高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.2 余弦定理课后复习题

9.1.2　余弦定理

基础过关练

题组一　已知两边及其夹角解三角形

1.在△ABC中,若AB=1,AC=3,A=60°,则BC=(　　)

A.     B.      C.      D.7

2.若△ABC是等腰三角形,且a=5,B=120°,则△ABC的周长为(　　)

A.15     B.5+   C.5+10   D.10+5

3.已知在△ABC中,AB=5,BC=1,tan B=,则AC=　    . 

题组二　已知三边解三角形

4.在△ABC中,已知a=1,b=,c=2,则B等于(　　)

A.30° B.45°      C.60°   D.120°

5.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cos C的值等于(　　)

A.       B.-       C.-      D.-

6.在△ABC中,若(a+2b)(a-b)=c2-3b2,则角C等于(　　)

A.120° B.90°    C.60°     D.30°

7.若三角形的三条边长分别为2,,+1,则其最大角与最小角之和等于　　　　. 

题组三　已知两边及一边的对角解三角形

8.在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,则a等于(　　)

A.3    B.6       C.3或6    D.4

9.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则=(　　)

A.       B.         C.          D.

10.已知在△ABC中,cos A=,a=4,b=3,则c=　　　. 

题组四　利用余弦定理进行边角互化

11.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,则下列等式中正确的是(　　)

A.b=acos C+ccos A     B.b=acos A+ccos C

C.b=asin C+csin A     D.b=acos C-ccos A

12.在△ABC中,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的大小为(　　)

A.60° B.120°

C.60°或120° D.30°或150°

13.△ABC中,a,b,c分别表示角A,B,C所对的边,若a2=b2+c2,则的值等于(　　)

A.        B.       C.    D.

14.在△ABC中,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos A·sin C,则b的值等于(　　)

A.8     B.6       C.4    D.1

15.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若2bcos A=ccos A+acos C.

(1)求角A的大小;

(2)若a=,b+c=4,求△ABC的面积.

题组五　利用余弦定理判断三角形的形状

16.在△ABC中,若3sin2A=3sin2B+3sin2C+sin Bsin C,则该三角形一定是(　　)

A.直角三角形    B.锐角三角形

C.钝角三角形    D.等腰直角三角形

17.在△ABC中,若A=60°,a2=bc,则△ABC一定是(　　)

A.直角三角形    B.等腰直角三角形

C.钝角三角形    D.等边三角形

18.在△ABC中,若c2=abcos C+bccos A+accos B,则△ABC一定是(　　)

A.直角三角形    B.锐角三角形

C.钝角三角形    D.等边三角形

19.在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,则△ABC的形状是　　　　　　　　. 

能力提升练

一、单项选择题

1.(★★☆)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若bsin A=3csin B,a=3,cos B=,则b=(　　)

 A.14       B.6     C.    D.

2.(★★☆)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是(　　)

A.0,    B.,π  C.0,    D.,π

3.(★★☆)在△ABC中,若cos2=,则△ABC的形状是(　　)

A.等边三角形               B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形   D.等腰直角三角形

4.(疑难2,★★☆)在三角形ABC中,若B=60°,a+c=2,则b的取值范围是(　　)

A.[1,2)   B.(0,2)  C.(0,1]   D.(2,+∞)

5.(疑难3,★★☆)在△ABC中,若AB=2,AC=3,·=3,则BC=(　　)

A.      B.     C.   D.

6.(★★☆)在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为(　　)

A.      B.5        C.      D.5

7.(★★☆)如果将直角三角形的三条边增加相同的长度,则新三角形的形状是(　　)

A.锐角三角形       B.直角三角形

C.钝角三角形       D.不确定

8.(★★★)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos∠BAC等于(　　)

A.      B.     C.-    D.-

二、多项选择题

9.(★★☆)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2<a2+b2+2abcos 2C,则C的取值可能为(　　)

A.      B.        C.       D.

10.(疑难3,★★★)下列条件中能够判定△ABC是钝角三角形的是(　　)

A.a=,b=,c=        B.·=2b

C.=            D.b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C

三、填空题

11.(★★☆)在三角形ABC中,a=4,b=5,c=6,则=　　　　. 

12.(★★☆)在△ABC中,若B=C,2b=a,则cos A=　　　　. 

13.(疑难1,★★☆)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B,则C的大小为　　　　. 

14.(★★★)在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则该三角形的周长为　　　　. 

四、解答题

15.(★★☆)在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.

16.(★★☆)在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.

17.(疑难1,★★★)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若a=1,2cos C+c=2b.

(1)求A;

(2)若b=,求sin C的值.

答案全解全析

9.1.2　余弦定理

基础过关练

1.B　由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=12+32-2×1×3×cos 60°=7,所以BC=.

2.D　由于△ABC是等腰三角形,且B=120°,所以a=c=5,因此由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+a2-2a·a·cos 120°=3a2,所以b=a=5,故△ABC的周长为5+5+5=10+5.

3.答案　3

解析　由tan B=可得cos B=,所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=52+12-2×5×1×=18,所以AC=3.

4.C　因为cos B===,所以B=60°.

5.D　由正弦定理可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,

不妨设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),

则由余弦定理的推论得cos C===-.

6.A　由(a+2b)(a-b)=c2-3b2可得a2+ab-2b2=c2-3b2,即a2+b2-c2=-ab,

因此由余弦定理的推论得cos C===-,故C=120°.

7.答案　120°

解析　由于+1>>2,

所以最大角与最小角所对的边分别为+1,2,

设边长为的边所对的角为θ,

则由余弦定理的推论可得cos θ==,

因此θ=60°,

故最大角与最小角之和为180°-60°=120°.

8.C　由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,

即32=a2+(3)2-2×a×3cos 30°,

整理得a2-9a+18=0,解得a=3或a=6,

经检验a=3或a=6均符合题意.

9.B　由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos A,因此49=25+AC2+5AC,解得AC=3或AC=-8(舍去),因此由正弦定理得==.

10.答案　5

解析　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以16=9+c2-6×c,

整理得5c2-18c-35=0,

解得c=5或c=-(舍),故c=5.

11.A　acos C+ccos A=a·+c·==b,故A选项正确.

12.C　由已知及余弦定理,得2accos B·tan B=ac,所以sin B=,所以B=60°或B=120°.

13.A　由a2=b2+c2得b2=a2-c2,所以====.

14.C　由sin Acos C=3cos Asin C及正、余弦定理得a·=3c·,所以2(a2-c2)=b2,因为a2-c2=2b,所以b2=4b,解得b=4(b=0舍去).

15.解析　(1)由余弦定理的推论得2bcos A=c·+a·=b,

所以cos A=,由于A∈(0,π),所以A=.

(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A,

所以()2=42-2bc-bc,解得bc=3,

故S△ABC=bcsin A=×3×sin=.

16.C　由3sin2A=3sin2B+3sin2C+sin Bsin C和正弦定理,

得3a2=3b2+3c2+bc,

即b2+c2-a2=-bc,

所以cos A===-<0,

所以A是钝角,

故该三角形是钝角三角形.

17.D　由余弦定理的推论知cos A=,

因为a2=bc,A=60°,

所以cos 60°=,

所以(b-c)2=0,所以b=c,

因此B=C=A=60°,

即△ABC一定是等边三角形.

18.A　由余弦定理的推论可得c2=ab·+bc·+ac·,整理得c2=,因此有a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.

19.答案　等腰三角形或直角三角形

解析　由已知及正、余弦定理可得a-c·b=b-c·a,

整理得b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2),所以b2a2+b2c2-b4=a2b2+a2c2-a4,

因此b2c2-b4=a2c2-a4,所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,故a2=b2或a2+b2-c2=0,

即a=b或a2+b2=c2,故△ABC是等腰三角形或直角三角形.

能力提升练

一、单项选择题

1.D　由bsin A=3csin B及正弦定理,得b·a=3c·b,即a=3c,

又因为a=3,所以c=1.

由余弦定理得b===.

2.C　由sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,

得a2≤b2+c2-bc,即≥,因此得cos A≥,又因为0<A<π,所以0<A≤.

3.B　由cos2=可得=+,所以cos B=,由余弦定理的推论得=,整理得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形,但没法判断其是不是等腰三角形,故选B.

4.A　由余弦定理的推论得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac=4-3ac,由于0<ac≤2=1(当且仅当a=c=1时,等号成立),所以1≤b2<4,所以1≤b<2,故b的取值范围是[1,2).

5.B　因为AB=2,AC=3,所以·=||·||cos A=2×3×cos A=3,所以cos A=,因此由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos A=22+32-2×2×3×=7,故BC=.

6.C　在△ADC中,由余弦定理的推论得cos ∠ADC== =-,所以∠ADC=120°,所以∠ADB=60°.在△ABD中,由正弦定理可得AB===.

7.A　设直角三角形的三条边分别为a,b,c,且a2+b2=c2.令三条边均增加同样的长度m,则三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对的角为θ,由余弦定理的推论可得

cos θ=

=,由于m2>0,a+b-c>0,所以cos θ>0,故θ为锐角,所以其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.

8.D　设A,B,C所对的边分别为a,b,c,由已知得a=csin,

即a=c.由余弦定理得b2=a2+c2-ac=c2+c2-3c2=c2,

所以b=c,

因此cos∠BAC===-.

二、多项选择题

9.AB　由余弦定理及已知可得a2+b2-2ab·cos C<a2+b2+2abcos 2C,

整理得cos 2C+cos C>0,

即2cos2C+cos C-1>0,

所以(2cos C-1)(cos C+1)>0,

解得cos C>或cos C<-1(舍去),

因此cos C>,

因为C为三角形ABC的内角,

所以C∈0,,

结合选项可知,C的取值可能为,.

10.ABC　对于A选项,由于cos A==<0,所以A为钝角,所以△ABC是钝角三角形,故A选项正确;对于B选项,由于·=2b,所以cacos(π-B)=2b,所以cos B=-<0,所以B为钝角,即△ABC是钝角三角形,故B选项正确;对于C选项,由=可得c2-b2=a2+ab,即a2+b2-c2=-ab,于是cos C=-,所以C=120°,即△ABC是钝角三角形,故C选项正确;对于D选项,由b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,得b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C,整理得b2+c2=(bcos C+ccos B)2,即b2+c2=a2,因此△ABC是直角三角形,故D选项错误.故选ABC.

三、填空题

11.答案　1

解析　===×=1.

12.答案　

解析　由B=C知b=c=a,所以结合余弦定理的推论可得cos A==.

13.答案　60°

解析　由题意可知,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,于是有a2+2ab+b2-c2=3ab,即=,所以cos C=,故C=60°.

14.答案　30

解析　由a-b=4,a+c=2b,

得b=a-4,c=a-8,

所以a>b>c,

即a是最长边,

所以角A最大,

依题意得cos 120°=,

解得a=14(a=4舍去),

所以b=10,c=6,

所以三角形ABC的周长为30.

四、解答题

15.解析　由acos B+acos C=b+c及余弦定理的推论可得a·+a·=b+c,

即+=b+c,整理得a2b-c2b-b3+a2c-b2c-c3=0,

所以a2(b+c)-bc(b+c)-(b3+c3)=0,

所以(b+c)(a2-bc-b2-c2+bc)=0,

所以(b+c)(a2-b2-c2)=0.

由于b+c≠0,因此a2=b2+c2,

故该三角形是直角三角形.

16.解析　由正弦定理及C=2A可得====2cos A=2×=,

因为a+c=10,所以c=6,a=4.

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,

所以16=b2+36-9b,解得b=4或b=5.

当b=4时,由a=4知A=B,而C=2A,所以A+A+2A=180°,解得A=45°,这与cos A=矛盾,舍去;

当b=5时,符合题意.故b=5.

17.解析　(1)因为a=1,2cos C+c=2b,

所以结合余弦定理的推论可得2×+c=2b,整理得b2+c2-1=bc.

所以cos A====,

又因为0°<A<180°,所以A=60°.

(2)由于b=,且b2+c2-1=bc,所以2+c2-1=c,

即4c2-2c-3=0,解得c=或c=(舍去).

由=,得sin C===.