全国统考2022版高考数学大一轮复习第14章推理与证明2备考试题（含解析）

第十四章　推理与证明

1.[2020安徽省示范高中名校联考]某校高一年级组织五个班的学生参加学农活动,每班从“农耕”“采摘”“酿酒”“野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践,且各班的选择互不相同.已知1班既不选“农耕”,也不选“采摘”;2班既不选“农耕”,也不选“酿酒”;3班既不选“野炊”,也不选“农耕”;5班选择“采摘”或“酿酒”;如果1班不选“酿酒”,那么4班不选“农耕”.则选择“饲养”的班级是              (　　)

A.2班 B.3班 

C.4班 D.5班

2.[2020河南省实验中学模拟]在平面几何中有射影定理:在三角形ABC中,AB⊥AC,D是点A在BC上的射影,则AB2=BD·BC.拓展到空间,在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,点O是点A在平面BCD内的射影,且O在△BCD内,类比平面三角形中的射影定理,得出的正确结论是              (　　)

A.=S△BCD·S△BCO 

B.=S△BCD·S△BCO

C.=S△DOC·S△BOC 

D.=S△ABD·S△ABC

3.[2020安徽模拟]观察图14-1中各正方形图案,记第n个图案中圆点的总数为Sn.

图14-1

按此规律推出Sn与n的关系式为 (　　)

A.Sn=2n B.Sn=4n 

C.Sn=2n D.Sn=4n-4

4.[2020江西模拟]用反证法证明命题“若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈Z)有有理根,那么当a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是              (　　)

A.假设a,b,c都是偶数

B.假设a,b,c都不是偶数

C.假设a,b,c至多有一个偶数

D.假设a,b,c至多有两个偶数

5.某市为了缓解交通压力,实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行,B车昨天限行,从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是              (　　)

A.今天是周四 

B.今天是周六

C.A车周三限行 

D.C车周五限行

6.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位分布示意图如图14-2所示,则下列座位号码符合要求的可以是(　　)

图14-2

A.25,26 B.33,34 

C.64,65 D.72,73

7.[2020陕西高三摸底]甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:“丙或丁申请了.”乙说:“丙申请了.”丙说:“甲和丁都没有申请.”丁说:“乙申请了.”如果这四位同学中只有两人说的是对的,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是　　　　. 

8.[2020太原4月模拟][解法创新]“斐波那契数列”是数学史上的一个著名数列,在斐波那契数列{an}中,a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),记{an}的前n项和为Sn,已知S2 020=m,则a2 022=　　　　. 

9.[2021长春市高三质监]如图14-3,在面积为1的正方形A1B1C1D1内作四边形A2B2C2D2,使=2,=2,=2,=2,以此类推,在四边形A2B2C2D2内再作四边形A3B3C3D3,……,记四边形AIBICIDI的面积为aI(I=1,2,3,…,n),则a1+a2+a3+…+an=              (　　)

A.[1-()n] 

B.[1-()n]

C.[1-()n]

D.3[1-()n]图14-3

10.[2020江西省红色七校第一次联考]我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是一种寻找精确分数来表示天文数据或数学常数的内插法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a,b,c,d∈N*),则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e=2.718 28…,若令<e<,则第一次用“调日法”后可得是e的更为精确的不足近似值,即<e<.若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得e的更为精确的近似值为              (　　)

A. B. C. D.

11.[2020陕西省百校第一次联考]在一次考试后,为了分析成绩,从1,2,3班中抽取了三名同学(每班一人),记这三名同学分别为A,B,C,已知来自2班的同学比B的成绩低,A与来自2班的同学的成绩不同,C的成绩比来自3班的同学的成绩高.下列推断正确的为              (　　)

A.A来自1班 B.B来自1班

C.C来自3班 D.A来自2班

12.[2020陕西省部分学校摸底检测]我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”通过圆内接正多边形割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为πn,那么用圆的内接正2n边形逼近圆,算得圆周率的近似值π2n可表示成              (　　)

A. B.

C. D.

13.[2020南昌市测试]自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在,如开关的开和关、电路的通和断等,非常适合表示计算机中的数,所以现在使用的计算机设计为二进制计算机.二进制以2为基数,只用0和1两个数码表示数,逢2进1,二进制数同十进制数遵循一样的运算规则,它们可以相互转化,如521(10)=1×29+0×28+0×27+0×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 000 001 001(2).我国数学史上,对数制的研究不乏其人,清代汪莱的《参两算经》系统论述了非十进制数,十进制数与八进制数的对应转化如下:49(10)=61(8),42(10)=52(8),35(10)=43(8),….类比二进制与十进制转化的运算,数1 010 011 100(2)对应的八进制数              (　　)

A.446(8) B.1 134(8)

C.1 234(8) D.4 321(8)

14.[数学文化题]我国古代十部著名的数学著作《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》,被称为《算经十书》.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣.一天,他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话,甲:“乙阅读的本数比丁少.”乙:“甲阅读的本数比丙多.”丙:“我阅读的本数比丁多.”丁:“丙阅读的本数比乙多.”有趣的是,他们说的这些话中,只有一个人说的是真实的,而这个人正是他们四个人中阅读的本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读的本数各不相同).甲、乙、丙、丁按各人阅读的本数由少到多的排列是　　　　.  

15.已知函数f(x)=,0<x<π.

(1)若x=x0时,f(x)取得极小值f(x0),求f(x0)的取值范围;

(2)当a=π,0<m<π时,证明:f(x)+mlnx>0.

答 案

第十四章　推理与证明

1.B　解法一　由题意可知五个班级和五项活动一一对应,作出如下表格(不选的活动项目打“✕”,选择的活动项目打“√”),当5班选“采摘”时,4班选“农耕”,根据“如果1班不选‘酿酒’,那么4班不选‘农耕’”,得1班选“酿酒”,再根据五个班级和五项活动一一对应,易得选“饲养”的是3班.

当5班选“酿酒”时,4班选“农耕”,根据“如果1班不选‘酿酒’,那么4班不选‘农耕’”,得1班选“酿酒”,则1班和5班都选“酿酒”,与题意矛盾,舍去这种情况.

综上可知,选B.

解法二　由题意知,1班、2班、3班、5班均不选“农耕”,所以4班选“农耕”,根据“如果1班不选‘酿酒’,那么4班不选‘农耕’”,得1班选“酿酒”,则5班选“采摘”,又3班不选“野炊”,所以2班选“野炊”,3班选“饲养”.故选B.

2.A　由已知得在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,D是垂足,则AB2=BD·BC.类比这一性质,推理出:在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,连接AO,则AO⊥平面BCD,O为垂足,连接BO,CO,则=S△BCD·S△BCO.故选A.

【解后反思】　本题通过对类比推理的应用,把平面几何中的线线垂直转化为立体几何中的线面垂直,利用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,考查了学生的类比能力.

3.B　第一个图案中圆点的总数S1=4;第二个图案中圆点的总数S2=8;第三个图案中圆点的总数S3=12.

S1=4=4×1,S2=8=4×2,S3=12=4×3,由此得到第n个图案中圆点的总数Sn=4n.故选B.

【方法总结】　从特殊情形出发,发现图案中圆点的总数的规律,猜想归纳出一般结论.一般地,由特殊情形归纳出一般结论的步骤是:从特殊出发→发现规律→归纳结论.

4.B　命题“a,b,c中至少有一个是偶数”的否定是“a,b,c都不是偶数”,故选B.

5.A　在限行政策下,要保证每天至少有四辆车可以上路行驶,周一到周五每天只能有一辆车限行.由周末不限行,B车昨天限行知,今天不是周一,也不是周日;由E车周四限行且明天可以上路可知,今天不是周三;由E车周四限行,B车昨天限行知,今天不是周五;从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,如果今天是周二,A,C两车连续行驶到周五,只能同时在周一限行,不符合题意;如果今天是周六,则B车周五限行,A,C两车连续行驶到周二,只能同时在周三限行,不符合题意.所以今天是周四.故选A.

【解题关键】　求解这类逻辑推理题,一般用代入法解答,将选项逐一代入题干,判断是否符合题目要求.读懂题意并抓住关键即可轻松解题.

6.C　设靠左、右窗的座位号码分别为an,bn,则由火车上的座位号码规律可得,an=5n-4,bn=5n.因此33号、34号、72号与73号都不是靠窗的座位号,所以选项B和D均不符合要求;25号与65号都是靠右窗的座位号码,但25号、26号是不相邻的,64号与65号是相邻的,故选C.

7.乙　(1)如果申请的同学是甲,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,不满足题意.(2)如果申请的同学是乙,则甲、乙两人说的是错的,丙、丁两人说的是对的,满足题意.(3)如果申请的同学是丙,则甲、乙、丙三人说的是对的,不满足题意.(4)如果申请的同学是丁,则只有甲说的是对的,不满足题意.

故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙.

【方法总结】　求解推理问题的主要方法如下:(1)利用表格将条件中给出的相关结果呈现出来,观察表格得出结论;(2)利用假设法进行求解.

8.m+1　解法一(归纳推理)　a3=a1+a2=2,a4=a2+a3=3,a5=a3+a4=5,a6=a4+a5=8,…

S1=1=a3-1,S2=a1+a2=2=a4-1,S3=S2+a3=4=a5-1,S4=S3+a4=7=a6-1,…

由此猜想:Sn=an+2-1.所以a2 022=S2 020+1=m+1.

解法二(演绎推理)　因为a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),

所以a1+a2=a3,a2+a3=a4,a3+a4=a5,……,a2 020+a2 021=a2 022.

以上各式累加得a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+a2 020+a2 021=a3+a4+…+a2 022,所以a1+a2+a3+a4+…+a2 020=a2 022-a2,a2 022=S2 020+a2=m+1.

9.B　由=2,=2,=2,=2可得||=|=|,依次有||=|,……,||=|,其中i=1,2,…,n-1,根据正方形的面积比等于边长比的平方可得ai+1=ai(i=1,2,…,n-1),即四边形的面积依次构成以1为首项、为公比的等比数列,所以a1+a2+a3+…+an=[1-()n],故选B.

10.B　第一次用“调日法”后得,即<e<;第二次用“调日法”后得,即<e<;第三次用“调日法”后得,即<e<;第四次用“调日法”后得,故选B.

11.B　依题意得知,B不来自2班,A不来自2班,因此C来自2班.又B的成绩比来自2班的同学的成绩高,C的成绩比来自3班的同学的成绩高,所以B不能来自3班,只能来自1班,所以A来自3班,故选B.

12.A　设圆的半径为R,由题意得R2sin=πnR2,

所以n=,又2n×R2sin=π2nR2,

所以π2n=sin,故选A.

13.C　1 010 011 100(2)=1×29+1×27+1×24+1×23+1×22=668(10),668(10)=1×83+2×82+3×81+4×80=1 234(8).故选C.

14.甲丙乙丁　由题意可列表如下:

若甲说的是真实的,则甲阅读的本数最少,可得四人阅读的本数由少到多的排列是甲丙乙丁;若乙说的是真实的,则乙阅读的本数最少,与丁<乙,丙<乙矛盾,不符合题意;若丙说的是真实的,则丙阅读的本数最少,与丙>丁,甲<丙矛盾,不符合题意;若丁说的是真实的,则丁阅读的本数最少,与丙<丁矛盾,不符合题意.综上,甲说的是真实的,甲、乙、丙、丁按各人阅读的本数由少到多的排列是甲丙乙丁.

15.(1)由函数f(x)=,0<x<π,得f'(x)=,

因为当x=x0时,f(x)取得极小值f(x0),

所以f'(x0)=0,所以a=sin x0-x0cos x0,

所以f(x0)==-cos x0,

因为0<x<π,所以cos x0∈(-1,1),所以f(x0)∈(-1,1).

(2)当a=π时,f(x)=(0<x<π),

要证当0<m<π时f(x)+mlnx=+mlnx>0成立,即证mxlnx>sin x-π成立,

令g(x)=mxlnx,h(x)=sin x-π,则h(x)=sin x-π∈(-π,1-π], 而g'(x)=m(ln x+1),令g'(x)=0,得x=,

则当0<x<时,g'(x)<0,此时g(x)单调递减,

当<x<π时,g'(x)>0,此时g(x)单调递增,所以g(x)min=g()=,

显然∀m∈(0,π),>1-π,所以当0<m<π时,mxlnx>sin x-π成立,

即0<m<π时,f(x)+mlnx>0.