有周长为4+2的△ABC 满足sin A∶sin B∶sin C=(+1)∶∶(-1),试用以上给出的公式求得△ABC的面积为              (　　)

A.   B.2   C.   D.2

【解析】选A.因为三角形中sin A∶sin B∶sin C=(+1)∶∶(-1),所以a∶b∶c=(+1)∶∶(-1),

又三角形的周长为4+2,

所以a=2(+1),b=2,c=2(-1),

得ac=4,c2+a2-b2=4,所以△ABC的面积为S==.

8.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是 (　　)

A.k=8   B.0<k≤12

C.k≥12   D.0<k≤12或k=8

【解析】选D.如图,作∠CBM=60°,

BC=k,AC=12,CH⊥BM,垂足为H,

则CH=h=k,若三角形唯一确定,则以点C为圆心,以12为半径作圆弧,与射线BM有一个交点,则k=12或12≥k>0.即k=8或0<k≤12.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9.在△ABC中,若a=2,b=2,A=30°,则B的值可以为 (　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

【解析】选BC.由正弦定理=,

得=,所以sin B=,

且0°<B<180°,所以B=60°或120°.

10.已知锐角△ABC,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=4,B=60°,则边b的可能取值为 (　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】选CD.方法一:因为锐角△ABC中,c=4,B=60°,所以0°<A =120°-C<90°,

得30°< C<90°,<sin C<1,由正弦定理=,得b==,

所以2<b<4,

结合选项,得b=4,5满足题意.

方法二:如图,在Rt△ABC1中,AC1=b1=2,

在Rt△ABC2中,AC2=b2=4,

要得到锐角△ABC,则2<b<4,

结合选项,得b=4,5满足题意.

11.在△ABC中,sin Asin Bsin C=,且△ABC的面积为1,则下列结论正确的是 (　　)

A.ab<8   B.ab>8

C.a<16 D.a+b+c>6

【解题指南】根据三角形面积公式列式,求得abc=8,再根据基本不等式判断各个选项.

【解析】选ABD.根据三角形面积为1,得

三个式子相乘,得到a2b2c2sin Asin Bsin C=1,

由于sin Asin Bsin C=,所以abc=8.

由a+b>c⇔ab>abc=8,故B正确;

由<c⇔ab<abc=8,故A正确;

由a≥a·2bc=2abc=16,故C错误.

a+b+c≥3=6,当且仅当a=b=c=2时,等号成立.

此时S△ABC=absin C=×2×2sin60°=>1,

不满足题意,故a+b+c>3=6,故D正确.

12.点G为△ABC的重心,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,则下列等式成立的是 (　　)

A.∠ACB=90°

B.BG=

C.·=

D.·=-

【解析】选ACD.因为点G为△ABC的重心,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos60°=3,即AC=,由勾股定理逆定理,得∠ACB=90°,所以∠BAC=30°.

延长BG交AC于点D,则D为AC的中点,CD=,

在△BCD中,BD2=BC2+CD2=,

得BD=,所以BG=BD=,

则·=(-)·(-)=

-·(+)+·

=-·2+·

=-·2×+·=-2+2×1×=-2×+1=-.

延长CG交AB于点E,则E为AB的中点,CE=1,CG=CE=,

则·=(-)·=-·=

-·=-·×(+)

=-·(+)=-(·+)=-(0+1)=.

【拓展延伸】

　　　三角形的四心与性质

向量的加减法离不开三角形,三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,三角形的“四心”与向量有着密切的联系.

一、三角形“四心”的意义

重心:三角形三边中线的交点.

垂心: 三角形三边高线的交点.

外心:三角形三边中垂线的交点.

内心:三角形三条内角平分线的交点.

二、三角形“四心”的向量表示

结论1:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足·=·=·,则点O为△ABC的垂心.

证明:由·=·,得·-·=0,即·(-)=0,⊥.

同理可证⊥,⊥,故O为△ABC的垂心.

结论2:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足+=+=+,则点O为△ABC的垂心.

证明:由+=+,得+(-)2=+(-)2,

所以·=·,

同理可证·=·,

容易得到·=·=·,

由结论1知O为△ABC的垂心.

结论3:若点G为△ABC所在的平面内一点,满足++=0,则点G为△ABC的重心.

证明:由++=0,得-=+.

设BC边中点为M,则2=+,

所以-=2,即点G在中线AM上.

设AB边中点为N,同理可证G在中线CN上,故点G为△ABC的重心.

结论4:若点G为△ABC所在的平面内一点,满足=(++),则点G为△ABC的重心.

证明:由=(++),得(-)+(-)+(-)=0,得++=0.

由结论3知点G为△ABC的重心.

结论5:若点P为△ABC所在的平面内一点,并且满足=+λ

,

则点P为△ABC的内心.

证明:由于=+λ,

可得=λ.

设与同方向的单位向量为e1,与同方向的单位向量为e2,则=λ(e1+e2),因为e1,e2为单位向量,所以向量e1+e2在∠A的平分线上.

由λ>0,知点P在∠A的平分线上.

同理可证点P在∠B的平分线上.

故点G为△ABC的内心.

结论6:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足(+)·=(+)·=(+)·=0,则点O为△ABC的外心.

证明:因为=-,

所以(+)·=||2-||2,

同理得(+)·=||2-||2,

(+)·=||2-||2,由题意得

||2-||2=||2-||2=||2-

||2,所以||2=||2=||2,得||=

||=||.故点O为△ABC的外心.

注意:||=||=||⇔||2=||2=

||2⇔(+)·=(+)·=(+)·=0.以上几个结论不仅展示了三角形的“四心”的向量表示,而且是向量加减法应用的典范,值得关注.

三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.在△ABC中,a=,b=2,c=3,则A=________. 

【解析】在△ABC中,a=,b=2,c=3,则由余弦定理,得cos A==,又A∈(0,π),则A=.

答案:

14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=2a2,则cos A的最小值为________. 

【解析】因为b2+c2=2a2,则由余弦定理可知a2=2bccos A,所以cos A==×≥×=(当且仅当b=c时等号成立),即cos A的最小值为.

答案:

15.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=1,c=,C=,则角A的大小为________. 

【解题指南】利用余弦定理求出a=1,再利用正弦定理求出sin A=,从而可得结果.

【解析】由余弦定理cos C=,得-=,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍).由正弦定理=,解得sin A=,由C=,可得A=.

答案:

16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=2,则a+4c的最小值为________. 

【解题指南】由正弦定理,得到a=ctan A,c=ACsin C =(AD+DC)cos A=cos A,利用基本不等式求最小值.

【解析】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,

设∠ADB=θ,

AD=x,DC=y,在△ADB与△BDC中,由正弦定理,得=,=,

即=,=,两式相比,得=tan A,即a=ctan A,tan A>0.

同理,由正弦定理得x=,y=,

在Rt△ABC中,c=(x+y)sin C=(x+y)cos A

=cos A,所以a+4c=ctan A+4c

=cos Atan A+4cos A

=10+2tan A+≥10+8=18.

当且仅当tan A =2,即sin A=,cos A=,

b=3,a=2c=6时,a+4c的最小值为18.

答案:18

【补偿训练】

　　　已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-a=2acos B,则的取值范围是________. 

【解析】由正弦定理,得sin C-sin A=2sin Acos B,即sin(A+B)-sin A=2sin Acos B,sin A=sin(B-A),由锐角三角形ABC,得A=B-A⇒B=2A,

且由0<A<,0<B<,0<C<得,

0<2A<,0<C=π-3A<,得<A<,

因为=sin A,<sin A<,

所以的取值范围是.

答案:

【误区警示】若不能将c-a=2acos B进行边化角,则无法得到B=2A,从而无法将问题化简;若不能利用锐角三角形的内角取值范围得到A的取值范围,则导致扩大sin A的取值范围.

四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=,②csin A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,________? 

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

【解析】方案一:选条件①.

由C=和余弦定理得=.

由sin A=sin B及正弦定理得a=b.

于是=,由此可得b=c.

由①ac=,解得a=,b=c=1.

因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.

方案二:选条件②.

由C=和余弦定理得=.

由sin A=sin B及正弦定理得a=b.

于是=,

由此可得b=c,B=C=,A=.

由②csin A=3,所以c=b=2,a=6.

因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2.

方案三:选条件③.

由C=和余弦定理得=.

由sin A=sin B及正弦定理得a=b.

于是=,由此可得b=c.

由③c=b与b=c矛盾.

因此,选条件③时问题中的三角形不存在.

18.(12分)如图,在四边形ABCD中,已知∠BDC=45°,∠BAD=60°,AD=2,BD=.

(1)求∠ADC的大小;

(2)若AC=2,求△BCD的面积.

【解题指南】(1)在△ABD中,由正弦定理得:

sin ∠ABD==,求得∠ ABD=45°,再根据四边形的内角和,即可得到答案;

(2)在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos ∠ADC,得DC=2,再由三角形的面积公式,即可求解.

【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得:=,所以sin ∠ABD==,因为AD<BD,∠ABD<∠BAD=60°,

所以∠ABD=45°,又∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,所以∠ADB=75°,因为∠BDC=45°,故∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°.

(2)在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos ∠ADC,化简得DC2+2DC-8=0,

所以DC=2或DC=-4(舍),

所以S△BCD=BD·DCsin ∠BDC=.

【拓展延伸】

余弦定理的拓展公式

在三角形中,当问题中出现a+c,ac等信息时,常常运用下列公式:b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B).

19.(12分)(2020·北京高考)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:

(1)a的值;

(2)sin C和△ABC的面积.

条件①:c=7,cos A=-;

条件②:cos A=,cos B=.

注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.

【命题意图】考查正弦定理、余弦定理,三角恒等变换等.

【解析】方案一:选①.(1)由已知及余弦定理,cos A=,即-=,

又a+b=11,解得a=8;

(2)由(1)知,b=3,又sin2 A+cos2 A=1,0<A<π,

所以sin A=,由正弦定理得=,

即=,所以sin C=,S△ABC=absin C=6.

方案二:选②.

(1)因为cos A=,所以A∈,

所以sin A=,因为cos B=,

所以B∈,所以sin B=,

由正弦定理:=,又由a+b=11,得a=6.

(2)sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,

因为a+b=11,所以b=5,

所以S△ABC=absin C=.

【补偿训练】

　　　在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且满足+=0.

(1)求角B的值.

(2)若c=2,AC边上的中线BD=,求△ABC的面积.

【解析】(1)+=0⇔+=0,

⇒cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0,

⇒2sin Acos B+cos Bsin C+sin Bcos C=0,

⇒2sin Acos B+sin(B+C)=0,

⇒sin A(2cos B+1)=0,

因为sin A≠0,所以cos B=-.所以B=,

(2)延长BD到E,使BD=DE,连接AE,EC,易知四边形AECB为平行四边形,

在△BCE中,CE=2,BE=2BD=,

　　　因为∠ABC=,所以∠BCE=,

由余弦定理得,

BE2=CE2+BC2-2CE·BC·cos∠BCE,即3=4+a2-4acos,解得a=1,

S△ABC=acsin∠ABC=×1×2×=.

20.(12分)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a+2acos B=c.

(1)求证:B=2A;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求a的取值范围.

【解析】(1)a+2acos B=c由正弦定理知sin A+2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,

即sin A=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A).

因为A,B∈(0,π),所以B-A∈(-π,π),

且A+(B-A)=B∈(0,π),所以A+(B-A)≠π,

所以A=B-A,B=2A.

(2)由(1)知A=,C=π-A-B=π-,

由△ABC为锐角三角形得

得<B<.

由a+2acos B=2得a=∈(1,2).

21.(12分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c已知cos C+cos Acos B=sin Acos B.

(1)求cos B的值;

(2)若a+c=1,求b的取值范围.

【解析】(1)由已知得-cos+cos Acos B-

sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,

因为sin A≠0,所以sin B-cos B=0.

又cos B≠0,所以tan B=.

又0<B<π,所以B=,所以cos B=.

(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B.

因为a+c=1,cos B=,所以b2=3+,又因为0<a<1,所以≤b2<1,所以≤b<1.

22.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,c=2b.

(1)若a=,b=1,求△ABC的面积;

(2)若a=2,求△ABC的面积的最大值.

【解题指导】(1)利用余弦定理得cos A=求出cos A,进而得到sin A,再利用S△ABC=bcsin A求值即可.

(2)由S△ABC=b·2b·sin A=b2sin A可得=b4sin2A=-+,转求二次函数的最值即可.

【解析】(1)因为a=,b=1,c=2b=2,

所以cos A===.

所以sin A==.

所以S△ABC=bcsin A=×1×2×=.

(2)因为S△ABC=b·2b·sin A=b2sin A,

又4b2+b2-4=2·2b·b·cos A,

所以cos A=-.

所以=b4sin2 A=b4(1-cos2A)

=b4=b4-

=-+≤.

所以S≤(当且仅当b=时取等号).

所以面积的最大值为.