2021年中考数学 三轮专题冲刺：锐角三角函数及其应用（含答案）

2021中考数学 三轮专题冲刺：锐角三角函数及其应用

一、选择题

1. （2020·天津）2sin45°的值等于（    　　）

A. 1 B.  C.  D. 2

2. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为 (　　)

A.AB=，BC=4，AC=5

B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5

C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

D.cosA-+tanB-2=0

3. (2019•湖南湘西州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是

A．10  B．8 

C．4  D．2

4. （2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为                                                           （    ）             

A.       B.    C.    D.

5. 如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（　　）

A.     B.       C.       D.

6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若BD是△ABC的角平分线，BD＝8，则△ABC的三边长分别是(　　)

A．6，6，12    B．2，6，4

C．4，4，8    D．4，12，8

7. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 m，则鱼竿转过的角度是(　　)

A. 60°  B. 45°  C. 15°  D. 90°

8. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于

A．asinx+bsinx  B．acosx+bcosx 

C．asinx+bcosx  D．acosx+bsinx

二、填空题

9. 【题目】 (2020·湘潭)计算：________．

10. 6tan230°-sin60°-2sin45°=　　　　. 

11. 如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．

12. (2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．

13. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)

14. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是__________米(结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．

15. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝40°，∠E＝140°，AB＝EF＝5，BC＝DE＝8，则这两个三角形面积的大小关系为S△ABC________S△DEF(填“＞”或“＝”或“＜”)．

16. （2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC．若，则________．

三、解答题

17. 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1∶(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:≈1.73，≈1.41)

18. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上).然后，小明沿坡度i=1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行.

(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号);

(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73).

19. 如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：≈1.73)

20. 阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD＝c－bcosA.

在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，

即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，

整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.

同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)

利用上述结论解答下列问题：

(1)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 ，c＝2，求a的长和∠C的度数；

(2)在△ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．

21. 如图，AB为⊙O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE//AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.

(1)求证：DE为⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝，求AD；

(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．

2021中考数学 三轮专题冲刺：锐角三角函数及其应用-答案

一、选择题

1. 【答案】B

【解析】本题考查了特殊值的三角函数值。2sin45°=2×＝2，故选B.

2. 【答案】C　[解析]A.∵52+42=25+16=41=()2，∴△ABC是直角三角形;

B.设AB=3x，则BC=4x，AC=5x.∵(3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2，∴△ABC是直角三角形;

C.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∴∠C=×180°=75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形;

D.∵cosA-+tanB-2=0，∴cosA=，tanB=，∴∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形.

故选C.

3. 【答案】D

【解析】∵∠C=90°，cos∠BDC=，设CD=5x，BD=7x，∴BC=2x，

∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD=BD=7x，∴AC=12x，

∵AC=12，∴x=1，∴BC=2；故选D．

4. 【答案】
B

【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC，∵AC＝2，CB＝3，∴AB，∴sin∠ABC，∴∠ADC的正弦值等于，因此本题选B．

5. 【答案】B

【解析】过点B作BD⊥AC于D点D， 则∠ADB=90°，设小正方形方格的边长为1，根据勾股定理得AB=，BD=,∴在Rt△ABD中，sin∠BAC=,故选B．

6. 【答案】D　[解析] ∵∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠CBD＝30°.

解Rt△BCD，Rt△ABC，即可得△ABC的三边长．

7. 【答案】C　【解析】∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.

8. 【答案】D

【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，

∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，

故选D．

二、填空题

9. 【答案】【答案】

10. 【答案】　[解析]原式=6×2--2×=.

11. 【答案】2　[解析] 过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．

设AC＝x，则AB＝x.

在Rt△ACD中，AD＝AC·sinC＝x，

CD＝AC·cosC＝x.

在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，

∴BD＝＝x.

∴BC＝BD＋CD＝x＋x＝＋，

∴x＝2.

12. 【答案】0

【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．

13. 【答案】2.9　【解析】在Rt△AMD中，DM＝tan∠DAM×AM＝tan45°×4＝4米，在Rt△BMC中，CM＝tan∠MBC×BM＝tan30°×12＝4 米，故CD＝CM－DM＝4－4≈2.9米．

14. 【答案】1.5

【解析】∵sinα，∴AD=AC•sinα≈2×0.77≈1.5，故答案为：1.5．

15. 【答案】＝　[解析] 如图，在△ABC中，过点A作AG⊥BC，垂足为G.在△DEF中，过点F作FH⊥DE，交DE的延长线于点H，

∴AG＝sinB·AB＝5sin40°.

∵∠DEF＝140°，

∴∠FEH＝40°，

∴FH＝sin∠FEH·EF＝5sin40°，

∴AG＝FH.

又∵BC＝DE，∴S△ABC＝S△DEF.

16. 【答案】

【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与⊙O相切于点B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本题答案为．

三、解答题

17. 【答案】

解:过点D作DH⊥AB于点H，交AE于点F.作DG⊥BC于点G，则DG=BH，DH=GB.

设楼房AB的高为x米，则EB=x米，

∵坡度i=1∶，CD=10米，

∴坡面CD的铅直高度DG为5米，坡面的水平宽度CG为5米，

在Rt△ADH中，tan∠ADH=，

∴DH=(x-5).

∴5+10+x=(x-5)，

解得x=15+5≈23.7(米).

所以楼房AB的高度约为23.7米.

18. 【答案】

解:(1)过点F作FG⊥EC于G，

依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE=90°，

∴四边形DEGF是矩形，∴FG=DE.

在Rt△CDE中，

DE=CE·tan∠DCE=6×tan30°=2(米).

∴点F到直线CE的距离为2米.

(2)∵斜坡CF的坡度i=1∶1.5，

∴Rt△CFG中，CG=1.5FG=2×1.5=3，

∴FD=EG=3+6.

∵∠AFD=45°，∴AD=DF=3+6.

在Rt△BCE中，

BE=CE·tan∠BCE=6×tan60°=6.

∴AB=AD+DE-BE=3+6+2-6=6-≈4.3(米).

答:宣传牌的高度AB约为4.3米.

19. 【答案】

解：不会有触礁危险．理由如下：

如解图，过点P作PC⊥AB，由题意可得，∠PAB＝30°，∠PBC＝45°，(2分)

设PC＝x，则BC＝x，

∴tan∠PAC＝tan30°＝＝＝，

解得x＝＝4＋4≈10.92>10，(4分)

∴不会有触礁的危险．(6分)

20. 【答案】

[解析] (1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的长，根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；

(2)把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．

解：(1)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2 )2＋22－2×2 ×2×＝4，则a＝2(负值已舍)．

∵22＋22＝(2 )2，即a2＋c2＝b2，

∴△ABC为直角三角形．

又∵a＝c＝2，∴∠C＝45°.

(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，a＝，b＝，cosB＝cos45°＝，

∴c2－c＋1＝0，

解得c＝.

∵c＞a＞b，∴c＝.

21. 【答案】

 (1)证明：如解图，连接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵OE∥AD，

∴∠OAD＝∠BOE，∠DOE＝∠ODA，

∴∠BOE＝∠DOE，

在△BOE和△DOE中，

，

∴△BOE≌△DOE(SAS)，

∴∠ODE＝∠OBE，

∵BE⊥AB，

∴∠OBE＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE为⊙O的切线；

(2)解：如解图，连接BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°，

∵AB⊥CD，

∴∠ADP＋∠BAD＝90°，

∴∠ABD＝∠ADP，

∴sin∠ABD＝＝sin∠ADP＝，

∵⊙O的半径为3，

∴AB=6，

∴AD＝AB＝2；

解图

(3)解：猜想PF＝FD，

证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，

∴CD∥BE，

∴△APF∽△ABE，

∴＝，

∴PF＝，

在△APD和△OBE中，

，

∴△APD∽△OBE，

∴＝，

∴PD＝，

∵AB＝2OB，

∴PF＝PD，

∴PF＝FD.