2021年中考数学 三轮专题冲刺：圆的有关性质（含答案）

这是一份2021年中考数学 三轮专题冲刺：圆的有关性质（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，若AB=10，AC=8，则BD的长为( )
A.2B.4C.2D.4.8
2. 一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为 ( )
A．6 dm B．5 dm C．4 dm D．3 dm
3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A.eq \r(,7) B．2eq \r(,7) C．6 D．8
4. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是( )
A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°
5. 如图，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是( )
A．48° B．64° C．96° D．132°
6. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(\r(2),2) C. eq \f(\r(3),2) D. eq \f(\r(3),3)

7. 如图，⊙O的半径为8 cm，把劣弧AB沿AB折叠，使劣弧AB经过圆心O，再把劣弧CD沿CD折叠，使劣弧CD经过AB的中点E，则折痕CD的长为( )
A．8 cm B．8eq \r(,3) cm C．2eq \r(,7) cm D．4eq \r(,7) cm
8. 2020·武汉模拟 小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160 mm，直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320 mm，请帮小名同学计算轮胎的直径为( )
A．350 mm B．700 mm
C．800 mm D．400 mm
二、填空题
9. 如图，点A，B，C在☉O上，BC=6，∠BAC=30°，则☉O的半径为 .

10. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O的半径是 .

11. 如图，☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上.若∠BAC=66°，则∠EPF等于 度.

12. 当宽为3 cm的刻度尺的一边与⊙O相切于点A时，另一边与⊙O的两个交点B，C处的读数如图所示(单位： cm)，那么该圆的半径为________cm.
13. (2019•娄底)如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD，BE，它们交于点M，且MD＝2，则BE的长为________.
15. 如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．
16. 只用圆规测量∠XOY的度数，方法是：以顶点O为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A，B(如图)，在这个圆上顺次截取eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵))＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n周时，终于使第m(m＞n)次截得的弧的末端恰好与点A重合，那么∠XOY的度数等于________．
三、解答题
17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，D为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点．
(1)求∠ABD的大小；
(2)若AC＝6，BD＝5 eq \r(2)，求BC的长．
18. 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．

19. 2018·牡丹江 如图，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝2eq \(AC,\s\up8(︵))，AD⊥OC于点D.求证：AB＝2AD.
20. 2018·天津 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°.
(1)如图①，若D为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
21. 如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧eq \(CBA,\s\up8(︵))上一动点(不与A、C重合)．
(1)求∠APC与∠ACD的度数；
(2)当点P移动到劣弧eq \(CB,\s\up8(︵))的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；
(3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．

2021中考数学 三轮专题冲刺：圆的有关性质-答案
一、选择题
1. 【答案】C [解析]∵AB是直径，∴∠C=90°，∴BC==6.
∵OD⊥AC，∴CD=AD=AC=4，
∴BD==2，故选C.
2. 【答案】B [解析] 如图，连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上．因为CD垂直平分AB，AB＝8 dm，所以BD＝4 dm，OD＝(OC－2)dm.由勾股定理，得42＋(OC－2)2＝OC2，解得OC＝5(dm)．
故选B.
3. 【答案】B [解析] 连接OC，则OC＝4，OE＝3.在Rt△OCE中，CE＝eq \r(OC2－OE2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7).因为AB⊥CD，所以CD＝2CE＝2 eq \r(7).
4. 【答案】C 【解析】由CD为腰上的高，I为△ACD的内心，则∠IAC＋∠ICA＝eq \f(1,2)(∠DAC＋∠DCA)＝eq \f(1,2)(180°－∠ADC)＝eq \f(1,2)(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC＝135°.
5. 【答案】C [解析] ∵∠ACB＝90°，∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE＝48°，∴∠EOA＝2∠ACE＝96°.
6. 【答案】A 【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，
解图
∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°＝eq \f(1,2).
7. 【答案】D [解析] 如图，作CD关于AB对称的弦C′D′，连接OE并延长，交CD于点F，交C′D′于点F′.由题意可得OF′⊥C′D′，且OF′＝eq \f(3,4)×8＝6(cm)，所以C′F′＝eq \r(OC′2－OF′2)＝ 2 eq \r(7) cm，所以CD＝C′D′＝2C′F′＝4 eq \r(7) cm.
8. 【答案】C
二、填空题
9. 【答案】6 [解析]连接OB，OC.∵∠BOC=2∠BAC=60°，OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB=BC=6，故答案为6.

10. 【答案】2 [解析]连接OC，则OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.
∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，
∴OC=2.
11. 【答案】57 [解析]连接OE，OF.∵☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，∴OF⊥AC，OE⊥AB，∴∠BAC+∠EOF=180°，∵∠BAC=66°，
∴∠EOF=114°.∵点P在优弧上，
∴∠EPF=∠EOF=57°.故填:57.

12. 【答案】eq \f(25,6)
13. 【答案】1
【解析】∵AB为直径，∴，∵，∴．
故答案为：1．
14. 【答案】8 [解析] 连接AD，如图所示．
∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
又∵OA＝OB，∴OD∥AC，
∴OD⊥BE，∴BM＝EM，
∴CE＝2MD＝4，
∴AE＝AC－CE＝6，
∴BE＝eq \r(AB2－AE2)＝eq \r(102－62)＝8.
15. 【答案】eq \f(1,2) [解析] 连接OD.因为CD⊥OC，所以CD＝eq \r(OD2－OC2)，根据题意可知圆的半径一定，故当OC最小时CD最大，故当OC⊥AB时CD最大，此时CD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2).
16. 【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(360n,m)))° [解析] 设∠XOY的度数为x，则mx＝n×360°，所以x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(360n,m)))°.
三、解答题
17. 【答案】
解：(1)∵D为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，
∴eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠DAB＝45°.
(2)由(1)知eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，∴AD＝BD＝5 eq \r(2).
又∵∠ADB＝90°，
∴AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝10.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(102－62)＝8.
18. 【答案】
【思路分析】(1)因为PE是直径，所以∠PAE＝90°，要证△PAE是等腰直角三角形，只要证PA＝EA，由已知得∠PBA＝45°，而∠PEA与∠PBA是同弧所对的圆周角，所以∠PEA＝∠PBA，问题得证；(2)由(1)得△PAC≌△EAB，所以PC＝BE，因为PE是直径，所以∠PBE＝90°，所以PC2＋PB2＝BE2＋PB2＝PE2＝4.
解图
(1)证明：如解图，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝90°，∠PBA＝45°，
∵在⊙O中，∠PEA与∠PBA都是eq \(AP,\s\up8(︵))所对的圆周角，
∴∠PEA＝∠PBA＝45°，
∵PE为⊙O的直径，
∴∠PAE＝90°，(4分)
∴△PAE为等腰直角三角形且AP＝AE；(5分)
(2)∵∠PAE＝∠CAB＝90°，
∴∠CAB－∠PAB＝∠PAE－∠PAB，
∴∠CAP＝∠BAE，
∴△CAP≌△BAE(SAS)，(8分)
∠C＝∠ABE＝45°，
∠PBE＝∠PBA＋∠ABE＝90°(10分)
在Rt△PBE中，PC2＋PB2＝PE2＝4.(12分)
19. 【答案】
证明：如图，延长AD交⊙O于点E，
∵OC⊥AD，
∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝2eq \(AC,\s\up8(︵))，AE＝2AD.
∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝2eq \(AC,\s\up8(︵))，∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(AB,\s\up8(︵))，
∴AB＝AE，∴AB＝2AD.
20. 【答案】
解：(1)如图①，连接OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－38°＝52°.
∵D为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ABD＝eq \f(1,2)∠AOD＝45°.
(2)如图②，连接OD.
∵DP切⊙O于点D，
∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°.
∵DP∥AC，∠BAC＝38°，
∴∠P＝∠BAC＝38°.
∵∠AOD是△ODP的一个外角，
∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°，
∴∠ACD＝64°.
∵OC＝OA，∠BAC＝38°，
∴∠OCA＝∠BAC＝38°，
∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64°－38°＝26°.
21. 【答案】
(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝eq \f(1,2)AB＝2，
∴AC＝OA＝OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，
∴∠APC＝eq \f(1,2)∠AOC＝30°，
又∵DC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；
解图
(2)证明：如解图，连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC＝60°，
∴∠COB＝120°，
当点P移动到eq \(CB,\s\up8(︵))的中点时，∠COP＝∠POB＝60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴OC＝CP＝OB＝PB，
∴四边形OBPC为菱形；
(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径，
∴∠CAP＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC与Rt△CPA中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CP,AC＝AC))，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．