人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理课后复习题

一　正 弦 定 理

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)

1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,则C等于 (　　)

A.30° B.45° C.150° D.30°或150°

【解题指南】利用正弦定理解三角形,根据大边对大角,即可得解.

【解析】选A.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,则由正弦定理可得=,所以sin C==,因为c<b,所以C=30°.

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=,则b= (　　)

A.1  B.  C.  D.2

【解析】选A.因为在△ABC中,A=105°,C=45°,

所以B=180°-A-C=180°-105°-45°=30°.

再由正弦定理=,即=,解得b=1.

3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asinA,则△ABC的形状为(　　)

A.锐角三角形   B.直角三角形

C.等边三角形   D.等腰三角形

【解析】选B.由正弦定理可以得到sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,故sin(B+C)=sin2 A,即sin A=sin2 A.

因为A∈(0,π),故sin A≠0,所以sin A=1.

因为A∈(0,π),故A=,所以△ABC为直角三角形.

4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2ccos A,sin A=1,则

sin C的值为 (　　)

A.    B.    C.   D.

【解析】选B.因为sin A=1,即sin A=.又a=2ccos A,cos A=>0,所以

cos A=.由条件及正弦定理得sin A=2sin Ccos A,即=2×sin C,所以sin C=.

5.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形 (　　)

A.无解  B.有两解

C.有一解  D.解的个数不确定

【解析】选B.如图,因为bsin A<a<b,所以B有两解.

6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足sin B=2sin Acos C+cos Asin C,则下列结论可能正确的是(　　)

A.a=2b  B.b=2a

C.C=   D.C<

【解析】选AC.由sin B=2sin Acos C+cos Asin C,

得sin B+2sin Bcos C=2sin Acos C+cos Asin C,

所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),

cos C(2sin B-sin A)=0,

所以cos C=0或2sin B=sin A,C=或2b=a.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csin A,则角C=________. 

【解析】由a=2csin A及正弦定理得==,因为sin A≠0,所以

sin C=,

又因为△ABC是锐角三角形,所以C=.

答案:

8.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为________. 

【解析】如图所示,由正弦定理得sin C==.且AB>AC,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.

所以S△ABC=AC·AB·sin A=或.

答案:或

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.已知△ABC中,a=,b=,B=45°,求A,C和边c.

【解析】由正弦定理=,得sin A=.

因为a>b,所以A=60°或A=120°.

当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,

c==;

当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.

【补偿训练】

若在△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.

【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°

得B=180°-A-C=60°,

在△ABC中,由正弦定理得==,

故BC===,

AB====.

10.在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,△ADC是△ABD面积的倍.

(1)求的值.

(2)若A=30°,AB=1,求AD的值.

【解题指南】(1)根据△ADC是△ABD面积的倍列式,由此求得的值.

(2)用B表示C,利用正弦定理和两角差的正弦公式,化简(1)所得的表达式,求得tan B的值,进而求得∠ADB的值,利用正弦定理求得AD的值.

【解析】(1)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.

所以===.

(2)因为A=30°,所以C=150°-B,

由(1)得==

==,

所以sin B=cos B+sin B,

即sin B=-cos B,得tan B=-.

易得B=120°,因为AD平分∠BAC,

所以∠ADB=30°+15°=45°.

因为AB=1,由正弦定理知=,

即==,得AD=.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A等于 (　　)

A.150° B.90° C.60° D.30°

【解析】选D.由正弦定理,得=,

得sin A=.又a<b,

所以A<B=45°.所以A=30°.

2.在△ABC中,若内角满足A>B,则下列结论一定正确的是 (　　)

A.sin A>sin B  B.sin A<sin B

C.sin A>cos B  D.cos A>cos B

【解题指南】先由三角形大角对大边,再由正弦定理变形公式判断.

【解析】选A.设A,B对应的边分别为a,b,因为A>B,所以a>b,由正弦定理得,2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B.

3.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为 (　　)

A.A>B　　　　　　 B.A<B

C.A≥B    D.A,B的大小不能确定

【解题指南】先由正弦定理说明a>b,然后再根据△ABC中大角对大边的原理去判断.

【解析】选A.由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B.因为sin A>sin B.所以a>b,所以A>B.

4.在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是 (　　)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【解析】选D.由已知===,

所以=或=0,

即C=90°或=.

由正弦定理,得=,

所以=,

即sin Ccos C=sin Bcos B,

即sin 2C=sin 2B,

因为B,C均为△ABC的内角,

所以2C=2B或2C+2B=180°,

所以B=C或B+C=90°,

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=bsin A,则

sin B=________. 

【解析】由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,

所以sin A=sin B·sin A,故sin B=.

答案:

6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=________. 

【解析】方法一:由正弦定理bcos C+ccos B=2b,

即sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,

即sin(B+C)=2sin B,sin(π-A)=2sin B,有sin A=2sin B,再由正弦定理得a=2b,=2.

方法二:如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccos B+bcos C=2b,即=2.

答案:2

7.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足2b=a+c,且A-C=90°,则

cos B=________. 

【解析】因为2b=a+c.

所以由正弦定理,

得2sin B=sin A+sin C.

因为A-C=90°,

所以2sin B=sin(90°+C)+sin C.

所以2sin B=cos C+sin C.

所以2sin B=sin(C+45°).①

因为A+B+C=180°且A-C=90°,

所以C=45°-,

代入①式中,2sin B=sin.

所以2sin B=cos.

所以4sincos=cos.

所以sin=.

所以cos B=1-2sin2=1-=.

答案:

8.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取值范围为________. 

【解题指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函数的值域求取值范围.

【解析】设A=θ⇒B=2θ.由正弦定理得=,所以=1⇒=2.

由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°,

又0°<180°-3θ<90°⇒30°<θ<60°,

故30°<θ<45°⇒<cos θ<,

所以AC=2cos θ∈(,).

答案:2　(,)

三、解答题(共38分)

9.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b=6,a=2,A=30°,试求ac的值.

【解析】由正弦定理=

得sin B===.

由条件b=6,a=2,b>a知B>A.

所以B=60°或120°.

(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.

在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,c=4,

所以ac=2×4=24.

(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,

所以A=C,则有a=c=2.

所以ac=2×2=12.

10.(12分)已知在△ABC中,D为BC中点,cos∠BAD=,cos∠CAD=,

(1)求∠BAC的值.

(2)求的值.

【解析】(1)因为cos∠BAD=,cos∠CAD=,

所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,

所以sin∠BAD=,sin∠CAD=,

cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)

=×-×=,

因为0<∠BAC<π,

所以∠BAC=.

(2)在△ABC中,=,

在△ABD中,=,=,

又因为BC=2BD,所以=.

11.(14分)如图所示,扇形AOB,圆心角∠AOB为60°,半径为2,在弧AB上有一动点P.过P引平行于OB的直线交OA于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.

【解析】因为CP∥OB,

所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.

在△POC中,

由正弦定理,得=,

所以CP===.

又=,

所以OC=sin(60°-θ),

所以S△POC=CP·OCsin 120°=×sin θ·

sin(60°-θ)×=cos(2θ-60°)-.

又0°<θ<60°,

所以当θ=30°时,S△POC取得最大值.

【补偿训练】

在△ABC中,已知sin A-cos A=1,

cos B=,AB=4+.

(1)求内角A的大小.

(2)求边BC的长.

【解析】(1)因为sin A-cos A=1,

所以2sin=1,

即sin=,

因为0<A<π,

所以-<A-<,

所以A-=,

所以A=.

(2)因为sin2B+cos2B=1,cos B=,

B∈,

所以sin B==,

所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B

=×+×=.

在△ABC中,由正弦定理得=,

所以=,得BC=5.