2021年中考数学 三轮专题冲刺：一元二次方程及其应用（含答案）

2021中考数学 三轮专题冲刺：一元二次方程及其应用

一、选择题

1. 用配方法解方程x2－6x＝4时，需要两边同时加上(　　)

A．3     B．4     C．6     D．9

2. 方程3x(2x＋1)＝2(2x＋1)的两个根为(　　)

A．x1＝，x2＝0

B．x1＝，x2＝

C．x1＝，x2＝－

D．x1＝，x2＝－

3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是(　　)

A．x2－2x＝0       B．x2＋4x－1＝0 

C．2x2－4x＋3＝0      D．3x2＝5x－2

4. 2018·绵阳 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，则参加酒会的人数为(　　)

A．9       B．10      C．11      D．12

5. 若方程(x＋3)2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的(　　)

A．1  　  B．4     C.     D.

6. 某市2018年GDP比2017年增长了11.5%，由于受到国际因素的影响，2019年的GDP比2018年增长了7%.若这两年GDP的年平均增长率为x，则x满足的关系式是(　　)

A．11.5%＋7%＝x

B．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝2(1＋x)

C．11.5%＋7%＝2x

D．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)2

7. 代数式x2－4x－2020的最小值是(　　)

A．－2018    B．－2020    C．－2022    D．－2024

8. 若M＝2x2－12x＋15，N＝x2－8x＋11，则M与N的大小关系为(　　)

A．M≥N    B．M＞N    C．M≤N    D．M＜N

二、填空题

9. 设x1，x2是方程x2-3x+2=0的两个根，则x1+x2-x1·x2=　　　　. 

10. 若(m＋2)＋3x－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为________．

11. 一个三角形其中两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则此三角形的周长是________．

12. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡每张的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，设每张贺年卡应降低x个0.1元，则所列方程为__________________________________．

13. 已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为________．

14. 相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．

15. 设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个实数根，则(a－1)(b－1)的值为________．

16. 某校课外生物小组的试验园地是长32 m，宽20 m的矩形，为了便于管理，现要在试验园地开辟宽度均为x m的小道(图中的阴影部分)．

(1)如图①，在试验园地开辟一条纵向小道，则剩余部分的面积为________m2(用含x的代数式表示)；

(2)如图②，在试验园地开辟三条宽度相等的小道，其中一条是横向的，另两条互相平行．若使剩余部分的面积为570 m2，则小道的宽度为________m.

三、解答题

17. 解一元二次方程3x2=4-2x.

18. 如图，有一矩形的硬纸板，长为30 cm，宽为20 cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为200 cm2?

19. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

20. 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.

(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.

①求y关于x的函数表达式；

②当y≥3时，求x的取值范围；

(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10.你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？

21. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，每件每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元/件，设第二个月每件降低x元．

(1)填表：(不需化简)

(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少？

2021中考数学 三轮专题冲刺：一元二次方程及其应用-答案

一、选择题

1. 【答案】D　

2. 【答案】D　[解析] 3x(2x＋1)－2(2x＋1)＝0，

(3x－2)(2x＋1)＝0，

3x－2＝0或2x＋1＝0，

所以x1＝，x2＝－.

3. 【答案】C　

4. 【答案】C　[解析] 设参加酒会的人数为x，

根据题意，得x(x－1)＝55，

整理，得x2－x－110＝0，

解得x1＝11，x2＝－10(不合题意，舍去)．

故参加酒会的人数为11.

5. 【答案】D

6. 【答案】D　[解析] 设2017年的GDP为1，

∵2018年的GDP比2017年增长了11.5%，

∴2018年的GDP为1＋11.5%.

∵2019年的GDP比2018年增长了7%，

∴2019年的GDP为(1＋11.5%)×(1＋7%)．

∵这两年GDP的年平均增长率为x，

∴2019年的GDP也可表示为(1＋x)2，

∴可列方程为(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)2.

7. 【答案】D　[解析] x2－4x－2020

＝x2－4x＋4－4－2020

＝(x－2)2－2024.

∵(x－2)2≥0，

∴(x－2)2－2024≥－2024，即代数式x2－4x－2020的最小值是－2024.

8. 【答案】A　[解析] M－N＝(2x2－12x＋15)－(x2－8x＋11)

＝x2－4x＋4

＝(x－2)2.

∵(x－2)2≥0，

∴M≥N.

二、填空题

9. 【答案】1

10. 【答案】2　[解析] 由题意得m2－2＝2，且m＋2≠0，解得m＝2.

11. 【答案】13　[解析] 解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.∵2，3，6不能构成三角形，∴舍去x＝2.当x＝4时，三角形的周长＝3＋4＋6＝13.

12. 【答案】(0.3－0.1x)(500＋100x)＝120

13. 【答案】0　[解析] 由题意得Δ＝b2－4ac＝4－4(k－1)>0，∴k<2.又∵k－1≠0，即k≠1，∴k<2且k≠1，∴k的最大整数值为0.

14. 【答案】5，6　[解析] 设较小的自然数为x，则较大的自然数为(x＋1)．

根据题意，得x2＋(x＋1)2＝2x＋51，

解得x1＝5，x2＝－5(舍去)．

则这两个自然数分别为5，6.

15. 【答案】－2018　[解析] 根据题意，得a＋b＝－1，ab＝－2020，∴(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝－2020＋1＋1＝－2018.故答案为：－2018.

16. 【答案】(1)20(32－x)　(2)1

[解析] (1)根据题意，得剩余部分的面积为20(32－x)m2.

(2)根据题意，得(32－2x)(20－x)＝570，

解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)．

即小道的宽度为1 m.

三、解答题

17. 【答案】

解:3x2=4-2x，即3x2+2x-4=0，

Δ=b2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0，

∴x=，

∴x1=，x2=.

18. 【答案】

解:设剪去的小正方形的边长为x cm，

根据题意有:(30-2x)(20-2x)=200，

解得x1=5，x2=20，

当x=20时，30-2x<0，20-2x<0，所以x=5.

答:当剪去的小正方形的边长为5 cm时，长方体盒子的底面积为200 cm2.

19. 【答案】

解：(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

(2)由求根公式，得x＝，

∴x1＝＝，x2＝＝1.

∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，

∴x1＝＝1＋必为正整数，

∴m－1＝1或m－1＝2，∴m＝2或m＝3.

20. 【答案】

【思维教练】(1)①由题干条件知矩形的面积相等，可得矩形的长×宽等于定值，所以y关于x的函数表达式是反比例函数；②将y的值带入反比例函数解析式中，求出x的求值范围即可；(2)设长为x，用含长的代数式表示出宽，得出关于面积的分式方程，化为一元二次方程，再根据根的判别式即可判断圆圆和方方说法的正误．

解：(1)①由题意得，1×3＝xy，

∴y＝(x>0)；(2分)

②∵由已知y≥3，

∴≥3，∴0<x≤1，

∴x的取值范围是0<x≤1；(4分)

(2)圆圆的说法不对，方方的说法对．

理由：∵圆圆的说矩形的周长为6，∴x＋y＝3，

∴x＋＝3，化简得，x2－3x＋3＝0，

∴Δ＝(－3)2－4×1×3＝－3<0，方程没有实数根，

所以圆圆的说法不对；(6分)

方方的说矩形的周长为10，∴x＋y＝5，∴x＋＝5，

化简得，x2－5x＋3＝0，(8分)

∴Δ＝(－5)2－4×1×3＝13>0，

∴x＝，

∵x>0，

∴x＝，y＝，

所以方方的说法对．(10分)

21. 【答案】

解：(1)填表如下：

(2)根据题意，得

200×(80－50)＋(200＋10x)(80－x－50)＋[800－200－(200＋10x)](40－50)＝9000，

整理，得10x2－200x＋1000＝0，

解得x1＝x2＝10.

当x＝10时，80－x＝70＞50.

答：第二个月的单价应是70元/件．