2021年中考数学 三轮专题冲刺：与圆有关的位置关系（含答案）

这是一份2021年中考数学 三轮专题冲刺：与圆有关的位置关系（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 平面内，☉O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作☉O的切线条数为( )
A.0条B.1条C.2条D.无数条
2. 如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

3. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
5. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC的延长线于点P，则PA的长为( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(1,2)
6. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO B．AB＝AC
C．CD＝DB D．AC∥OD
7. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为( )
A．54° B．36° C．32° D．27°
8. 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( )
A．E，F，G B．F，G，H
C．G，H，E D．H，E，F
二、填空题
9. 如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE= .

10. 如图1，已知△ABC的外心为O，BC＝10，∠BAC＝60°，分别以AB，AC为腰向三角形外作等腰直角三角形ABD与ACE，连接BE，CD交于点P，则OP长的最小值是________．
11. 设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d的取值范围是________．
12. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．
13. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．

15. 如图，半圆的圆心O与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x＋t.若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是________．
16. 如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA＝4.若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，则在旋转的过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
三、解答题
17. 如图，△ABC内接于☉O，∠B=60°，CD是☉O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)若PD=，求☉O的直径.
18. 已知AB是☉O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°.
(1)如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小;
(2)如图②，过点D作☉O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小.
19. 如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/时．
(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射塔越近，信号越强)
(2)班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能不能接收到信号，并说明理由．
图
20. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5.
(1)以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC的位置关系是________；
(2)以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，求⊙B的半径r的取值范围；
(3)以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切，求R的值．
21. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
(1)如图2，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段________．
(2)①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A，B，C，D四个点都在以点O为圆心的同一个圆上？如果有，请指出点O的具体位置；
②如图2，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论(不再添加任何线段或点)．
2021中考数学 三轮专题冲刺：与圆有关的位置关系-答案
一、选择题
1. 【答案】C [解析]∵☉O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d>r，∴点P与☉O的位置关系是:P在☉O外.
∵过圆外一点作圆的切线有2条，故选C.
2. 【答案】 B 【解析】∵AB和⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠A＝90°－∠AOB＝90°－60°＝30°.
3. 【答案】D
4. 【答案】C [解析] 由题意可知，圆的半径为3 cm.∵圆心到直线l的距离为π cm＞圆的半径3 cm，∴直线l与⊙O相离．故选C.
5. 【答案】B [解析] 连接OA.因为∠ABC＝30°，所以∠AOC＝60°.因为PA为⊙O的切线，所以∠OAP＝90°，所以∠P＝90°－∠AOC＝30°.因为OA＝OC＝1，所以OP＝2OA＝1，
所以PA＝eq \r(3).
6. 【答案】A
7. 【答案】D [解析] ∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°.
∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°－∠ABO＝54°.
∴∠ADC＝eq \f(1,2)∠AOB＝27°.故选D.
8. 【答案】A [解析] 设小正方形的边长为1个单位长度，所以OA＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
因为OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内；
OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内；
OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内；
OH＝eq \r(22＋22)＝2 eq \r(2)＞OA，
所以点H在⊙O外．
故选A.
二、填空题
9. 【答案】60° [解析]
连接OA，
∵四边形ABOC是菱形，
∴BA=BO，
∵AB与☉O相切于点D，
∴OD⊥AB.
∵D是AB的中点，
∴OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOD=∠AOB=30°，
同理∠AOE=30°，
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，
故答案为60°.
1
10. 【答案】5－eq \f(5,3) eq \r(3) [解析] ∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠DAC＝∠BAE.
在△DAC和△BAE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝AB，,∠DAC＝∠BAE，,AC＝AE，))
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴∠ADC＝∠ABE，
从而∠PDB＋∠PBD＝90°，
即∠DPB＝90°，从而∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的圆上．
如图，过点O作OH⊥BC于点H，连接OB，OC.
∵△ABC的外心为O，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°.又∵BC＝10，
∴OH＝eq \f(5,3) eq \r(3)，∴OP长的最小值是5－eq \f(5,3) eq \r(3).
11. 【答案】0≤d≤3
12. 【答案】4 [解析] ∵R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，且直线l与⊙O相切，
∴d＝R，
∴方程有两个相等的实数根，
即Δ＝16－4m＝0，解得m＝4.
13. 【答案】70° [解析] 由切线长定理可知∠OBD＝eq \f(1,2)∠ABC＝20°.∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.
14. 【答案】eq \f(25,4) 【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OD、OA，则OD＝OA.∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF⊥AD，∴DF＝AF＝eq \f(1,2)AD＝6，在Rt△ODF中，设OD＝r，则OF＝EF－OE＝AB－OE＝8－r，在Rt△ODF中，由勾股定理得DF2＋OF2＝OD2，即62＋(8－r)2＝r2，解得r＝eq \f(25,4).∴⊙O的半径为eq \f(25,4).
解图
15. 【答案】t＝eq \r(2)或－1≤t＜1 [解析] 若直线与半圆只有一个公共点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A)．
直线y＝x＋t与x轴所形成的锐角是45°.
当点O到直线l的距离OC＝1时，直线l与半圆O相切，设直线l与y轴交于点D，则OD＝eq \r(2)，即t＝eq \r(2).
当直线过点A时，把A(－1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝1.
当直线过点B时，把B(1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝－1.
即当t＝eq \r(2)或－1≤t＜1时，直线和半圆只有一个公共点．
故答案为t＝eq \r(2)或－1≤t＜1.
16. 【答案】B [解析] ∵正方形ABCD的对角线长为6，∴它的边长为3 eq \r(2).
如图，⊙O与正方形ABCD的边AB，AD只有一个公共点的情况各有1次，与边BC，CD只有一个公共点的情况各有1次，
∴在旋转的过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现4次．
三、解答题
17. 【答案】
解:(1)证明:连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是☉O的切线.
(2)在Rt△OAP中，
∵∠P=30°，
∴PO=OD+PD=2OA，
又∵OA=OD，
∴PD=OA，
∵PD=，
∴CD=2OA=2PD=2.
∴☉O的直径为2.
18. 【答案】
解:(1)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°.
又∵∠BAC=38°，
∴∠ABC=90°-38°=52°.
由D为的中点，得=.
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°.
∴∠ABD=∠ACD=45°.
(2)如图，连接OD.
∵DP切☉O于点D，
∴OD⊥DP，即∠ODP=90°.
∵DP∥AC，∠BAC=38°，
∠AOD是△ODP的外角，
∴∠AOD=∠ODP+∠P=∠ODP+∠CAB=128°.
∴∠ACD=∠AOD=64°.
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=38°.
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.
19. 【答案】
解：(1)如图，过点B作BM⊥AC于点M，
则班车行驶了0.5小时的时候到达点M.
∵AM＝60×0.5＝30(千米)，AB＝50千米，
∴BM＝40千米．
答：此时，班车到发射塔的距离是40千米．
(2)能．理由如下：如图，连接BC.
∵AC＝60×2＝120(千米)，AM＝30千米，
∴CM＝AC－AM＝120－30＝90(千米)，
∴BC＝eq \r(CM2＋BM2)＝eq \r(902＋402)＝10 eq \r(97)(千米)＜100千米，
∴到C城后还能接收到信号．
20. 【答案】
解：(1)∵AC⊥BC，而AC＞4，∴以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC相离．
故答案为相离．
(2)BC＝eq \r(AB2－AC2)＝12.
∵BC⊥AC，
∴当⊙B的半径大于BC的长时，以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，即r＞12.
(3)如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵eq \f(1,2)CD·AB＝eq \f(1,2)AC·BC，
∴CD＝eq \f(5×12,13)＝eq \f(60,13).
即当R＝eq \f(60,13)时，以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切．
21. 【答案】
解：(1)AC
(2)①在损矩形ABCD内存在点O，使得A，B，C，D四个点都在以点O为圆心的同一个圆上，O是线段AC的中点．
②答案不唯一，如损矩形ABCD是圆内接四边形，∠ADB＝∠ACB等．