文科数学-2021年高考高三5月全国大联考（新课标Ⅱ卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考（新课标Ⅱ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，集合，则

A． B． C．   D．

2．已知复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限   D．第四象限

3．下列命题为真命题的是

A．, B．,

C．, D．,

4．若双曲线C：过点，则双曲线C的离心率为

A．2 B．4 C．   D．

5．空气质量指数（AQI）是描述空气清洁或者污染的程度，是对二氧化硫、二氧化氮、PM10、PM2.5、一氧化碳和臭氧这6项污染物的统一评价.AQI在空气为优，在空气为良，在为轻度污染，在为中度污染，在为重度污染，300以上为严重污染.如图为我国34个省级行政区

某日的AQI数据条形图.给出下列结论：

①当日超过半数以上的省级行政区空气为良；

②当日省级行政区空气被污染的比例超过20%；

③当日我国各省级行政区AQI的平均值小于100

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

其中正确的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知向量满足，且，向量与与的夹角都是，则与的夹角为

A．0 B． C． D．

7．在一次试验中，向如图所示的正方形ABCD中随机撒一大把豆子，经过统计，发现落在正方形ABCD中的豆子有粒，其中有粒豆子

落在阴影区域内，以此估计的值为

A．  B． 

C．  D．

8．在中，若，且，则C=

A． B． C．  D．

9．在三棱锥中，，当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积是

A．3π B．2π C．  D．

10．已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，则的值为

A．或 B．或2 C． D．

11．已知函数的零点为x轴上的所有整数，函数图象的一个对称中心到函数图象的一条对称轴的最小距离为t，则的最大值为

A． B． C．2 D．4

12．已知函数，若，则

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．

14．已知数列的前项和，数列满足，则数列的前n项和为__________．

15．已知，则__________．

16．如图，某地区有三个居民小区分别位于点处，其中

的中点为D，在线段BD上

选一点P建一座供水水塔，向三个小区铺设管道，则管道

总长度的最小值为__________km．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

已知公差不为零的等差数列的前n项和满足．

（1）证明：成等比数列；

（2）若，求正整数m的最大值．

18．（12分）

为进一步提倡餐饮节约、制止餐饮浪费行为，商务部支持行业协会发挥自律作用，推动建立制止餐饮浪费的长效机制，厉行勤俭节约、反对铺张浪费、倡导光盘行动.某酒店推出半份菜、“N-1”点菜法、光盘就赠礼、免费打包等措施，大大减少了餐饮浪费.该酒店记录了采取措施前40天的日浪费食品量（单位：kg）和采取措施后40天的日浪费食品量的频数分布表，如下表：

采取措施前40天的日浪费食品量的频数分布表

采取措施后40天的日浪费食品量的频数分布表

（1）将下面的2×2列联表补充完整，

并回答：在犯错误的概率不超过25%的前提下，能否判断食品浪费情况与是否采取措施有关？

（2）估计该酒店倡导节约、采取措施后，一年能节省多少食品？（一年按365天计算，同一组中的数据以该组区间的中点值作代表．）

附表及公式：

，其中．

19．（12分）

如图，在底面半径为、高为的圆柱中，分别是上、下

底面的圆心，四边形是该圆柱的轴截面，已知是线段

的中点，是下底面半圆周上的三等分点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）

已知椭圆E：，直线经过椭圆的右顶点且椭圆E的离心率为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若(其中)为椭圆E上一点，过点P作斜率存在的两条射线PM，PN，交椭圆E于M，N两点，且，直线MN是否恒过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

21．（12分）

已知函数，．

（1）当时，若恒成立，求的最小值；

（2）当时，函数在上有两个零点，其中为自然对数的底数，求的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知射线分别交曲线，于两点，若是线段的中点，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数的最小值为．

（1）求m的值；

（2）若，，且，证明：．

2021年高三5月大联考（新课标Ⅱ卷）

文科数学·全解全析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B【解析】因为，所以，故选B．

2．B【解析】因为复数，所以，，所以

，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故选B．

3．C【解析】对于A：因为恒成立，所以是假命题；对于B：当时，，所以是假命题；对于C：当时，，所以是真命题；对于D：因为，所以是假命题，故选C．

4．A【解析】由已知得，解得，则，解得所以，故选A．

5．C【解析】由图中数据可知，34个省级行政区中空气为良的有18个，故①正确；空气被污染的省级行政区个数为5+1=6，，故②不正确；当日我国34个省级行政区AQI的平均值为，故③正确，故选C．

6．C【解析】设与的夹角为θ，则，得，解得．故选C．

7．B【解析】设正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD的面积等于4．因为阴影部分的面积等于，所以．故选B．

8．B【解析】由正弦定理得，又，所以．因为，所以，所以，故选B．

9．D【解析】因为，所以，由余弦定理得，又，所以，所以．如图，当PA⊥平面ABC时，三棱锥的体积最大．把三棱锥放在长方体中，其外接球的半径，所以该三棱锥外接球的体积．故选D．

10．B 【解析】因为抛物线的焦点为，准线的方程为，所以圆．

联立方程得，消元得，即，所以，所以或（不合题意，舍去），即，所以，所以点的坐标为或，所以或2．故选B．

11．D【解析】因为函数的零点为x轴上的所有整数，所以函数的半个周期为，即，此时，所以．因为函数图象的一个对称中心到函数图象的一条对称轴的最小距离为，所以，故，因为，所以，故的最大值为4，故选D．

12．C【解析】由，可知函数的图象与的图象关于直线对称，因为函数在R上单调递增，函数在R上单调递减，且，即，所以，所以，即．故选C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【解析】设，则，求z的最小值，即求直线纵截距的最大值，作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，由可得，所以，故答案为．

14．【解析】∵，∴，两式相减得：，∵，∴是首项为2，公比为2的等比数列，即，所以，所以，所以的前n项和为，故答案为．

15．【解析】由已知得，所以，故答案为．

16．【解析】设，由AC的中点为D得

，，则，所以，设则（其中），所以，因为，所以，所以当时，取得最小值，故答案为．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

【解析】（1）设等差数列的公差为d，

由，得，即．（2分）

则，

所以（4分）

所以，且，所以成等比数列．（6分）

（2）若，则，（8分）

因为，所以数列是递增数列，

当时，；（10分）

当时，．

所以正整数m的最大值为8．（12分）

18．（12分）

【解析】（1）补充完整的2×2列联表如下：

（3分）

由表中数据得的观测值，（5分）

所以在犯错误的概率不超过25%的前提下，能判断食品浪费情况与是否采取措施有关．（6分）

（2）该酒店采取措施前40天的日浪费食品量的平均数为

，（8分）

该酒店采取措施后40天的日浪费食品量的平均数为

，（10分）

则估计一年能节省：，

故该酒店倡导节约、采取措施后，估计一年能节省食品．（12分）

19．（12分）

【解析】（1）因为分别是上、下底面的圆心，四边形是圆柱的轴截面，

所以且，（2分）

如图，连接，，

因为是下底面半圆周上的三等分点，所以且，（3分）

所以且，所以四边形是平行四边形，所以，（5分）

因为平面，平面，所以平面．（6分）

（2）如图，连接，，由（1）知平面，所以上任意一点到平面PAN的距离都相等，则三棱锥的体积．（9分）

因为圆柱的底面半径为、高为，是线段的中点，

所以三棱锥的体积．（12分）

20．（12分）

【解析】（1）因为直线经过椭圆的右顶点，所以，（1分）

又因为，所以，所以，（3分）

所以椭圆E的标准方程为．（4分）

（2）因为为椭圆E上一点，所以，所以．（5分）

设直线的斜率为，则直线PM的方程为．

联立方程，得，消元得，（7分）

设，因为方程有一个根为0，所以，

所以，所以．（9分）

将M点坐标中的k用代换，得，

整理得．（10分）

所以，

整理得，

所以，（11分）

所以，

所以，

所以直线MN经过定点．（12分）

21．（12分）

【解析】（1）当时，，函数的定义域为，

则，当时，，不符合题意；（2分）

当时，令，解得；令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，（4分）

因为恒成立，所以，解得，故的最小值为．（5分）

（2）当时，，函数的定义域为，

由，可得，令，

则原问题等价于直线与函数的图象有两个交点．（8分）

易得，令，解得；令，解得，（9分）

所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，（10分）

因为，，

所以当直线与函数的图象有两个交点时，，

所以当函数在上有两个零点时，，故的取值范围为．（12分）

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）因为曲线的普通方程为，

所以曲线的极坐标方程为（写成也给分）．（2分）

因为曲线的普通方程为，即，

所以曲线的极坐标方程为，即．（4分）

（2）设，，则，，

因为是线段的中点，所以，（6分）

即，整理得，所以，（8分）

因为，所以，所以，所以．（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）因为，（4分）

所以当时，取得最小值4，即．（5分）

（2）由，，且可知，，（6分）

因为，

所以,当且仅当时等号成立，（9分）

所以，即.（10分）