全国统考2022版高考数学大一轮复习第5章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标运算1备考试题（含解析）

第五章　平面向量

第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量

基本定理及坐标运算

练好题·考点自测 

1.给出下列命题:

①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;

②两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件;

③若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b两者之一的方向相同;

④两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;

⑤若向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;

⑥λa=0(λ为实数),则λ必为0.

其中叙述正确的命题的序号是 (　　)

A.①② B.③④ C.②④ D.⑤⑥

2.[新课标全国Ⅰ,5分]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则 (　　)

A.= B.

C. D.

3.[2019全国卷Ⅱ,3,5分][文]已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= (　　)

A. B.2  C.5 D.50

4.[浙江高考,5分]记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则 (　　)

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

5.[2018全国卷Ⅲ,13,5分][文]已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. 

6.[新课标全国Ⅱ,5分]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　. 

7.[2020江苏,13,5分]如图5-1-1,在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(m)(m为常数),则CD的长度是　　　　. 

图5-1-1

拓展变式

1.[2021合肥市调研检测]在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,AD,BE,CF交于点G,则以下结论:

①; ②=;

③; ④=0.

正确的是 (　　)

A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④

2.如图5-1-4,在直角梯形ABCD中,,=2,且=r+s,则2r+3s= (　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

图5-1-4

3.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图5-1-6所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值为　　　　. 

图5-1-6

答  案

第五章　平面向量

第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量

基本定理及坐标运算

1.C　对于①,当a=0时,不正确;

对于②,根据平行向量和相等向量的定义可知正确;

对于③,当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同,故③不正确;

对于④,由相等向量的定义可知,④正确;

对于⑤,若向量与向量是共线向量,由共线向量的定义可知,点A,B,C,D不一定在同一条直线上,故⑤不正确;

对于⑥,当a=0时,不论λ为何值,λa=0,故⑥不正确.故选C.

2.A　由题意得=,故选A.

3.A　依题意得a-b=(-1,1),|a-b|=,因此选A.

4.D　对于min{|a+b|,|a-b|}与min{|a|,|b|}的比较,相当于把以|a|与|b|为邻边的平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长度的较小者比较,它们的大小关系不定,因此A,B均错.而|a+b|,|a-b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2,故选D.

5.　由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以1×2=4λ,即λ=.

6.　由于λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数μ,使得λa+b=μ(a+2b),即(λ-μ)a+(1-2μ)b=0.因为向量a,b不平行,所以λ-μ=0,1-2μ=0,解得λ=μ=.

7.或0　解法一　以点A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系.设=λ,λ∈[0,1],则D(4λ,3-3λ),+λ=λ+(1-λ),又点P在AD的延长线上,则可设=μ,μ>1.又=m()+=m,则=m()+(),=m+(m),则2m+(3-2m)=μ=λμ+μ(1-λ),所以2m=λμ,3-2m=μ-λμ,所以μ=3.又AP=9,则AD=3,所以(4λ)2+(3-3λ)2=9,得λ=或λ=0,则||=|=或||=0×||=0.

解法二　由题意可设=λ=λ[μ+(1-μ)]=λμ+(λ-λμ),其中λ>1,0≤μ≤1,又=m+(m),所以得λ=,即,又PA=9,则||=6,||=3,所以AD=AC.当D与C重合时,CD=0,当D不与C重合时,有∠ACD=∠CDA,所以∠CAD=180°-2∠ACD,在△ACD中,由正弦定理可得,则CD=·AD=2cos∠ACD·AD=2××3=.综上,CD=或0.

1.C　如图D 5-1-1,因为点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,所以=,故①不正确;()==,故②正确;,故③正确;由题意知,点G为△ABC的重心,所以()+()+()=0,即=0,故④正确.综上所述,正确的是②③④,故选C.

图D 5-1-1

2.C　根据图形,由题意可得()=()=()=.

因为=r+s,所以r=,s=,所以2r+3s=1+2=3.

3.2　以O为坐标原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图D 5-1-2所示,则A(1,0),B(,).设∠AOC=α,α∈[0,],则C(cos α,sin α).由=x+y,得所以x=cos α+

sin α,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=2sin(α+).又α∈[0,],所以当α=时,x+y取得最大值2.

图D 5-1-2