文科数学-2021年高考高三5月全国大联考（新课标Ⅰ卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A． B．  C．  D．

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为

A．   B．   C．   D．

3．海洋农牧化使人类可以像经营牧场和管理牛羊一样经营海洋和管理水生生物，从而实现海洋渔业资源利用与生态环境修复兼顾．不同的海洋牧场需要不同的鱼礁，其中一种鱼礁的形状如图所示，它是由所有棱长均为米的四个正四棱锥水平固定在一个平面上，且上面四个顶点相连构成的几何体框架，则制作该几何体框架所需的材料长度为（不用考虑材料上的圆盘）

A．米        B．米

C．米        D．米

4．已知数列的前项和，数列满足，则数列的前项和为

A．  B．   C．   D．

5．今年是中国共产党建党周年，为了更好地宣传建党年的历史功绩，某校举办了盛大的宣传活动，内容之一是有关党的历史和丰功伟绩的知识竞赛，活动首先在各年级内进行，最后由高一、高二、高三三个年级组分别推荐一名学生参加总决赛．为了公平起见，决定用抽签法确定三名选手的参赛顺序，则这三名选手的参赛顺序与其年级序号均不相同的概率为

A．   B．    C．    D．

6．函数的单调递增区间为

A．    B．

C．    D．

7．设不等式组表示的平面区域为，若点，则以坐标原点为圆心、为半径的最大圆与最小圆的面积之比为

A．   B．    C．    D．

8．函数的大致图象为

9．已知，若，则

A．或  B．    C．    D．

10．设点，，，，其中，则的取值范围为

A．   B．    C．   D．

11．已知，若，，，则的大小关系为

A．  B．   C．   D．

12．已知数列满足，若，则数列的前项和为

A．  B．   C．    D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．命题“”的否定是___________．

14．已知直线是曲线的一条切线，则实数___________．

15．方程的实数根的个数为___________．

16．设双曲线的右焦点为，圆与双曲线的两条渐近线相切于，两点，，其中为坐标原点．延长交双曲线的另一条渐近线于点，过点作圆的另一条切线，设切点为，则___________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

为进一步提倡餐饮节约、制止餐饮浪费行为，商务部支持行业协会发挥自律作用，推动建立制止餐饮浪费的长效机制，厉行勤俭节约、反对铺张浪费、倡导光盘行动．某酒店推出半份菜、“”点菜法、光盘就赠礼、免费打包等措施，大大减少了餐饮浪费，该酒店记录了采取措施前天的日浪费食品量和采取措施后天的日浪费食品量的频数分布表，如下表所示：

采取措施前40天的日浪费食品量的频数分布表

采取措施后40天的日浪费食品量的频数分布表

（1）将下面的列联表补充完整，

并回答：在犯错误的概率不超过的前提下，能否判断食品浪费情况与是否采取措施有关？

（2）估计该酒店倡导节约、采取措施后，一年能节省多少食品？（一年按天计算，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

参考公式及数据：，其中．

18．（12分）

在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积，，且，，成等差数列．

（1）求，，的值；

（2）求的值．

19．（12分）

如图，在正方体中，，．

（1）求证：；

（2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由．

20．（12分）

已知点，分别为椭圆的左顶点和上顶点，且坐标原点到直线的距离为，椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点在椭圆上，过点作斜率存在的两条射线，，交椭圆于，两点，且，试判断直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

21．（12分）

已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间和函数取得极值时的值；

（2）若函数，，且函数在上存在极小值，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的左、右焦点分别是曲线与轴的交点．

（1）若椭圆的长轴长为，求椭圆的焦点的极坐标及椭圆的直角坐标方程；

（2）在（1）的条件下，已知动直线垂直于轴，且与椭圆交于不同的两点，，点在直线上，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若存在，使得，求实数的取值范围．

2021年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）

文科数学·全解全析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】由可得，所以集合，

又集合，所以，故选A．

2．B 【解析】由题可得，所以，，

所以复数在复平面内对应的点的坐标为，故选B．

3．C 【解析】由题可知构成的几何体是一个上底面边长为米，下底面边长为米，侧棱长为米的正四棱台，相当于四个对应的正四棱锥摆放在一起，所以该几何体框架共有条米长的棱，所以制作该几何体框架所需的材料长度为米，故选C．

4．C 【解析】因为，所以，上述两式相减可得，即，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以数列的前项和为，故选C．

5．D 【解析】设这三名选手的年级序号分别为，，，则这三名选手的参赛顺序有，，，，，，共种情况，其中满足这三名选手的参赛顺序与其年级序号均不相同的有，，共种情况，所以这三名选手的参赛顺序与其年级序号均不相同的概率，故选D．

6．D 【解析】由题可得，

令，即，

所以函数的单调递增区间为，故选D．

7．B 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，显然当点与点重合时，最大，且；当圆与直线相切时，最小，且，所以以坐标原点为圆心、为半径的最大圆与最小圆的面积之比为，故选B．

8．D 【解析】由题可得函数的定义域为，，所以函数是定义在上的奇函数，由此可排除选项A、B；又，，所以，由此可排除选项C，故选D．

9．B 【解析】由，可得，

所以，令，所以，

即，解得或．又，所以，所以，

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，所以，故选B．

10．A 【解析】由题可知，点在圆上，设，

则，，，所以，

所以，因为，所以，

所以，所以的取值范围为，故选A．

11．A 【解析】构造函数，，则，

所以函数在上单调递减．因为，所以，所以，故选A．

12．B 【解析】因为，

所以当时，，所以，

所以

，

所以；

当时，，所以，

所以

，

所以，

所以数列的前项和为

，故选B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 【解析】命题“”的否定是“”，

故答案为．

14． 【解析】由题可得，令，解得，将代入，可得，所以点在直线上，所以，解得，故答案为．

15． 【解析】显然不是方程的实数根，所以方程的实数根的个数等于函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象，如下图所示，所以函数的图象与函数的图象的交点个数为，所以方程的实数根的个数为，故答案为．

16． 【解析】方法一：因为圆与双曲线的两条渐近线分别相切，所以，，所以双曲线的方程为，易知，双曲线的渐近线方程为．不妨设点位于第一象限，则直线的方程为，由，可得，所以，所以，所以，所以，故答案为．

方法二：因为圆与双曲线的两条渐近线分别相切，所以，，，在中，，，所以，

所以，所以，故答案为．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

【解析】（1）补充完整的列联表如下：

因为的观测值，

所以在犯错误的概率不超过的前提下，能判断食品浪费情况与是否采取措施有关．（6分）

（2）该酒店采取措施前40天的日浪费食品量的平均数为

，（8分）

该酒店采取措施后40天的日浪费食品量的平均数为

，（10分）

因为，

所以估计该酒店倡导节约、采取措施后，一年能节省食品．（12分）

18．（12分）

【解析】（1）因为，，成等差数列，，

所以，即．（2分）

又，所以，解得，（3分）

所以，．（4分）

（2）因为，（7分）

所以由，可得，（8分）

所以．（9分）

因为的面积，所以，（11分）

所以，解得．（12分）

19．（12分）

【解析】（1）如图，连接，

因为，，所以，分别为，的中点，（2分）

所以，（3分）

又，所以．（5分）

（2）如图，取的中点，连接，，

因为平面，所以，又，所以．（8分）

因为，，所以．（10分）

因为，所以平面，（11分）

所以在线段上，存在点，使得平面．（12分）

20．（12分）

【解析】（1）设椭圆的右焦点为，因为椭圆的离心率为，所以，

所以，又，所以．（1分）

因为点，分别为椭圆的左顶点和上顶点，所以．（2分）

因为坐标原点到直线的距离为，所以，（3分）

所以，所以，所以，，（4分）

所以椭圆的标准方程为．（5分）

（2）因为点在椭圆上，所以，解得，所以．（6分）

设直线的斜率为，，则，直线的方程为，

由，消去可得，（7分）

所以，所以，所以．（8分）

由题可知，直线的斜率为，同理可得，即．（9分）

则直线的方程为，（10分）

即，

即，（11分）

即，即，

令，可得，所以直线经过定点，该定点的坐标为．（12分）

21．（12分）

【解析】（1）当时，，则．（1分）

因为函数的定义域为，所以，，

令，则，结合，可得，所以函数的单调递减区间为；（2分）

令，则，可得，所以函数的单调递增区间为，（3分）

所以函数的极小值为，无极大值，（4分）

所以函数取得极值时的值为．（5分）

（2）由题可得，定义域为，

则，（6分）

设，当，即时，，

所以当时，，即，所以函数在上单调递减，（7分）

所以函数在上不存在极小值，不符合题意；（8分）

当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，

易知函数的图象的对称轴方程为，且，函数的图象过点，

所以函数在上单调递增，（9分）

若函数在上存在极小值，则，解得；（10分）

当，即时，函数的图象是开口向下的抛物线，

易知函数的图象的对称轴方程为，且，函数的图象过点，

若函数存在极小值，则，解得，

此时，，且，

所以当时，，所以函数在上不存在极小值．（11分）

综上，可得，故实数的取值范围为．（12分）

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）因为椭圆的左、右焦点分别是曲线与轴的交点，

所以椭圆的左、右焦点的极坐标分别为，，（2分）

故椭圆的半焦距为，又椭圆的长轴长为，所以椭圆的短轴长为，

所以椭圆的直角坐标方程为．（5分）

（2）由（1）知椭圆的直角坐标方程为，设，

因为直线轴，不妨设点位于轴上方，则，，

因为，所以，（8分）

所以点的轨迹方程为或，

点的轨迹为椭圆夹在直线与直线之间的部分以及原点．（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）由题可得，（1分）

因为，所以或或，（2分）

即或或，（3分）

所以或，（4分）

所以不等式的解集为．（5分）

（2）因为存在，使得，所以，（7分）

由（1）可知，作出函数的图象，如下图所示，（8分）

由函数的图象可知，（9分）

所以，所以实数的取值范围为．（10分）