高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理说课ppt课件

课后素养落实(二)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

B　[∵a＞b＞c，∴C为最小角，由余弦定理得

cos C＝＝＝，

∴C＝．]

2．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)

A．      B．      C．      D．

B　[∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，

∴cos B＝＝＝．]

3．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为(　　)

A．直角三角形   B．锐角三角形

C．钝角三角形   D．不存在

B　[因为c2<a2＋b2，所以C为锐角．因为a<b<c，所以C为最大角，所以△ABC为锐角三角形．]

4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝7，b＝8，cos C＝，则△ABC中角B的余弦值是(　　)

A．－      B．－    C．－      D．－

C　[由余弦定理，得cos C＝＝，得c＝3，所以cos B＝＝－．故选C．]

5．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，它的面积为，则角A＝(　　)

A．30°      B．45°    C．60°      D．90°

B　[由余弦定理得＝＝bccos A，

根据三角形面积公式得＝bcsin A，

∴sin A＝cos A．

又A为△ABC的内角，

∴A＝45°．故选B．]

二、填空题

6．已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________．

30°　[由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×＝12，

∴c＝2．

由正弦定理＝得，

sin A＝＝＝．

∵a＜c，∴A＜60°．

∴A＝30°．]

7．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．

　[由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，

整理得：AC2＋5AC－24＝0，

解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，

所以由正弦定理可得＝＝．]

8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．

　[由题意，得a＋b＝5，ab＝2．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝．]

三、解答题

9．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝．

(1)求b的值；

(2)求sin C的值．

[解]　(1)因为b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝．

(2)因为cos B＝，所以sin B＝．

由正弦定理＝，得＝，

所以sin C＝．

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝3，a＋c＝3，sin C＝2sin A．

(1)求a，c的值；

(2)求sin的值．

[解]　(1)由正弦定理＝及sin C＝2sin A，得c＝2a．

因为a＋c＝3，

所以a＝，c＝2．

(2)因为由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

所以cos B＝．

因为B是三角形的内角，

所以0<B<π．

所以sin B＝＝．

所以sin 2B＝2sin Bcos B＝，

cos 2B＝2cos2B－1＝．

所以sin＝sin 2Bcos ＋cos 2Bsin ＝sin 2B＋cos 2B＝．

11．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)

A．      B．5    C．6      D．7

B　[连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5．]

12．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的大小为(　　)

A．      B．    C．      D．π

BC　[因为(a2＋c2－b2)tan B＝ac，所以2accos B·tan B＝ac，又ac≠0，所以sin B＝，所以B＝或B＝，故选BC．]

13．在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，cos B＝－，AB＝BC＝2，则sin∠BAC＝________，DC＝________．　

　3　[在△ABC中，由AB＝BC＝2，cos B＝－，得AC＝＝，所以cos∠BAC＝＝，sin∠BAC＝＝．因为B＋D＋∠BAD＋∠BCD＝360°，所以D＋B＝180°，所以cos D＝，sin D＝．在△ADC中，sin∠DAC＝sin(120°－∠BAC)＝sin 120°cos∠BAC－cos 120°sin∠BAC＝，由正弦定理＝，得DC＝3．]

14．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．

7　[由已知条件，得cos A＝＝＝．设AC边上的中线长为x，由余弦定理，得x2＝＋AB2－2××ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7．]

15．如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝π，AB＝，S△ABC＝．

(1)求∠ACB的大小；

(2)若BC⊥CD，∠ADC＝，求AD的长．

[解]　(1)在△ABC中，

S△ABC＝×AB×BCsin∠ABC，

∴××BCsin＝，∴BC＝，AB＝BC．

又∵∠ABC＝，∴∠ACB＝．

(2)∵BC⊥CD，∴∠ACD＝．

在△ABC中，由余弦定理得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos＝()2＋()2－2××＝9，∴AC＝3．

在△ACD中，由正弦定理得，

＝，

∴AD＝＝＝．