数学-2021年高考高三5月全国大联考广东卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考（广东卷）

数  学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则下列说法正确的是

A．            B．

C．            D．

2．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是

A．  B．     C．         D．

3．的展开式的常数项是

A．           B．          C．               D．

4．已知函数是偶函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象

A．向左平移个单位         B．向右平移个单位

C．向右平移个单位         D．向左平移个单位

5．已知均为正实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件           B．充要条件

C．必要不充分条件               D．既不充分也不必要条件

6．已知在四边形中，，，，，且的面积是则

 A．     B．        C．    D．

7．已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为

A．     B．          C．    D．

8．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，直线过A点且与x轴垂直，P为直线上的任意一点，若，则的取值范围是

A．       B．      C．      D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设复数且，则下列结论正确的是

A．可能是实数       B．恒成立

C．若,则      D．若，则

10．已知函数，则下列说法正确的是

A．函数在上单调递增       B．函数是奇函数

C．函数有两个零点                D．曲线在原点处的切线方程为

11．已知三棱锥的各顶点都在球上,点分别是的中点,平面，，，则下列结论正确的是

A．平面

B．球的体积是

C．直线与平面所成角的正弦值是

D．平面被球所截的截面面积是

12．一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是

A．

B．

C．

D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设随机变量，若，则___________．

14．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均为1的六边形是某棱锥的侧面展开图，则该棱锥的内切球半径为___________．

15．已知为等腰直角三角形,,圆为的外接圆,，则___________；若为圆上的动点,则的最大值为___________．（本题第一空2分，第二空3分）

16．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

①②③

如图，在边长为1的正方形中，点E,F分别在边上移动（不含端点），且______________，.

（1）求的值；

（2）求面积的最小值.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

18．（12分）

已知数列中，，前项和为，且满足.

（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）设，求的前项和.

19．（12分）

学校食品安全问题关系着师生的身心健康，一直受到社会各界的高度关注. 为进一步加强学校食堂安全管理，某市卫生监督部门决定对本市所有学校进行一次食品安全抽查.某中学按照要求，将卫生监督部门当天检查的所售菜品取样分成甲、乙两组，甲组菜品有不同的荤菜份和不同的素菜份，乙组菜品有荤菜份和不同的素菜份，已知从甲组菜品中随机任取两份菜样，在第一次抽到素菜的条件下，第二次抽到荤菜的概率是.

（1）求的值；

（2）若卫生监督部门第一次从甲组中随机抽取一份菜样，从第二次抽样开始，若前一次抽到荤菜，则再从甲组中抽取一份；若前一次抽到素菜，则再从乙组中抽取一份，第三次抽样后结束，每次抽取菜样都不放回.已知荤菜检测费用为元/份，素菜检测费用为元/份，求本次抽查检测费用的分布列和数学期望.

20．（12分）

棱锥是生活中最常见的空间图形之一，譬如我们熟悉的埃及金字塔，它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题，公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积，并给出了通用公式.公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识，解决下列问题：如图，正三棱锥中，三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，侧棱长是3，底面内一点P到侧面的距离分别为x，y，z.

（1）求证：；

（2）若，试确定点P在底面内的位置.

21．（12分）

设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.

（1）求双曲线的离心率；

（2）已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

22．（12分）

如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，.

（1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由；

（2）求证：当时，.

2021年高三5月大联考（广东卷）

数学·全解全析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．B 【解析】由已知可得，，或，所以不是的子集，，，，故选B．

2．D 【解析】因为，所以，故选D．

3．D 【解析】∵∴常数项是，故选D．

4．C 【解析】因为函数是偶函数，所以，因为，所以，所以，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可，故选C．

5．C 【解析】取，则，但，所以由推不出；若，则，当且仅当时取等号，所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选C．

，∴在中，由余弦定理得

，∴，又由正弦定理得，∴

，又，∴，∴，在中，由勾股定理得

，∴ 故选C.

7．A 【解析】因为，所以，又，所以，解得，故，所以恒成立等价于恒成立，令，则，当时，；当时，；当时，，所以，所以，所以，即实数的最大值为，故选A．

8．A 【解析】由题意可知，，直线的方程为，

设直线，的倾斜角分别为，

由椭圆的对称性，不妨设点P为第二象限的点，即，

则，

，当且仅当，即时取等号.

，，且满足，则，，∴，则的最大值为，故的最大值是.

当P为第二或第四象限的点时，的取值范围是；

当P为x轴负半轴上的点时，.

综上可知，的取值范围为，故选A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．BC 【解析】对于选项A，若是实数，则，与已知矛盾，故A错误；

对于选项B，由A知，所以

，故B正确；

对于选项C，，则，因为，所以，故C正确；

对于选项D，，则，因为，所以，所以，故D错误，故选BC．

10．AD 【解析】，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以选项A正确；，所以函数不是奇函数，选项B错误；当时，；当时，；当时，，又，画出函数的大致图象如图，可知函数只有一个零点,所以选项C错误；易知，所以曲线在原点处的切线方程为，选项D正确.故选AD.

11．ABD 【解析】对于选项A，因为平面，所以,由，，可得，满足,所以,所以平面，故A正确；

对于选项B，是和的公共斜边，所以中点即三棱锥外接球的球心，所以球的半径为，故球的体积为，故B正确；

对于选项C，因为平面,所以即直线与平面所成的角，所以

，故C错误；

对于选项D，设点到平面的距离为，平面被球所截的截面圆的半径为，因为是的中位线，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，故

，易求得所以,即，解得，所以，所以截面圆的面积为，故D正确.

，又和中和y的系数相同，且的图象过，所以

.

对于A，，所以A正确；

对于B，，

对于C，，所以C错误；

对于D，，，所以D错误.

故选AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 【解析】随机变量，对称轴为，因为，所以，根据对称性可得，所以.

，即

，解得.故答案为.

15．2， 【解析】法1：由题意得，为BC的中点，E为AB的中点，以圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则

∴∴

设与轴正半轴的夹角为则.

∴,

∴，

∴.故答案为2，.

法2：由题意得为的中点，则

所以

∵∴  

，

又，

所以.故答案为2，.

16． 【解析】因为，所以，所以或，当时，所以在上单调递增，在上的最大值为，且当趋向于0时，趋向于负无穷；当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处取得极小值，即在上的最小值为且，作出函数的大致图象如图所示，方程有1个实数根，所以方程要有4个不同的实数根，则有3个不同的实数根，又当时，；当时，， 所以，即，所以a的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

【解析】（1）选择①，

即又，所以，即，（3分）

根据题意知，所以.（4分）

选择②，

即 （2分）

解得（3分）

根据题意知，得. （4分）

选择③， 

根据题意知，所以（1分）

又所以（2分）

所以（3分）

所以.（4分）

（2）根据题意，易知（6分）

.（8分）

即时，的面积最小，为.（10分）

18．（12分）

【解析】因为所以，即

，（1分）

所以，（2分）

且，所以是以为首项，为公差的等差数列，（3分）

所以，所以 ①，（4分）

所以 ②.

①②得（5分）

又，满足上式，所以（6分）

（2）由（1）知，.（8分）

所以（10分）

      .（12分）

19．（12分）

【解析】（1）设第一次抽到素菜为事件A，第二次抽到荤菜为事件B，

∴，，（2分）

∵，∴.（4分）

（2）解法一：设卫生监督部门抽样结束后，抽取荤菜的份数为，检测费用为，其中可以取，则的可能取值为180，200，220，240.（5分）

，（6分）

，（7分）

，（8分）

.（9分）（此步骤部分对得1分，全对得4分）

所以检测费用的分布列为

                                                    （10分）

所以检测费用的数学期望为（元）.（12分）

解法二：设卫生监督部门抽样结束后，抽取荤菜的份数为，抽取素菜的份数为，检测费用为，其中可以取.（5分）

，（6分）

，（7分）

，（8分）

.（9分）（此步骤部分对得1分，全对得4分）

抽样结束后，抽取荤菜的份数的分布列为

                                                               （10分）

由题意可知，抽取素菜的份数为，检测费用，的可能取值为180，200，220，240，

所以检测费用的分布列为

                                                    （11分）

所以检测费用的数学期望为（元）.（12分）

20．（12分）

【解析】（1）在正三棱锥中，SA，SB，SC两两垂直且AB=BC=CA，P为底面ABC内的一点，连接PA，PB，PC，PS，如图，可将原三棱锥分成三个三棱锥，（1分）

它们的高分别为，由，（3分）

即，（4分）

得（5分）

（2）由，得.（6分）

又，∴，∴，（10分）

当且仅当时取等号（11分）.

故当时，点P为正三角形的中心.（写成外心、内心、中心、重心、垂心中的任何一个都可得满分）（12分）

21．（12分）

【解析】（1）由轴时， 为等腰直角三角形，可得，（1分）

所以，（2分）

即，故，结合，解得.（3分）

故双曲线的离心率为2.（4分）

（2）因为，所以双曲线，

显然直线l的斜率不为0，设直线，，，

联立直线与双曲线的方程得，化简得，（5分）

根据根与系数的关系，得，①（6分）

所以，②

，③ （7分）

设直线，直线，

令，可得，（8分）

设是以为直径的圆上的任意一点，则，

则以为直径的圆的方程为，（9分）

由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，

即,（10分）

将①②③代入，可得，

即,（11分）

解得或，

所以以为直径的圆过定点，. （12分）

22．（12分）

【解析】（1），令则，

在上单调递增，（1分）

又当时，，在上单调递增，（2分）

又当时，，

∴当时，，与在上均单调递增，

∴在上是“链式函数”. （3分）

，令，则，

∴在上单调递减，（4分）

又当时，，

∴在上单调递减，（5分）

又当时，，

∴当时，，与在上均单调递减，

∴在上是“链式函数”.  （6分）

（2）当时，由（1）知，所以，

又由（1）知，所以，（7分）

两式相加得，即，（8分）

令，（9分）

则，（10分）

所以在上单调递增，（11分）

则当时，，即，∴当时，，

故当时，.（12分）